Theorem lcfl6 41502

Description: Property of a functional with a closed kernel. Note that (𝐿‘𝐺) = 𝑉 means the functional is zero by lkr0f 39095. (Contributed by NM, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfl6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl6.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl6.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl6.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl6.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcfl6.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcfl6.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfl6.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfl6.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcfl6.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl6.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl6.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcfl6.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfl6.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lcfl6	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤, +   𝑓,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥, ⊥   𝑤, 0 ,𝑥   𝑥,𝐶   𝑓,𝐺,𝑥   𝑓,𝐹   𝑓,𝐿,𝑥   𝜑,𝑥   𝑅,𝑘,𝑣   𝑆,𝑘,𝑤,𝑥   𝑣,𝑉,𝑥   𝑥,𝑈   · ,𝑘,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐶(𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   + (𝑥,𝑓)   𝑅(𝑥,𝑤,𝑓)   𝑆(𝑣,𝑓)   · (𝑥,𝑓)   𝑈(𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐿(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑓,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   0 (𝑣,𝑓,𝑘)

Proof of Theorem lcfl6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2941	. . . . 5 ⊢ ((𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉 ↔ ¬ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)
2		lcfl6.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		lcfl6.o	. . . . . . . 8 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcfl6.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		lcfl6.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		lcfl6.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
7		lcfl6.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
8		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
9		lcfl6.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
10		lcfl6.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
11		lcfl6.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12	11	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		lcfl6.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
14	13	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝐹)
15		lcfl6.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
16	2, 3, 4, 5, 9, 10, 15, 11, 13	lcfl2 41495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)))
17	16	biimpa 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉))
18	17	orcomd 872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉))
19	18	ord 865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (¬ (𝐿‘𝐺) = 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉))
20	1, 19	biimtrid 242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉))
21	20	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉)
22	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 21	dochkr1 41480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) → ∃𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))
23	2, 4, 11	dvhlmod 41112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
24	5, 9, 10, 23, 13	lkrssv 39097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
25	2, 4, 5, 3	dochssv 41357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
26	11, 24, 25	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
27	26	ssdifd 4145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ⊆ (𝑉 ∖ { 0 }))
28	27	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ⊆ (𝑉 ∖ { 0 }))
29		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
30	28, 29	sseldd 3984	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
31		lcfl6.a	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑈)
32		lcfl6.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
33		lcfl6.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
34	11	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
35	13	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
36		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))
37	2, 3, 4, 5, 31, 32, 6, 8, 33, 7, 9, 10, 34, 35, 29, 36	lcfl6lem 41500	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
38	22, 30, 37	reximssdv 3173	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) → ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
39	38	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))))
40	1, 39	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (¬ (𝐿‘𝐺) = 𝑉 → ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))))
41	40	orrd 864	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))))
42	41	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))))
43		olc 869	. . . 4 ⊢ ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉))
44	43, 16	imbitrrid 246	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 → 𝐺 ∈ 𝐶))
45	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
46		eldifi 4131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝑉)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝑉)
48	47	snssd 4809	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → {𝑥} ⊆ 𝑉)
49		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
50	2, 49, 4, 5, 3	dochcl 41355	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝑥} ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
51	45, 48, 50	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
52	2, 49, 3	dochoc 41369	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
53	45, 51, 52	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
54	53	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
55		simp3 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
56	55	fveq2d 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))))
57		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))
58		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
59	2, 3, 4, 5, 7, 31, 32, 10, 6, 33, 57, 45, 58	dochsnkr2 41475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐿‘(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
60	59	3adant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → (𝐿‘(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
61	56, 60	eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
62	61	fveq2d 6910	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥})))
63	62	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))))
64	54, 63, 61	3eqtr4d 2787	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
65	13	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
66	15, 65	lcfl1 41494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
67	64, 66	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → 𝐺 ∈ 𝐶)
68	67	rexlimdv3a 3159	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))) → 𝐺 ∈ 𝐶))
69	44, 68	jaod 860	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → 𝐺 ∈ 𝐶))
70	42, 69	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  {crab 3436   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  {csn 4626   ↦ cmpt 5225  ran crn 5686  ‘cfv 6561  ℩crio 7387  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17484  1_rcur 20178  LFnlclfn 39058  LKerclk 39086  HLchlt 39351  LHypclh 39986  DVecHcdvh 41080  DIsoHcdih 41230  ocHcoch 41349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-riotaBAD 38954

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-undef 8298  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lsatoms 38977  df-lshyp 38978  df-lfl 39059  df-lkr 39087  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tgrp 40745  df-tendo 40757  df-edring 40759  df-dveca 41005  df-disoa 41031  df-dvech 41081  df-dib 41141  df-dic 41175  df-dih 41231  df-doch 41350  df-djh 41397

This theorem is referenced by:  lcfl7N  41503  lcfrlem9  41552