MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsval4a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsval4a 26683
Description: Same as lgsval4 26681 for positive 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgsval4.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
Assertion
Ref Expression
lgsval4a ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsval4a
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
2 nnz 12527 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
32adantl 483 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
4 nnne0 12194 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 β‰  0)
54adantl 483 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 β‰  0)
6 lgsval4.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
76lgsval4 26681 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘))))
81, 3, 5, 7syl3anc 1372 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘))))
9 nngt0 12191 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑁)
109adantl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < 𝑁)
11 0re 11164 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
12 nnre 12167 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
1312adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
14 ltnsym 11260 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (0 < 𝑁 β†’ Β¬ 𝑁 < 0))
1511, 13, 14sylancr 588 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (0 < 𝑁 β†’ Β¬ 𝑁 < 0))
1610, 15mpd 15 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ Β¬ 𝑁 < 0)
1716intnanrd 491 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ Β¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
1817iffalsed 4502 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = 1)
19 nnnn0 12427 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2019adantl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2120nn0ge0d 12483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ 𝑁)
2213, 21absidd 15314 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (absβ€˜π‘) = 𝑁)
2322fveq2d 6851 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))
2418, 23oveq12d 7380 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘))) = (1 Β· (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)))
25 simpr 486 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
26 nnuz 12813 . . . . . 6 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2725, 26eleqtrdi 2848 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
286lgsfcl3 26682 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„€)
291, 3, 5, 28syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„€)
30 elfznn 13477 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (1...𝑁) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
31 ffvelcdm 7037 . . . . . 6 ((𝐹:β„•βŸΆβ„€ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„€)
3229, 30, 31syl2an 597 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„€)
33 zmulcl 12559 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„€)
3433adantl 483 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„€)
3527, 32, 34seqcl 13935 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„€)
3635zcnd 12615 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„‚)
3736mulid2d 11180 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (1 Β· (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))
388, 24, 373eqtrd 2781 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063   < clt 11196  -cneg 11393  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  ...cfz 13431  seqcseq 13913  β†‘cexp 13974  abscabs 15126  β„™cprime 16554   pCnt cpc 16715   /L clgs 26658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-phi 16645  df-pc 16716  df-lgs 26659
This theorem is referenced by:  lgsmod  26687
  Copyright terms: Public domain W3C validator