Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfl6 38836
 Description: Property of a functional with a closed kernel. Note that (𝐿‘𝐺) = 𝑉 means the functional is zero by lkr0f 36430. (Contributed by NM, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl6.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl6.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl6.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl6.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl6.a + = (+g𝑈)
lcfl6.t · = ( ·𝑠𝑈)
lcfl6.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfl6.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfl6.z 0 = (0g𝑈)
lcfl6.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl6.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl6.c 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
lcfl6.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfl6.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lcfl6 (𝜑 → (𝐺𝐶 ↔ ((𝐿𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤, +   𝑓,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥,   𝑤, 0 ,𝑥   𝑥,𝐶   𝑓,𝐺,𝑥   𝑓,𝐹   𝑓,𝐿,𝑥   𝜑,𝑥   𝑅,𝑘,𝑣   𝑆,𝑘,𝑤,𝑥   𝑣,𝑉,𝑥   𝑥,𝑈   · ,𝑘,𝑣,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐶(𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   + (𝑥,𝑓)   𝑅(𝑥,𝑤,𝑓)   𝑆(𝑣,𝑓)   · (𝑥,𝑓)   𝑈(𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐿(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑓,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   0 (𝑣,𝑓,𝑘)

Proof of Theorem lcfl6
StepHypRef Expression
1 df-ne 2988 . . . . 5 ((𝐿𝐺) ≠ 𝑉 ↔ ¬ (𝐿𝐺) = 𝑉)
2 lcfl6.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 lcfl6.o . . . . . . . 8 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4 lcfl6.u . . . . . . . 8 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 lcfl6.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑈)
6 lcfl6.s . . . . . . . 8 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
7 lcfl6.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑈)
8 eqid 2798 . . . . . . . 8 (1r𝑆) = (1r𝑆)
9 lcfl6.f . . . . . . . 8 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
10 lcfl6.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LKer‘𝑈)
11 lcfl6.k . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
1211ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) ≠ 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
13 lcfl6.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐹)
1413ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) ≠ 𝑉) → 𝐺𝐹)
15 lcfl6.c . . . . . . . . . . . . . 14 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
162, 3, 4, 5, 9, 10, 15, 11, 13lcfl2 38829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺𝐶 ↔ (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿𝐺) = 𝑉)))
1716biimpa 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐺𝐶) → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿𝐺) = 𝑉))
1817orcomd 868 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐺𝐶) → ((𝐿𝐺) = 𝑉 ∨ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉))
1918ord 861 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐺𝐶) → (¬ (𝐿𝐺) = 𝑉 → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉))
201, 19syl5bi 245 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐺𝐶) → ((𝐿𝐺) ≠ 𝑉 → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉))
2120imp 410 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) ≠ 𝑉) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉)
222, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 21dochkr1 38814 . . . . . . 7 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) ≠ 𝑉) → ∃𝑥 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺𝑥) = (1r𝑆))
232, 4, 11dvhlmod 38446 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
245, 9, 10, 23, 13lkrssv 36432 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉)
252, 4, 5, 3dochssv 38691 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑉)
2611, 24, 25syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑉)
2726ssdifd 4068 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }) ⊆ (𝑉 ∖ { 0 }))
2827ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺𝑥) = (1r𝑆))) → (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }) ⊆ (𝑉 ∖ { 0 }))
29 simprl 770 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺𝑥) = (1r𝑆))) → 𝑥 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }))
3028, 29sseldd 3916 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺𝑥) = (1r𝑆))) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
31 lcfl6.a . . . . . . . 8 + = (+g𝑈)
32 lcfl6.t . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑈)
33 lcfl6.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Base‘𝑆)
3411ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺𝑥) = (1r𝑆))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3513ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺𝑥) = (1r𝑆))) → 𝐺𝐹)
36 simprr 772 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺𝑥) = (1r𝑆))) → (𝐺𝑥) = (1r𝑆))
372, 3, 4, 5, 31, 32, 6, 8, 33, 7, 9, 10, 34, 35, 29, 36lcfl6lem 38834 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺𝑥) = (1r𝑆))) → 𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
