Theorem gpgprismgr4cycllem8 48096

Description: Lemma 8 for gpgprismgr4cycl0 48100. (Contributed by AV, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgprismgr4cycl.p	⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
gpgprismgr4cycl.f	⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
gpgprismgr4cycl.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)

Assertion

Ref	Expression
gpgprismgr4cycllem8	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))

Proof of Theorem gpgprismgr4cycllem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgprismgr4cycl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
2		df-s4 14823	. . 3 ⊢ ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ = (⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}”⟩ ++ ⟨“{⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩)
3	1, 2	eqtri 2753	. 2 ⊢ 𝐹 = (⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}”⟩ ++ ⟨“{⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩)
4		gpgprismgriedgdmss 48047	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
5		unss 4156	. . . . 5 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) ↔ ({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
6		prex 5395	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ V
7		prex 5395	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ V
8	6, 7	prss 4787	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) ↔ {{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
9		gpgprismgr4cycl.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)
10	9	eqcomi 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 gPetersenGr 1) = 𝐺
11	10	fveq2i 6864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) = (iEdg‘𝐺)
12	11	dmeqi 5871	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) = dom (iEdg‘𝐺)
13	12	eleq2i 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ↔ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
14	13	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
16	8, 15	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ ({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
18	5, 17	sylbir 235	. . . 4 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
19	4, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
20		prex 5395	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ V
21		prex 5395	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ V
22	20, 21	prss 4787	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) ↔ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
23		prcom 4699	. . . . . . . . . 10 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} = {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}
24	23, 12	eleq12i 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ↔ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
25	24	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
26	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
27	22, 26	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ ({{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
28	27	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
29	5, 28	sylbir 235	. . . 4 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
30	4, 29	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
31	12	eleq2i 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
32	31	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
33	32	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
34	22, 33	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ ({{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
35	34	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
36	5, 35	sylbir 235	. . . 4 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
37	4, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
38	19, 30, 37	s3cld 14845	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}”⟩ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
39		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
40	8, 39	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ ({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
41		prcom 4699	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
42	9	fveq2i 6864	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))
43	42	dmeqi 5871	. . . . . 6 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))
44	40, 41, 43	3eltr4g 2846	. . . . 5 ⊢ ({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
45	44	adantr 480	. . . 4 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
46	5, 45	sylbir 235	. . 3 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
47	4, 46	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
48	3, 38, 47	cats1cld 14828	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3915   ⊆ wss 3917  {cpr 4594  ⟨cop 4598  dom cdm 5641  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076  3c3 12249  ℤ_≥cuz 12800  Word cword 14485   ++ cconcat 14542  ⟨“cs1 14567  ⟨“cs3 14815  ⟨“cs4 14816  ⟨“cs5 14817  iEdgciedg 28931   gPetersenGr cgpg 48035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-ico 13319  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-ceil 13762  df-mod 13839  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-s1 14568  df-s2 14821  df-s3 14822  df-s4 14823  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-edgf 28923  df-iedg 28933  df-gpg 48036

This theorem is referenced by:  gpgprismgr4cycllem11  48099