Theorem gpgprismgr4cycllem8 49032

Description: Lemma 8 for gpgprismgr4cycl0 49036. (Contributed by AV, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgprismgr4cycl.p	⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
gpgprismgr4cycl.f	⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
gpgprismgr4cycl.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)

Assertion

Ref	Expression
gpgprismgr4cycllem8	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))

Proof of Theorem gpgprismgr4cycllem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgprismgr4cycl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
2		df-s4 14943	. . 3 ⊢ ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ = (⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}”⟩ ++ ⟨“{⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩)
3	1, 2	eqtri 2783	. 2 ⊢ 𝐹 = (⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}”⟩ ++ ⟨“{⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩)
4		gpgprismgriedgdmss 48982	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
5		unss 4136	. . . . 5 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) ↔ ({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
6		prex 5403	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ V
7		prex 5403	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ V
8	6, 7	prss 4781	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) ↔ {{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
9		gpgprismgr4cycl.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)
10	9	eqcomi 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 gPetersenGr 1) = 𝐺
11	10	fveq2i 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) = (iEdg‘𝐺)
12	11	dmeqi 5889	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) = dom (iEdg‘𝐺)
13	12	eleq2i 2852	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ↔ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
14	13	birani 509	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
15	8, 14	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ ({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
17	5, 16	sylbir 238	. . . 4 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
18	4, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
19		prex 5403	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ V
20		prex 5403	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ V
21	19, 20	prss 4781	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) ↔ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
22		prcom 4693	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} = {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}
23	22, 12	eleq12i 2853	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ↔ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
24	23	birani 509	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
25	21, 24	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ ({{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
26	25	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
27	5, 26	sylbir 238	. . . 4 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
28	4, 27	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
29	12	eleq2i 2852	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
30	29	bilani 510	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
31	21, 30	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ ({{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
32	31	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
33	5, 32	sylbir 238	. . . 4 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
34	4, 33	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
35	18, 28, 34	s3cld 14965	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}”⟩ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
36		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
37	8, 36	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ ({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)))
38		prcom 4693	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
39	9	fveq2i 6883	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))
40	39	dmeqi 5889	. . . . . 6 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))
41	37, 38, 40	3eltr4g 2877	. . . . 5 ⊢ ({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
42	41	adantr 486	. . . 4 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) ∧ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}} ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1))) → {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
43	5, 42	sylbir 238	. . 3 ⊢ (({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}}) ⊆ dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 1)) → {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
44	4, 43	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ dom (iEdg‘𝐺))
45	3, 35, 44	cats1cld 14948	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  {cpr 4586  ⟨cop 4590  dom cdm 5655  ‘cfv 6534  (class class class)co 7415  0cc0 11146  1c1 11147  3c3 12342  ℤ_≥cuz 12909  Word cword 14600   ++ cconcat 14657  ⟨“cs1 14684  ⟨“cs3 14935  ⟨“cs4 14936  ⟨“cs5 14937  iEdgciedg 29483   gPetersenGr cgpg 48970

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7738  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7372  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8282  df-wrecs 8313  df-recs 8362  df-rdg 8401  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-dju 9928  df-card 9966  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11489  df-neg 11490  df-div 11918  df-nn 12280  df-2 12349  df-3 12350  df-4 12351  df-5 12352  df-6 12353  df-7 12354  df-8 12355  df-9 12356  df-n0 12551  df-xnn0 12624  df-z 12638  df-dec 12759  df-uz 12910  df-rp 13065  df-ico 13426  df-fz 13584  df-fzo 13732  df-fl 13875  df-ceil 13876  df-mod 13953  df-hash 14417  df-word 14601  df-concat 14658  df-s1 14685  df-s2 14941  df-s3 14942  df-s4 14943  df-struct 17261  df-slot 17296  df-ndx 17308  df-base 17324  df-edgf 29475  df-iedg 29485  df-gpg 48971

This theorem is used by:  gpgprismgr4cycllem11  49035