Theorem dochkrsat 37593

Description: The orthocomplement of a kernel is an atom iff it is nonzero. (Contributed by NM, 1-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochkrsat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochkrsat.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochkrsat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochkrsat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dochkrsat.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochkrsat.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochkrsat.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochkrsat.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochkrsat.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dochkrsat	⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ≠ { 0 } ↔ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem dochkrsat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochkrsat.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dochkrsat.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochkrsat.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2777	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
5		eqid 2777	. . 3 ⊢ (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
6		dochkrsat.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		dochkrsat.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8		dochkrsat.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		dochkrsat.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	dochkrshp 37524	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ (Base‘𝑈) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ (LSHyp‘𝑈)))
11		dochkrsat.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
12	1, 3, 8	dvhlmod 37248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
13	4, 6, 7, 12, 9	lkrssv 35234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (Base‘𝑈))
14	1, 2, 3, 4, 11, 8, 13	dochn0nv 37513	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ≠ { 0 } ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ (Base‘𝑈)))
15		eqid 2777	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
16		dochkrsat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
17	1, 3, 4, 15, 2	dochlss 37492	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
18	8, 13, 17	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
19	1, 2, 3, 15, 16, 5, 8, 18	dochsatshpb 37590	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ (LSHyp‘𝑈)))
20	10, 14, 19	3bitr4d 303	1 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ≠ { 0 } ↔ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968   ⊆ wss 3791  {csn 4397  ‘cfv 6135  Basecbs 16255  0_gc0g 16486  LSubSpclss 19324  LSAtomsclsa 35112  LSHypclsh 35113  LFnlclfn 35195  LKerclk 35223  HLchlt 35488  LHypclh 36122  DVecHcdvh 37216  ocHcoch 37485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-riotaBAD 35091

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-undef 7681  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-0g 16488  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-p1 17426  df-lat 17432  df-clat 17494  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-cntz 18133  df-lsm 18435  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-drng 19141  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-lvec 19498  df-lsatoms 35114  df-lshyp 35115  df-lfl 35196  df-lkr 35224  df-oposet 35314  df-ol 35316  df-oml 35317  df-covers 35404  df-ats 35405  df-atl 35436  df-cvlat 35460  df-hlat 35489  df-llines 35636  df-lplanes 35637  df-lvols 35638  df-lines 35639  df-psubsp 35641  df-pmap 35642  df-padd 35934  df-lhyp 36126  df-laut 36127  df-ldil 36242  df-ltrn 36243  df-trl 36297  df-tgrp 36881  df-tendo 36893  df-edring 36895  df-dveca 37141  df-disoa 37167  df-dvech 37217  df-dib 37277  df-dic 37311  df-dih 37367  df-doch 37486  df-djh 37533

This theorem is referenced by:  dochkrsat2  37594  dochsat0  37595