Theorem gpgprismgr4cycllem8 48729

Description: Lemma 8 for gpgprismgr4cycl0 48733. (Contributed by AV, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgprismgr4cycl.p	⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
gpgprismgr4cycl.f	⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
gpgprismgr4cycl.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)

Assertion

Ref	Expression
gpgprismgr4cycllem8	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))

Proof of Theorem gpgprismgr4cycllem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgprismgr4cycl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
2		df-s4 14865	. . 3 ⊢ ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ = (⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}”⟩ ++ ⟨“{⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩)
3	1, 2	eqtri 2787	. 2 ⊢ 𝐹 = (⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}”⟩ ++ ⟨“{⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩)
4		gpgprismgriedgdmss 48679	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
5		unss 4144	. . . . 5 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) ↔ ({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
6		prex 5397	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ V
7		prex 5397	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ V
8	6, 7	prss 4780	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) ↔ {{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
9		gpgprismgr4cycl.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)
10	9	eqcomi 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 gPetersenGr 1) = 𝐺
11	10	fveq2i 6872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) = (iEdg‘𝐺)
12	11	dmeqi 5882	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) = dom (iEdg‘𝐺)
13	12	eleq2i 2856	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ↔ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
14	13	birani 507	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
15	8, 14	sylbir 237	. . . . . 6 ⊢ ({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
16	15	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
17	5, 16	sylbir 237	. . . 4 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
18	4, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
19		prex 5397	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ V
20		prex 5397	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ V
21	19, 20	prss 4780	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) ↔ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
22		prcom 4693	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} = {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}
23	22, 12	eleq12i 2857	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ↔ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
24	23	birani 507	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
25	21, 24	sylbir 237	. . . . . 6 ⊢ ({{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
26	25	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
27	5, 26	sylbir 237	. . . 4 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
28	4, 27	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
29	12	eleq2i 2856	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
30	29	bilani 508	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
31	21, 30	sylbir 237	. . . . . 6 ⊢ ({{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
32	31	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
33	5, 32	sylbir 237	. . . 4 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
34	4, 33	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
35	18, 28, 34	s3cld 14887	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}”⟩ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
36		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
37	8, 36	sylbir 237	. . . . . 6 ⊢ ({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
38		prcom 4693	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
39	9	fveq2i 6872	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))
40	39	dmeqi 5882	. . . . . 6 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))
41	37, 38, 40	3eltr4g 2881	. . . . 5 ⊢ ({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
42	41	adantr 484	. . . 4 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
43	5, 42	sylbir 237	. . 3 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
44	4, 43	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
45	3, 35, 44	cats1cld 14870	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  {cpr 4586  ⟨cop 4590  dom cdm 5649  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  0cc0 11075  1c1 11076  3c3 12275  ℤ_≥cuz 12841  Word cword 14528   ++ cconcat 14585  ⟨“cs1 14611  ⟨“cs3 14857  ⟨“cs4 14858  ⟨“cs5 14859  iEdgciedg 29200   gPetersenGr cgpg 48667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-oadd 8443  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-inf 9391  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-xnn0 12557  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-rp 12996  df-ico 13357  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-fl 13804  df-ceil 13805  df-mod 13882  df-hash 14346  df-word 14529  df-concat 14586  df-s1 14612  df-s2 14863  df-s3 14864  df-s4 14865  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-edgf 29192  df-iedg 29202  df-gpg 48668

This theorem is referenced by:  gpgprismgr4cycllem11  48732