3822, 30, 37reximssdv 3235 . . . . . 6 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) ≠ 𝑉) → ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
3938ex 416 . . . . 5 ((𝜑𝐺𝐶) → ((𝐿𝐺) ≠ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))))
401, 39syl5bir 246 . . . 4 ((𝜑𝐺𝐶) → (¬ (𝐿𝐺) = 𝑉 → ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))))
4140orrd 860 . . 3 ((𝜑𝐺𝐶) → ((𝐿𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))))
4241ex 416 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐶 → ((𝐿𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))))
43 olc 865 . . . 4 ((𝐿𝐺) = 𝑉 → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿𝐺) = 𝑉))
4443, 16syl5ibr 249 . . 3 (𝜑 → ((𝐿𝐺) = 𝑉𝐺𝐶))
4511adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
46 eldifi 4054 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑥𝑉)
4746adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑥𝑉)
4847snssd 4702 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → {𝑥} ⊆ 𝑉)
49 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
502, 49, 4, 5, 3dochcl 38689 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝑥} ⊆ 𝑉) → ( ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
5145, 48, 50syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ( ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
522, 49, 3dochoc 38703 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ‘( ‘( ‘{𝑥}))) = ( ‘{𝑥}))
5345, 51, 52syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ( ‘( ‘( ‘{𝑥}))) = ( ‘{𝑥}))
54533adant3 1129 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → ( ‘( ‘( ‘{𝑥}))) = ( ‘{𝑥}))
55 simp3 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → 𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
5655fveq2d 6654 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → (𝐿𝐺) = (𝐿‘(𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))))
57 eqid 2798 . . . . . . . . . . 11 (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))) = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))
58 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
592, 3, 4, 5, 7, 31, 32, 10, 6, 33, 57, 45, 58dochsnkr2 38809 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐿‘(𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) = ( ‘{𝑥}))
60593adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → (𝐿‘(𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) = ( ‘{𝑥}))
6156, 60eqtrd 2833 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}))
6261fveq2d 6654 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → ( ‘(𝐿𝐺)) = ( ‘( ‘{𝑥})))
6362fveq2d 6654 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = ( ‘( ‘( ‘{𝑥}))))
6454, 63, 613eqtr4d 2843 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺))
65133ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → 𝐺𝐹)
6615, 65lcfl1 38828 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → (𝐺𝐶 ↔ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺)))
6764, 66mpbird 260 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → 𝐺𝐶)
6867rexlimdv3a 3245 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))) → 𝐺𝐶))
6944, 68jaod 856 . 2 (𝜑 → (((𝐿𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → 𝐺𝐶))
7042, 69impbid 215 1 (𝜑 → (𝐺𝐶 ↔ ((𝐿𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107  {crab 3110   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881  {csn 4525   ↦ cmpt 5111  ran crn 5521  ‘cfv 6327  ℩crio 7097  (class class class)co 7140  Basecbs 16482  +gcplusg 16564  Scalarcsca 16567   ·𝑠 cvsca 16568  0gc0g 16712  1rcur 19252  LFnlclfn 36393  LKerclk 36421  HLchlt 36686  LHypclh 37320  DVecHcdvh 38414  DIsoHcdih 38564  ocHcoch 38683 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610  ax-riotaBAD 36289 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7568  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7882  df-undef 7929  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-fz 12893  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-0g 16714  df-proset 17537  df-poset 17555  df-plt 17567  df-lub 17583  df-glb 17584  df-join 17585  df-meet 17586  df-p0 17648  df-p1 17649  df-lat 17655  df-clat 17717  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-lsm 18761  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19241  df-ur 19253  df-ring 19300  df-oppr 19377  df-dvdsr 19395  df-unit 19396  df-invr 19426  df-dvr 19437  df-drng 19505  df-lmod 19637  df-lss 19705  df-lsp 19745  df-lvec 19876  df-lsatoms 36312  df-lshyp 36313  df-lfl 36394  df-lkr 36422  df-oposet 36512  df-ol 36514  df-oml 36515  df-covers 36602  df-ats 36603  df-atl 36634  df-cvlat 36658  df-hlat 36687  df-llines 36834  df-lplanes 36835  df-lvols 36836  df-lines 36837  df-psubsp 36839  df-pmap 36840  df-padd 37132  df-lhyp 37324  df-laut 37325  df-ldil 37440  df-ltrn 37441  df-trl 37495  df-tgrp 38079  df-tendo 38091  df-edring 38093  df-dveca 38339  df-disoa 38365  df-dvech 38415  df-dib 38475  df-dic 38509  df-dih 38565  df-doch 38684  df-djh 38731 This theorem is referenced by:  lcfl7N  38837  lcfrlem9  38886
 Copyright terms: Public domain W3C validator