Theorem dochkrsat 42652

Description: The orthocomplement of a kernel is an atom iff it is nonzero. (Contributed by NM, 1-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochkrsat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochkrsat.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochkrsat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochkrsat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dochkrsat.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochkrsat.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochkrsat.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochkrsat.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochkrsat.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dochkrsat	⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ≠ { 0 } ↔ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem dochkrsat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochkrsat.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dochkrsat.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochkrsat.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
6		dochkrsat.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		dochkrsat.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8		dochkrsat.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		dochkrsat.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	dochkrshp 42583	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ (Base‘𝑈) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ (LSHyp‘𝑈)))
11		dochkrsat.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
12	1, 3, 8	dvhlmod 42307	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
13	4, 6, 7, 12, 9	lkrssv 40293	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (Base‘𝑈))
14	1, 2, 3, 4, 11, 8, 13	dochn0nv 42572	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ≠ { 0 } ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ (Base‘𝑈)))
15		eqid 2763	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
16		dochkrsat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
17	1, 3, 4, 15, 2	dochlss 42551	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
18	8, 13, 17	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
19	1, 2, 3, 15, 16, 5, 8, 18	dochsatshpb 42649	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ (LSHyp‘𝑈)))
20	10, 14, 19	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ≠ { 0 } ↔ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958   ⊆ wss 3899  {csn 4587  ‘cfv 6546  Basecbs 17399  0_gc0g 17622  LSubSpclss 21218  LSAtomsclsa 40171  LSHypclsh 40172  LFnlclfn 40254  LKerclk 40282  HLchlt 40547  LHypclh 41181  DVecHcdvh 42275  ocHcoch 42544

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-riotaBAD 40150

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-tpos 8254  df-undef 8301  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-fz 13650  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-0g 17624  df-proset 18480  df-poset 18499  df-plt 18514  df-lub 18530  df-glb 18531  df-join 18532  df-meet 18533  df-p0 18609  df-p1 18610  df-lat 18618  df-clat 18685  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-submnd 18991  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-sbg 19161  df-subg 19345  df-cntz 19543  df-lsm 19862  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-ring 20473  df-oppr 20579  df-dvdsr 20599  df-unit 20600  df-invr 20630  df-dvr 20643  df-drng 20994  df-lmod 21149  df-lss 21219  df-lsp 21259  df-lvec 21390  df-lsatoms 40173  df-lshyp 40174  df-lfl 40255  df-lkr 40283  df-oposet 40373  df-ol 40375  df-oml 40376  df-covers 40463  df-ats 40464  df-atl 40495  df-cvlat 40519  df-hlat 40548  df-llines 40695  df-lplanes 40696  df-lvols 40697  df-lines 40698  df-psubsp 40700  df-pmap 40701  df-padd 40993  df-lhyp 41185  df-laut 41186  df-ldil 41301  df-ltrn 41302  df-trl 41356  df-tgrp 41940  df-tendo 41952  df-edring 41954  df-dveca 42200  df-disoa 42226  df-dvech 42276  df-dib 42336  df-dic 42370  df-dih 42426  df-doch 42545  df-djh 42592

This theorem is used by:  dochkrsat2  42653  dochsat0  42654