Theorem lcfl6 41457

Description: Property of a functional with a closed kernel. Note that (𝐿‘𝐺) = 𝑉 means the functional is zero by lkr0f 39050. (Contributed by NM, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfl6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl6.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl6.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl6.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl6.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcfl6.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcfl6.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfl6.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfl6.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcfl6.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl6.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl6.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcfl6.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfl6.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lcfl6	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤, +   𝑓,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥, ⊥   𝑤, 0 ,𝑥   𝑥,𝐶   𝑓,𝐺,𝑥   𝑓,𝐹   𝑓,𝐿,𝑥   𝜑,𝑥   𝑅,𝑘,𝑣   𝑆,𝑘,𝑤,𝑥   𝑣,𝑉,𝑥   𝑥,𝑈   · ,𝑘,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐶(𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   + (𝑥,𝑓)   𝑅(𝑥,𝑤,𝑓)   𝑆(𝑣,𝑓)   · (𝑥,𝑓)   𝑈(𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐿(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑓,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   0 (𝑣,𝑓,𝑘)

Proof of Theorem lcfl6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2947	. . . . 5 ⊢ ((𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉 ↔ ¬ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)
2		lcfl6.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		lcfl6.o	. . . . . . . 8 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcfl6.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		lcfl6.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		lcfl6.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
7		lcfl6.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
8		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
9		lcfl6.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
10		lcfl6.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
11		lcfl6.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12	11	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		lcfl6.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
14	13	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝐹)
15		lcfl6.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
16	2, 3, 4, 5, 9, 10, 15, 11, 13	lcfl2 41450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)))
17	16	biimpa 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉))
18	17	orcomd 870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉))
19	18	ord 863	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (¬ (𝐿‘𝐺) = 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉))
20	1, 19	biimtrid 242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉))
21	20	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉)
22	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 21	dochkr1 41435	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) → ∃𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))
23	2, 4, 11	dvhlmod 41067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
24	5, 9, 10, 23, 13	lkrssv 39052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
25	2, 4, 5, 3	dochssv 41312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
26	11, 24, 25	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
27	26	ssdifd 4168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ⊆ (𝑉 ∖ { 0 }))
28	27	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ⊆ (𝑉 ∖ { 0 }))
29		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
30	28, 29	sseldd 4009	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
31		lcfl6.a	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑈)
32		lcfl6.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
33		lcfl6.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
34	11	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
35	13	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
36		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))
37	2, 3, 4, 5, 31, 32, 6, 8, 33, 7, 9, 10, 34, 35, 29, 36	lcfl6lem 41455	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
38	22, 30, 37	reximssdv 3179	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) → ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
39	38	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))))
40	1, 39	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (¬ (𝐿‘𝐺) = 𝑉 → ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))))
41	40	orrd 862	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))))
42	41	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))))
43		olc 867	. . . 4 ⊢ ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉))
44	43, 16	imbitrrid 246	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 → 𝐺 ∈ 𝐶))
45	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
46		eldifi 4154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝑉)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝑉)
48	47	snssd 4834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → {𝑥} ⊆ 𝑉)
49		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
50	2, 49, 4, 5, 3	dochcl 41310	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝑥} ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
51	45, 48, 50	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
52	2, 49, 3	dochoc 41324	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
53	45, 51, 52	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
54	53	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
55		simp3 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
56	55	fveq2d 6924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))))
57		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))
58		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
59	2, 3, 4, 5, 7, 31, 32, 10, 6, 33, 57, 45, 58	dochsnkr2 41430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐿‘(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
60	59	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → (𝐿‘(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
61	56, 60	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
62	61	fveq2d 6924	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥})))
63	62	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))))
64	54, 63, 61	3eqtr4d 2790	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
65	13	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
66	15, 65	lcfl1 41449	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
67	64, 66	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → 𝐺 ∈ 𝐶)
68	67	rexlimdv3a 3165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))) → 𝐺 ∈ 𝐶))
69	44, 68	jaod 858	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → 𝐺 ∈ 𝐶))
70	42, 69	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076  {crab 3443   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  {csn 4648   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701  ‘cfv 6573  ℩crio 7403  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17499  1_rcur 20208  LFnlclfn 39013  LKerclk 39041  HLchlt 39306  LHypclh 39941  DVecHcdvh 41035  DIsoHcdih 41185  ocHcoch 41304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-riotaBAD 38909

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-undef 8314  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-0g 17501  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-lvec 21125  df-lsatoms 38932  df-lshyp 38933  df-lfl 39014  df-lkr 39042  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-llines 39455  df-lplanes 39456  df-lvols 39457  df-lines 39458  df-psubsp 39460  df-pmap 39461  df-padd 39753  df-lhyp 39945  df-laut 39946  df-ldil 40061  df-ltrn 40062  df-trl 40116  df-tgrp 40700  df-tendo 40712  df-edring 40714  df-dveca 40960  df-disoa 40986  df-dvech 41036  df-dib 41096  df-dic 41130  df-dih 41186  df-doch 41305  df-djh 41352

This theorem is referenced by:  lcfl7N  41458  lcfrlem9  41507