Theorem lcfl6 38651

Description: Property of a functional with a closed kernel. Note that (𝐿‘𝐺) = 𝑉 means the functional is zero by lkr0f 36245. (Contributed by NM, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfl6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl6.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl6.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl6.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl6.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcfl6.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcfl6.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfl6.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfl6.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcfl6.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl6.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl6.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcfl6.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfl6.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lcfl6	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤, +   𝑓,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥, ⊥   𝑤, 0 ,𝑥   𝑥,𝐶   𝑓,𝐺,𝑥   𝑓,𝐹   𝑓,𝐿,𝑥   𝜑,𝑥   𝑅,𝑘,𝑣   𝑆,𝑘,𝑤,𝑥   𝑣,𝑉,𝑥   𝑥,𝑈   · ,𝑘,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐶(𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   + (𝑥,𝑓)   𝑅(𝑥,𝑤,𝑓)   𝑆(𝑣,𝑓)   · (𝑥,𝑓)   𝑈(𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐿(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑓,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   0 (𝑣,𝑓,𝑘)

Proof of Theorem lcfl6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 3017	. . . . 5 ⊢ ((𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉 ↔ ¬ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)
2		lcfl6.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		lcfl6.o	. . . . . . . 8 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcfl6.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		lcfl6.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		lcfl6.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
7		lcfl6.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
8		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
9		lcfl6.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
10		lcfl6.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
11		lcfl6.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12	11	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		lcfl6.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
14	13	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝐹)
15		lcfl6.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
16	2, 3, 4, 5, 9, 10, 15, 11, 13	lcfl2 38644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)))
17	16	biimpa 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉))
18	17	orcomd 867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉))
19	18	ord 860	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (¬ (𝐿‘𝐺) = 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉))
20	1, 19	syl5bi 244	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉))
21	20	imp 409	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉)
22	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 21	dochkr1 38629	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) → ∃𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))
23	2, 4, 11	dvhlmod 38261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
24	5, 9, 10, 23, 13	lkrssv 36247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
25	2, 4, 5, 3	dochssv 38506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
26	11, 24, 25	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
27	26	ssdifd 4117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ⊆ (𝑉 ∖ { 0 }))
28	27	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ⊆ (𝑉 ∖ { 0 }))
29		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
30	28, 29	sseldd 3968	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
31		lcfl6.a	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑈)
32		lcfl6.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
33		lcfl6.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
34	11	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
35	13	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
36		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))
37	2, 3, 4, 5, 31, 32, 6, 8, 33, 7, 9, 10, 34, 35, 29, 36	lcfl6lem 38649	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
38	22, 30, 37	reximssdv 3276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) → ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
39	38	ex 415	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))))
40	1, 39	syl5bir 245	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (¬ (𝐿‘𝐺) = 𝑉 → ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))))
41	40	orrd 859	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))))
42	41	ex 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))))
43		olc 864	. . . 4 ⊢ ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉))
44	43, 16	syl5ibr 248	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 → 𝐺 ∈ 𝐶))
45	11	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
46		eldifi 4103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝑉)
47	46	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝑉)
48	47	snssd 4742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → {𝑥} ⊆ 𝑉)
49		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
50	2, 49, 4, 5, 3	dochcl 38504	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝑥} ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
51	45, 48, 50	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
52	2, 49, 3	dochoc 38518	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
53	45, 51, 52	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
54	53	3adant3 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
55		simp3 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
56	55	fveq2d 6674	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))))
57		eqid 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))
58		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
59	2, 3, 4, 5, 7, 31, 32, 10, 6, 33, 57, 45, 58	dochsnkr2 38624	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐿‘(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
60	59	3adant3 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → (𝐿‘(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
61	56, 60	eqtrd 2856	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
62	61	fveq2d 6674	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥})))
63	62	fveq2d 6674	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))))
64	54, 63, 61	3eqtr4d 2866	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
65	13	3ad2ant1 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
66	15, 65	lcfl1 38643	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
67	64, 66	mpbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → 𝐺 ∈ 𝐶)
68	67	rexlimdv3a 3286	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))) → 𝐺 ∈ 𝐶))
69	44, 68	jaod 855	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → 𝐺 ∈ 𝐶))
70	42, 69	impbid 214	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139  {crab 3142   ∖ cdif 3933   ⊆ wss 3936  {csn 4567   ↦ cmpt 5146  ran crn 5556  ‘cfv 6355  ℩crio 7113  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  Scalarcsca 16568   ·_𝑠 cvsca 16569  0_gc0g 16713  1_rcur 19251  LFnlclfn 36208  LKerclk 36236  HLchlt 36501  LHypclh 37135  DVecHcdvh 38229  DIsoHcdih 38379  ocHcoch 38498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-riotaBAD 36104

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-tpos 7892  df-undef 7939  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-0g 16715  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-p1 17650  df-lat 17656  df-clat 17718  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-lsm 18761  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lvec 19875  df-lsatoms 36127  df-lshyp 36128  df-lfl 36209  df-lkr 36237  df-oposet 36327  df-ol 36329  df-oml 36330  df-covers 36417  df-ats 36418  df-atl 36449  df-cvlat 36473  df-hlat 36502  df-llines 36649  df-lplanes 36650  df-lvols 36651  df-lines 36652  df-psubsp 36654  df-pmap 36655  df-padd 36947  df-lhyp 37139  df-laut 37140  df-ldil 37255  df-ltrn 37256  df-trl 37310  df-tgrp 37894  df-tendo 37906  df-edring 37908  df-dveca 38154  df-disoa 38180  df-dvech 38230  df-dib 38290  df-dic 38324  df-dih 38380  df-doch 38499  df-djh 38546

This theorem is referenced by:  lcfl7N  38652  lcfrlem9  38701