MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsval4a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsval4a 25507
Description: Same as lgsval4 25505 for positive 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgsval4.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
Assertion
Ref Expression
lgsval4a ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 /L 𝑁) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsval4a
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 476 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 nnz 11756 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
32adantl 475 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 nnne0 11415 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
54adantl 475 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
6 lgsval4.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
76lgsval4 25505 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))))
81, 3, 5, 7syl3anc 1439 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))))
9 nngt0 11412 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
109adantl 475 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
11 0re 10380 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
12 nnre 11387 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1312adantl 475 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
14 ltnsym 10476 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → ¬ 𝑁 < 0))
1511, 13, 14sylancr 581 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < 𝑁 → ¬ 𝑁 < 0))
1610, 15mpd 15 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 𝑁 < 0)
1716intnanrd 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
1817iffalsed 4318 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = 1)
19 nnnn0 11655 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2019adantl 475 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2120nn0ge0d 11710 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑁)
2213, 21absidd 14576 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
2322fveq2d 6452 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))
2418, 23oveq12d 6942 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))) = (1 · (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)))
25 simpr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
26 nnuz 12034 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
2725, 26syl6eleq 2869 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
286lgsfcl3 25506 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
291, 3, 5, 28syl3anc 1439 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
30 elfznn 12692 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
31 ffvelrn 6623 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
3229, 30, 31syl2an 589 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
33 zmulcl 11783 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3433adantl 475 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3527, 32, 34seqcl 13144 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℤ)
3635zcnd 11840 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
3736mulid2d 10397 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 · (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))
388, 24, 373eqtrd 2818 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 /L 𝑁) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  ifcif 4307   class class class wbr 4888  cmpt 4967  wf 6133  cfv 6137  (class class class)co 6924  cr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   · cmul 10279   < clt 10413  -cneg 10609  cn 11379  0cn0 11647  cz 11733  cuz 11997  ...cfz 12648  seqcseq 13124  cexp 13183  abscabs 14387  cprime 15800   pCnt cpc 15956   /L clgs 25482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-inf 8639  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-n0 11648  df-xnn0 11720  df-z 11734  df-uz 11998  df-q 12101  df-rp 12143  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-fl 12917  df-mod 12993  df-seq 13125  df-exp 13184  df-hash 13442  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-dvds 15397  df-gcd 15633  df-prm 15801  df-phi 15886  df-pc 15957  df-lgs 25483
This theorem is referenced by:  lgsmod  25511
  Copyright terms: Public domain W3C validator