Theorem lcfl4N 40671

Description: Property of a functional with a closed kernel. (Contributed by NM, 1-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfl4.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl4.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl4.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl4.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl4.y	⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
lcfl4.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl4.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl4.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcfl4.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfl4.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lcfl4N	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ 𝑌 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐿   ⊥ ,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓)   𝑌(𝑓)

Proof of Theorem lcfl4N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfl4.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcfl4.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcfl4.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcfl4.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		eqid 2730	. . 3 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
6		lcfl4.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		lcfl4.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8		lcfl4.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
9		lcfl4.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		lcfl4.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lcfl3 40670	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)))
12		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
13		lcfl4.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
14	1, 3, 9	dvhlmod 40286	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
15	4, 6, 7, 14, 10	lkrssv 38271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
16	1, 3, 4, 12, 2	dochlss 40530	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
17	9, 15, 16	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
18	1, 2, 3, 12, 5, 13, 9, 17	dochsatshpb 40628	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ 𝑌))
19	18	orbi1d 913	. 2 ⊢ (𝜑 → ((( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) ↔ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ 𝑌 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)))
20	11, 19	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ 𝑌 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430   ⊆ wss 3949  ‘cfv 6544  Basecbs 17150  LSubSpclss 20688  LSAtomsclsa 38149  LSHypclsh 38150  LFnlclfn 38232  LKerclk 38260  HLchlt 38525  LHypclh 39160  DVecHcdvh 40254  ocHcoch 40523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-riotaBAD 38128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-undef 8262  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-fz 13491  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-0g 17393  df-proset 18254  df-poset 18272  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18391  df-clat 18458  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18708  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-sbg 18862  df-subg 19041  df-cntz 19224  df-lsm 19547  df-cmn 19693  df-abl 19694  df-mgp 20031  df-rng 20049  df-ur 20078  df-ring 20131  df-oppr 20227  df-dvdsr 20250  df-unit 20251  df-invr 20281  df-dvr 20294  df-drng 20504  df-lmod 20618  df-lss 20689  df-lsp 20729  df-lvec 20860  df-lsatoms 38151  df-lshyp 38152  df-lfl 38233  df-lkr 38261  df-oposet 38351  df-ol 38353  df-oml 38354  df-covers 38441  df-ats 38442  df-atl 38473  df-cvlat 38497  df-hlat 38526  df-llines 38674  df-lplanes 38675  df-lvols 38676  df-lines 38677  df-psubsp 38679  df-pmap 38680  df-padd 38972  df-lhyp 39164  df-laut 39165  df-ldil 39280  df-ltrn 39281  df-trl 39335  df-tgrp 39919  df-tendo 39931  df-edring 39933  df-dveca 40179  df-disoa 40205  df-dvech 40255  df-dib 40315  df-dic 40349  df-dih 40405  df-doch 40524  df-djh 40571

This theorem is referenced by: (None)