Theorem dochkrsat 37525

Description: The orthocomplement of a kernel is an atom iff it is nonzero. (Contributed by NM, 1-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochkrsat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochkrsat.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochkrsat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochkrsat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dochkrsat.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochkrsat.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochkrsat.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochkrsat.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochkrsat.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dochkrsat	⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ≠ { 0 } ↔ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem dochkrsat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochkrsat.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dochkrsat.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochkrsat.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2825	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
5		eqid 2825	. . 3 ⊢ (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
6		dochkrsat.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		dochkrsat.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8		dochkrsat.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		dochkrsat.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	dochkrshp 37456	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ (Base‘𝑈) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ (LSHyp‘𝑈)))
11		dochkrsat.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
12	1, 3, 8	dvhlmod 37180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
13	4, 6, 7, 12, 9	lkrssv 35166	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (Base‘𝑈))
14	1, 2, 3, 4, 11, 8, 13	dochn0nv 37445	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ≠ { 0 } ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ (Base‘𝑈)))
15		eqid 2825	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
16		dochkrsat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
17	1, 3, 4, 15, 2	dochlss 37424	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
18	8, 13, 17	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
19	1, 2, 3, 15, 16, 5, 8, 18	dochsatshpb 37522	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ (LSHyp‘𝑈)))
20	10, 14, 19	3bitr4d 303	1 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ≠ { 0 } ↔ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999   ⊆ wss 3798  {csn 4399  ‘cfv 6127  Basecbs 16229  0_gc0g 16460  LSubSpclss 19295  LSAtomsclsa 35044  LSHypclsh 35045  LFnlclfn 35127  LKerclk 35155  HLchlt 35420  LHypclh 36054  DVecHcdvh 37148  ocHcoch 37417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-riotaBAD 35023

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-tpos 7622  df-undef 7669  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-0g 16462  df-proset 17288  df-poset 17306  df-plt 17318  df-lub 17334  df-glb 17335  df-join 17336  df-meet 17337  df-p0 17399  df-p1 17400  df-lat 17406  df-clat 17468  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-subg 17949  df-cntz 18107  df-lsm 18409  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-dvr 19044  df-drng 19112  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-lsp 19338  df-lvec 19469  df-lsatoms 35046  df-lshyp 35047  df-lfl 35128  df-lkr 35156  df-oposet 35246  df-ol 35248  df-oml 35249  df-covers 35336  df-ats 35337  df-atl 35368  df-cvlat 35392  df-hlat 35421  df-llines 35568  df-lplanes 35569  df-lvols 35570  df-lines 35571  df-psubsp 35573  df-pmap 35574  df-padd 35866  df-lhyp 36058  df-laut 36059  df-ldil 36174  df-ltrn 36175  df-trl 36229  df-tgrp 36813  df-tendo 36825  df-edring 36827  df-dveca 37073  df-disoa 37099  df-dvech 37149  df-dib 37209  df-dic 37243  df-dih 37299  df-doch 37418  df-djh 37465

This theorem is referenced by:  dochkrsat2  37526  dochsat0  37527