Theorem lcfl5 41520

Description: Property of a functional with a closed kernel. (Contributed by NM, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfl5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl5.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl5.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl5.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl5.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl5.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl5.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcfl5.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfl5.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lcfl5	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘𝐺) ∈ ran 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐿   ⊥ ,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐼(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem lcfl5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfl5.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
2		lcfl5.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
3	1, 2	lcfl1 41516	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
4		lcfl5.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		lcfl5.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6		lcfl5.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
8		lcfl5.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
9		lcfl5.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		lcfl5.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11		lcfl5.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12	4, 6, 9	dvhlmod 41134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
13	7, 10, 11, 12, 2	lkrssv 39119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (Base‘𝑈))
14	4, 5, 6, 7, 8, 9, 13	dochoccl 41393	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐺) ∈ ran 𝐼 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
15	3, 14	bitr4d 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘𝐺) ∈ ran 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3420  ran crn 5660  ‘cfv 6536  Basecbs 17233  LFnlclfn 39080  LKerclk 39108  HLchlt 39373  LHypclh 40008  DVecHcdvh 41102  DIsoHcdih 41252  ocHcoch 41371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-riotaBAD 38976

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8230  df-undef 8277  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-0g 17460  df-proset 18311  df-poset 18330  df-plt 18345  df-lub 18361  df-glb 18362  df-join 18363  df-meet 18364  df-p0 18440  df-p1 18441  df-lat 18447  df-clat 18514  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-subg 19111  df-cntz 19305  df-lsm 19622  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-invr 20353  df-dvr 20366  df-drng 20696  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lsp 20934  df-lvec 21066  df-lfl 39081  df-lkr 39109  df-oposet 39199  df-ol 39201  df-oml 39202  df-covers 39289  df-ats 39290  df-atl 39321  df-cvlat 39345  df-hlat 39374  df-llines 39522  df-lplanes 39523  df-lvols 39524  df-lines 39525  df-psubsp 39527  df-pmap 39528  df-padd 39820  df-lhyp 40012  df-laut 40013  df-ldil 40128  df-ltrn 40129  df-trl 40183  df-tendo 40779  df-edring 40781  df-disoa 41053  df-dvech 41103  df-dib 41163  df-dic 41197  df-dih 41253  df-doch 41372

This theorem is referenced by:  lcfl5a  41521  lcfrlem16  41582  mapdrvallem2  41669