Theorem lcfl6 41042

Description: Property of a functional with a closed kernel. Note that (𝐿‘𝐺) = 𝑉 means the functional is zero by lkr0f 38635. (Contributed by NM, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfl6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl6.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl6.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl6.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl6.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcfl6.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcfl6.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfl6.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfl6.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcfl6.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl6.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl6.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcfl6.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfl6.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lcfl6	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤, +   𝑓,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥, ⊥   𝑤, 0 ,𝑥   𝑥,𝐶   𝑓,𝐺,𝑥   𝑓,𝐹   𝑓,𝐿,𝑥   𝜑,𝑥   𝑅,𝑘,𝑣   𝑆,𝑘,𝑤,𝑥   𝑣,𝑉,𝑥   𝑥,𝑈   · ,𝑘,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐶(𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   + (𝑥,𝑓)   𝑅(𝑥,𝑤,𝑓)   𝑆(𝑣,𝑓)   · (𝑥,𝑓)   𝑈(𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐿(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑓,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   0 (𝑣,𝑓,𝑘)

Proof of Theorem lcfl6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2931	. . . . 5 ⊢ ((𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉 ↔ ¬ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)
2		lcfl6.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		lcfl6.o	. . . . . . . 8 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcfl6.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		lcfl6.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		lcfl6.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
7		lcfl6.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
8		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
9		lcfl6.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
10		lcfl6.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
11		lcfl6.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12	11	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		lcfl6.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
14	13	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝐹)
15		lcfl6.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
16	2, 3, 4, 5, 9, 10, 15, 11, 13	lcfl2 41035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)))
17	16	biimpa 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉))
18	17	orcomd 869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉))
19	18	ord 862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (¬ (𝐿‘𝐺) = 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉))
20	1, 19	biimtrid 241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉))
21	20	imp 405	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉)
22	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 21	dochkr1 41020	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) → ∃𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))
23	2, 4, 11	dvhlmod 40652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
24	5, 9, 10, 23, 13	lkrssv 38637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
25	2, 4, 5, 3	dochssv 40897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
26	11, 24, 25	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
27	26	ssdifd 4138	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ⊆ (𝑉 ∖ { 0 }))
28	27	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ⊆ (𝑉 ∖ { 0 }))
29		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
30	28, 29	sseldd 3978	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
31		lcfl6.a	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑈)
32		lcfl6.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
33		lcfl6.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
34	11	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
35	13	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
36		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))
37	2, 3, 4, 5, 31, 32, 6, 8, 33, 7, 9, 10, 34, 35, 29, 36	lcfl6lem 41040	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
38	22, 30, 37	reximssdv 3163	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) → ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
39	38	ex 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))))
40	1, 39	biimtrrid 242	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (¬ (𝐿‘𝐺) = 𝑉 → ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))))
41	40	orrd 861	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))))
42	41	ex 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))))
43		olc 866	. . . 4 ⊢ ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉))
44	43, 16	imbitrrid 245	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 → 𝐺 ∈ 𝐶))
45	11	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
46		eldifi 4124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝑉)
47	46	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝑉)
48	47	snssd 4813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → {𝑥} ⊆ 𝑉)
49		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
50	2, 49, 4, 5, 3	dochcl 40895	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝑥} ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
51	45, 48, 50	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
52	2, 49, 3	dochoc 40909	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
53	45, 51, 52	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
54	53	3adant3 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
55		simp3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
56	55	fveq2d 6898	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))))
57		eqid 2725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))
58		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
59	2, 3, 4, 5, 7, 31, 32, 10, 6, 33, 57, 45, 58	dochsnkr2 41015	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐿‘(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
60	59	3adant3 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → (𝐿‘(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
61	56, 60	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
62	61	fveq2d 6898	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥})))
63	62	fveq2d 6898	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))))
64	54, 63, 61	3eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
65	13	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
66	15, 65	lcfl1 41034	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
67	64, 66	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → 𝐺 ∈ 𝐶)
68	67	rexlimdv3a 3149	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))) → 𝐺 ∈ 𝐶))
69	44, 68	jaod 857	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → 𝐺 ∈ 𝐶))
70	42, 69	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∃wrex 3060  {crab 3419   ∖ cdif 3942   ⊆ wss 3945  {csn 4629   ↦ cmpt 5231  ran crn 5678  ‘cfv 6547  ℩crio 7372  (class class class)co 7417  Basecbs 17179  +_gcplusg 17232  Scalarcsca 17235   ·_𝑠 cvsca 17236  0_gc0g 17420  1_rcur 20125  LFnlclfn 38598  LKerclk 38626  HLchlt 38891  LHypclh 39526  DVecHcdvh 40620  DIsoHcdih 40770  ocHcoch 40889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-riotaBAD 38494

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8230  df-undef 8277  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-0g 17422  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cntz 19272  df-lsm 19595  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-lvec 20992  df-lsatoms 38517  df-lshyp 38518  df-lfl 38599  df-lkr 38627  df-oposet 38717  df-ol 38719  df-oml 38720  df-covers 38807  df-ats 38808  df-atl 38839  df-cvlat 38863  df-hlat 38892  df-llines 39040  df-lplanes 39041  df-lvols 39042  df-lines 39043  df-psubsp 39045  df-pmap 39046  df-padd 39338  df-lhyp 39530  df-laut 39531  df-ldil 39646  df-ltrn 39647  df-trl 39701  df-tgrp 40285  df-tendo 40297  df-edring 40299  df-dveca 40545  df-disoa 40571  df-dvech 40621  df-dib 40681  df-dic 40715  df-dih 40771  df-doch 40890  df-djh 40937

This theorem is referenced by:  lcfl7N  41043  lcfrlem9  41092