Theorem lcfl5 42377

Description: Property of a functional with a closed kernel. (Contributed by NM, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfl5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl5.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl5.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl5.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl5.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl5.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl5.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcfl5.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfl5.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lcfl5	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘𝐺) ∈ ran 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐿   ⊥ ,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐼(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem lcfl5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfl5.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
2		lcfl5.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
3	1, 2	lcfl1 42373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
4		lcfl5.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		lcfl5.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6		lcfl5.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
8		lcfl5.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
9		lcfl5.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		lcfl5.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11		lcfl5.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12	4, 6, 9	dvhlmod 41991	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
13	7, 10, 11, 12, 2	lkrssv 39977	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (Base‘𝑈))
14	4, 5, 6, 7, 8, 9, 13	dochoccl 42250	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐺) ∈ ran 𝐼 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
15	3, 14	bitr4d 285	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘𝐺) ∈ ran 𝐼))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414  ran crn 5660  ‘cfv 6537  Basecbs 17307  LFnlclfn 39938  LKerclk 39966  HLchlt 40231  LHypclh 40865  DVecHcdvh 41959  DIsoHcdih 42109  ocHcoch 42228

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-riotaBAD 39834

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8228  df-undef 8275  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-0g 17532  df-proset 18388  df-poset 18407  df-plt 18422  df-lub 18438  df-glb 18439  df-join 18440  df-meet 18441  df-p0 18517  df-p1 18518  df-lat 18526  df-clat 18593  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-submnd 18898  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-subg 19252  df-cntz 19450  df-lsm 19769  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-invr 20535  df-dvr 20548  df-drng 20898  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-lsp 21162  df-lvec 21293  df-lfl 39939  df-lkr 39967  df-oposet 40057  df-ol 40059  df-oml 40060  df-covers 40147  df-ats 40148  df-atl 40179  df-cvlat 40203  df-hlat 40232  df-llines 40379  df-lplanes 40380  df-lvols 40381  df-lines 40382  df-psubsp 40384  df-pmap 40385  df-padd 40677  df-lhyp 40869  df-laut 40870  df-ldil 40985  df-ltrn 40986  df-trl 41040  df-tendo 41636  df-edring 41638  df-disoa 41910  df-dvech 41960  df-dib 42020  df-dic 42054  df-dih 42110  df-doch 42229

This theorem is used by:  lcfl5a  42378  lcfrlem16  42439  mapdrvallem2  42526