Theorem lgsval4a 27263

Description: Same as lgsval4 27261 for positive 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgsval4.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))

Assertion

Ref	Expression
lgsval4a	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 /L 𝑁) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsval4a

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		nnz 12495	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		nnne0 12165	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
6		lgsval4.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
7	6	lgsval4 27261	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))))
8	1, 3, 5, 7	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))))
9		nngt0 12162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
10	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
11		0re 11120	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
12		nnre 12138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
13	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
14		ltnsym 11217	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → ¬ 𝑁 < 0))
15	11, 13, 14	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < 𝑁 → ¬ 𝑁 < 0))
16	10, 15	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 𝑁 < 0)
17	16	intnanrd 489	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
18	17	iffalsed 4485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = 1)
19		nnnn0 12394	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
21	20	nn0ge0d 12451	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑁)
22	13, 21	absidd 15336	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
23	22	fveq2d 6832	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))
24	18, 23	oveq12d 7370	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))) = (1 · (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)))
25		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
26		nnuz 12781	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
27	25, 26	eleqtrdi 2841	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
28	6	lgsfcl3 27262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
29	1, 3, 5, 28	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
30		elfznn 13459	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
31		ffvelcdm 7020	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℤ)
32	29, 30, 31	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℤ)
33		zmulcl 12527	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
34	33	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
35	27, 32, 34	seqcl 13935	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℤ)
36	35	zcnd 12584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
37	36	mullidd 11136	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 · (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))
38	8, 24, 37	3eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 /L 𝑁) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ifcif 4474   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  ℝcr 11011  0cc0 11012  1c1 11013   · cmul 11017   < clt 11152  -cneg 11351  ℕcn 12131  ℕ₀cn0 12387  ℤcz 12474  ℤ_≥cuz 12738  ...cfz 13413  seqcseq 13914  ↑cexp 13974  abscabs 15147  ℙcprime 16588   pCnt cpc 16754   /_L clgs 27238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9332  df-inf 9333  df-dju 9800  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-n0 12388  df-xnn0 12461  df-z 12475  df-uz 12739  df-q 12853  df-rp 12897  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-fl 13702  df-mod 13780  df-seq 13915  df-exp 13975  df-hash 14244  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149  df-dvds 16170  df-gcd 16412  df-prm 16589  df-phi 16683  df-pc 16755  df-lgs 27239

This theorem is referenced by:  lgsmod  27267