Theorem dochkrsat 39448

Description: The orthocomplement of a kernel is an atom iff it is nonzero. (Contributed by NM, 1-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochkrsat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochkrsat.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochkrsat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochkrsat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dochkrsat.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochkrsat.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochkrsat.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochkrsat.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochkrsat.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dochkrsat	⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ≠ { 0 } ↔ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem dochkrsat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochkrsat.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dochkrsat.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochkrsat.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
5		eqid 2739	. . 3 ⊢ (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
6		dochkrsat.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		dochkrsat.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8		dochkrsat.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		dochkrsat.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	dochkrshp 39379	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ (Base‘𝑈) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ (LSHyp‘𝑈)))
11		dochkrsat.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
12	1, 3, 8	dvhlmod 39103	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
13	4, 6, 7, 12, 9	lkrssv 37089	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (Base‘𝑈))
14	1, 2, 3, 4, 11, 8, 13	dochn0nv 39368	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ≠ { 0 } ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ (Base‘𝑈)))
15		eqid 2739	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
16		dochkrsat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
17	1, 3, 4, 15, 2	dochlss 39347	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
18	8, 13, 17	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
19	1, 2, 3, 15, 16, 5, 8, 18	dochsatshpb 39445	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ (LSHyp‘𝑈)))
20	10, 14, 19	3bitr4d 310	1 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ≠ { 0 } ↔ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944   ⊆ wss 3891  {csn 4566  ‘cfv 6430  Basecbs 16893  0_gc0g 17131  LSubSpclss 20174  LSAtomsclsa 36967  LSHypclsh 36968  LFnlclfn 37050  LKerclk 37078  HLchlt 37343  LHypclh 37977  DVecHcdvh 39071  ocHcoch 39340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-riotaBAD 36946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-tpos 8026  df-undef 8073  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-map 8591  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-fz 13222  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-0g 17133  df-proset 17994  df-poset 18012  df-plt 18029  df-lub 18045  df-glb 18046  df-join 18047  df-meet 18048  df-p0 18124  df-p1 18125  df-lat 18131  df-clat 18198  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-submnd 18412  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-sbg 18563  df-subg 18733  df-cntz 18904  df-lsm 19222  df-cmn 19369  df-abl 19370  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-ring 19766  df-oppr 19843  df-dvdsr 19864  df-unit 19865  df-invr 19895  df-dvr 19906  df-drng 19974  df-lmod 20106  df-lss 20175  df-lsp 20215  df-lvec 20346  df-lsatoms 36969  df-lshyp 36970  df-lfl 37051  df-lkr 37079  df-oposet 37169  df-ol 37171  df-oml 37172  df-covers 37259  df-ats 37260  df-atl 37291  df-cvlat 37315  df-hlat 37344  df-llines 37491  df-lplanes 37492  df-lvols 37493  df-lines 37494  df-psubsp 37496  df-pmap 37497  df-padd 37789  df-lhyp 37981  df-laut 37982  df-ldil 38097  df-ltrn 38098  df-trl 38152  df-tgrp 38736  df-tendo 38748  df-edring 38750  df-dveca 38996  df-disoa 39022  df-dvech 39072  df-dib 39132  df-dic 39166  df-dih 39222  df-doch 39341  df-djh 39388

This theorem is referenced by:  dochkrsat2  39449  dochsat0  39450