MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsval4a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsval4a 27363
Description: Same as lgsval4 27361 for positive 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgsval4.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
Assertion
Ref Expression
lgsval4a ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 /L 𝑁) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsval4a
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 nnz 12634 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
32adantl 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 nnne0 12300 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
54adantl 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
6 lgsval4.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
76lgsval4 27361 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))))
81, 3, 5, 7syl3anc 1373 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))))
9 nngt0 12297 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
109adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
11 0re 11263 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
12 nnre 12273 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1312adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
14 ltnsym 11359 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → ¬ 𝑁 < 0))
1511, 13, 14sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < 𝑁 → ¬ 𝑁 < 0))
1610, 15mpd 15 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 𝑁 < 0)
1716intnanrd 489 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
1817iffalsed 4536 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = 1)
19 nnnn0 12533 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2019adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2120nn0ge0d 12590 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑁)
2213, 21absidd 15461 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
2322fveq2d 6910 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))
2418, 23oveq12d 7449 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))) = (1 · (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)))
25 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
26 nnuz 12921 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
2725, 26eleqtrdi 2851 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
286lgsfcl3 27362 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
291, 3, 5, 28syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
30 elfznn 13593 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
31 ffvelcdm 7101 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
3229, 30, 31syl2an 596 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
33 zmulcl 12666 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3433adantl 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3527, 32, 34seqcl 14063 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℤ)
3635zcnd 12723 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
3736mullidd 11279 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 · (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))
388, 24, 373eqtrd 2781 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 /L 𝑁) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295  -cneg 11493  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  seqcseq 14042  cexp 14102  abscabs 15273  cprime 16708   pCnt cpc 16874   /L clgs 27338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-phi 16803  df-pc 16875  df-lgs 27339
This theorem is referenced by:  lgsmod  27367
  Copyright terms: Public domain W3C validator