Theorem gpgprismgr4cycllem8 48049

Description: Lemma 8 for gpgprismgr4cycl0 48053. (Contributed by AV, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgprismgr4cycl.p	⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
gpgprismgr4cycl.f	⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
gpgprismgr4cycl.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)

Assertion

Ref	Expression
gpgprismgr4cycllem8	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))

Proof of Theorem gpgprismgr4cycllem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgprismgr4cycl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
2		df-s4 14867	. . 3 ⊢ ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ = (⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}”⟩ ++ ⟨“{⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩)
3	1, 2	eqtri 2758	. 2 ⊢ 𝐹 = (⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}”⟩ ++ ⟨“{⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩)
4		gpgprismgriedgdmss 48004	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
5		unss 4165	. . . . 5 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) ↔ ({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
6		prex 5407	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ V
7		prex 5407	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ V
8	6, 7	prss 4796	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) ↔ {{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
9		gpgprismgr4cycl.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)
10	9	eqcomi 2744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 gPetersenGr 1) = 𝐺
11	10	fveq2i 6878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) = (iEdg‘𝐺)
12	11	dmeqi 5884	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) = dom (iEdg‘𝐺)
13	12	eleq2i 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ↔ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
14	13	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
16	8, 15	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ ({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
18	5, 17	sylbir 235	. . . 4 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
19	4, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
20		prex 5407	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ V
21		prex 5407	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ V
22	20, 21	prss 4796	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) ↔ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
23		prcom 4708	. . . . . . . . . 10 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} = {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}
24	23, 12	eleq12i 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ↔ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
25	24	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
26	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
27	22, 26	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ ({{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
28	27	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
29	5, 28	sylbir 235	. . . 4 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
30	4, 29	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
31	12	eleq2i 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
32	31	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
33	32	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
34	22, 33	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ ({{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
35	34	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
36	5, 35	sylbir 235	. . . 4 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
37	4, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
38	19, 30, 37	s3cld 14889	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}”⟩ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
39		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
40	8, 39	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ ({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
41		prcom 4708	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
42	9	fveq2i 6878	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))
43	42	dmeqi 5884	. . . . . 6 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))
44	40, 41, 43	3eltr4g 2851	. . . . 5 ⊢ ({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
45	44	adantr 480	. . . 4 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
46	5, 45	sylbir 235	. . 3 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
47	4, 46	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
48	3, 38, 47	cats1cld 14872	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3924   ⊆ wss 3926  {cpr 4603  ⟨cop 4607  dom cdm 5654  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  0cc0 11127  1c1 11128  3c3 12294  ℤ_≥cuz 12850  Word cword 14529   ++ cconcat 14586  ⟨“cs1 14611  ⟨“cs3 14859  ⟨“cs4 14860  ⟨“cs5 14861  iEdgciedg 28922   gPetersenGr cgpg 47992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-oadd 8482  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9452  df-inf 9453  df-dju 9913  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-rp 13007  df-ico 13366  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13807  df-ceil 13808  df-mod 13885  df-hash 14347  df-word 14530  df-concat 14587  df-s1 14612  df-s2 14865  df-s3 14866  df-s4 14867  df-struct 17164  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-edgf 28914  df-iedg 28924  df-gpg 47993

This theorem is referenced by:  gpgprismgr4cycllem11  48052