MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsval4a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsval4a 27280
Description: Same as lgsval4 27278 for positive 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgsval4.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
Assertion
Ref Expression
lgsval4a ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsval4a
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
2 nnz 12619 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
32adantl 480 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
4 nnne0 12286 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 β‰  0)
54adantl 480 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 β‰  0)
6 lgsval4.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
76lgsval4 27278 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘))))
81, 3, 5, 7syl3anc 1368 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘))))
9 nngt0 12283 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑁)
109adantl 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < 𝑁)
11 0re 11256 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
12 nnre 12259 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
1312adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
14 ltnsym 11352 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (0 < 𝑁 β†’ Β¬ 𝑁 < 0))
1511, 13, 14sylancr 585 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (0 < 𝑁 β†’ Β¬ 𝑁 < 0))
1610, 15mpd 15 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ Β¬ 𝑁 < 0)
1716intnanrd 488 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ Β¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
1817iffalsed 4543 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = 1)
19 nnnn0 12519 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2019adantl 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2120nn0ge0d 12575 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ 𝑁)
2213, 21absidd 15411 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (absβ€˜π‘) = 𝑁)
2322fveq2d 6906 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))
2418, 23oveq12d 7444 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘))) = (1 Β· (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)))
25 simpr 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
26 nnuz 12905 . . . . . 6 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2725, 26eleqtrdi 2839 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
286lgsfcl3 27279 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„€)
291, 3, 5, 28syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„€)
30 elfznn 13572 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (1...𝑁) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
31 ffvelcdm 7096 . . . . . 6 ((𝐹:β„•βŸΆβ„€ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„€)
3229, 30, 31syl2an 594 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„€)
33 zmulcl 12651 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„€)
3433adantl 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„€)
3527, 32, 34seqcl 14029 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„€)
3635zcnd 12707 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„‚)
3736mullidd 11272 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (1 Β· (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))
388, 24, 373eqtrd 2772 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  ifcif 4532   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   Β· cmul 11153   < clt 11288  -cneg 11485  β„•cn 12252  β„•0cn0 12512  β„€cz 12598  β„€β‰₯cuz 12862  ...cfz 13526  seqcseq 14008  β†‘cexp 14068  abscabs 15223  β„™cprime 16651   pCnt cpc 16814   /L clgs 27255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-oadd 8499  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-dju 9934  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-z 12599  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-dvds 16241  df-gcd 16479  df-prm 16652  df-phi 16744  df-pc 16815  df-lgs 27256
This theorem is referenced by:  lgsmod  27284
  Copyright terms: Public domain W3C validator