Theorem gpgprismgr4cycllem8 48096

Description: Lemma 8 for gpgprismgr4cycl0 48100. (Contributed by AV, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgprismgr4cycl.p	⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
gpgprismgr4cycl.f	⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
gpgprismgr4cycl.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)

Assertion

Ref	Expression
gpgprismgr4cycllem8	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))

Proof of Theorem gpgprismgr4cycllem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgprismgr4cycl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
2		df-s4 14757	. . 3 ⊢ ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ = (⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}”⟩ ++ ⟨“{⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩)
3	1, 2	eqtri 2752	. 2 ⊢ 𝐹 = (⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}”⟩ ++ ⟨“{⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩)
4		gpgprismgriedgdmss 48046	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
5		unss 4141	. . . . 5 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) ↔ ({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
6		prex 5376	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ V
7		prex 5376	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ V
8	6, 7	prss 4771	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) ↔ {{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
9		gpgprismgr4cycl.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)
10	9	eqcomi 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 gPetersenGr 1) = 𝐺
11	10	fveq2i 6825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) = (iEdg‘𝐺)
12	11	dmeqi 5847	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) = dom (iEdg‘𝐺)
13	12	eleq2i 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ↔ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
14	13	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
16	8, 15	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ ({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
18	5, 17	sylbir 235	. . . 4 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
19	4, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
20		prex 5376	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ V
21		prex 5376	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ V
22	20, 21	prss 4771	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) ↔ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
23		prcom 4684	. . . . . . . . . 10 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} = {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}
24	23, 12	eleq12i 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ↔ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
25	24	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
26	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
27	22, 26	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ ({{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
28	27	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
29	5, 28	sylbir 235	. . . 4 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
30	4, 29	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
31	12	eleq2i 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
32	31	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
33	32	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
34	22, 33	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ ({{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
35	34	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
36	5, 35	sylbir 235	. . . 4 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
37	4, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
38	19, 30, 37	s3cld 14779	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}”⟩ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
39		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
40	8, 39	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ ({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
41		prcom 4684	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
42	9	fveq2i 6825	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))
43	42	dmeqi 5847	. . . . . 6 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))
44	40, 41, 43	3eltr4g 2845	. . . . 5 ⊢ ({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
45	44	adantr 480	. . . 4 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
46	5, 45	sylbir 235	. . 3 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
47	4, 46	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
48	3, 38, 47	cats1cld 14762	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  {cpr 4579  ⟨cop 4583  dom cdm 5619  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010  3c3 12184  ℤ_≥cuz 12735  Word cword 14420   ++ cconcat 14477  ⟨“cs1 14502  ⟨“cs3 14749  ⟨“cs4 14750  ⟨“cs5 14751  iEdgciedg 28942   gPetersenGr cgpg 48034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-oadd 8392  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-rp 12894  df-ico 13254  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-ceil 13697  df-mod 13774  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14503  df-s2 14755  df-s3 14756  df-s4 14757  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-edgf 28934  df-iedg 28944  df-gpg 48035

This theorem is referenced by:  gpgprismgr4cycllem11  48099