Theorem lcfl6 42072

Description: Property of a functional with a closed kernel. Note that (𝐿‘𝐺) = 𝑉 means the functional is zero by lkr0f 39666. (Contributed by NM, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfl6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl6.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl6.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl6.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl6.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcfl6.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcfl6.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfl6.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfl6.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcfl6.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl6.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl6.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcfl6.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfl6.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lcfl6	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤, +   𝑓,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥, ⊥   𝑤, 0 ,𝑥   𝑥,𝐶   𝑓,𝐺,𝑥   𝑓,𝐹   𝑓,𝐿,𝑥   𝜑,𝑥   𝑅,𝑘,𝑣   𝑆,𝑘,𝑤,𝑥   𝑣,𝑉,𝑥   𝑥,𝑈   · ,𝑘,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐶(𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   + (𝑥,𝑓)   𝑅(𝑥,𝑤,𝑓)   𝑆(𝑣,𝑓)   · (𝑥,𝑓)   𝑈(𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐿(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑓,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   0 (𝑣,𝑓,𝑘)

Proof of Theorem lcfl6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2952	. . . . 5 ⊢ ((𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉 ↔ ¬ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)
2		lcfl6.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		lcfl6.o	. . . . . . . 8 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcfl6.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		lcfl6.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		lcfl6.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
7		lcfl6.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
8		eqid 2756	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
9		lcfl6.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
10		lcfl6.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
11		lcfl6.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12	11	ad2antrr 734	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		lcfl6.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
14	13	ad2antrr 734	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝐹)
15		lcfl6.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
16	2, 3, 4, 5, 9, 10, 15, 11, 13	lcfl2 42065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)))
17	16	biimpa 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉))
18	17	orcomd 880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉))
19	18	ord 873	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (¬ (𝐿‘𝐺) = 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉))
20	1, 19	biimtrid 244	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉))
21	20	imp 409	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉)
22	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 21	dochkr1 42050	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) → ∃𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))
23	2, 4, 11	dvhlmod 41682	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
24	5, 9, 10, 23, 13	lkrssv 39668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
25	2, 4, 5, 3	dochssv 41927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
26	11, 24, 25	syl2anc 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
27	26	ssdifd 4093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ⊆ (𝑉 ∖ { 0 }))
28	27	ad3antrrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ⊆ (𝑉 ∖ { 0 }))
29		simprl 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
30	28, 29	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
31		lcfl6.a	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑈)
32		lcfl6.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
33		lcfl6.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
34	11	ad3antrrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
35	13	ad3antrrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
36		simprr 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))
37	2, 3, 4, 5, 31, 32, 6, 8, 33, 7, 9, 10, 34, 35, 29, 36	lcfl6lem 42070	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘𝑥) = (1r‘𝑆))) → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
38	22, 30, 37	reximssdv 3174	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) → ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
39	38	ex 415	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))))
40	1, 39	biimtrrid 245	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (¬ (𝐿‘𝐺) = 𝑉 → ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))))
41	40	orrd 872	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))))
42	41	ex 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))))
43		olc 877	. . . 4 ⊢ ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉))
44	43, 16	imbitrrid 248	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 → 𝐺 ∈ 𝐶))
45	11	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
46		eldifi 4079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝑉)
47	46	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝑉)
48	47	snssd 4739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → {𝑥} ⊆ 𝑉)
49		eqid 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
50	2, 49, 4, 5, 3	dochcl 41925	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝑥} ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
51	45, 48, 50	syl2anc 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
52	2, 49, 3	dochoc 41939	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
53	45, 51, 52	syl2anc 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
54	53	3adant3 1141	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
55		simp3 1147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
56	55	fveq2d 6860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))))
57		eqid 2756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))
58		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
59	2, 3, 4, 5, 7, 31, 32, 10, 6, 33, 57, 45, 58	dochsnkr2 42045	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐿‘(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
60	59	3adant3 1141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → (𝐿‘(𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
61	56, 60	eqtrd 2791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
62	61	fveq2d 6860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥})))
63	62	fveq2d 6860	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑥}))))
64	54, 63, 61	3eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
65	13	3ad2ant1 1142	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
66	15, 65	lcfl1 42064	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
67	64, 66	mpbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → 𝐺 ∈ 𝐶)
68	67	rexlimdv3a 3161	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))) → 𝐺 ∈ 𝐶))
69	44, 68	jaod 868	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) → 𝐺 ∈ 𝐶))
70	42, 69	impbid 214	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 856   ∧ w3a 1095   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951  ∃wrex 3080  {crab 3408   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4576   ↦ cmpt 5175  ran crn 5641  ‘cfv 6510  ℩crio 7341  (class class class)co 7385  Basecbs 17221  +_gcplusg 17262  Scalarcsca 17265   ·_𝑠 cvsca 17266  0_gc0g 17444  1_rcur 20203  LFnlclfn 39629  LKerclk 39657  HLchlt 39922  LHypclh 40556  DVecHcdvh 41650  DIsoHcdih 41800  ocHcoch 41919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-riotaBAD 39525

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-tpos 8194  df-undef 8241  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-er 8666  df-map 8798  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-fz 13503  df-struct 17159  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-0g 17446  df-proset 18302  df-poset 18321  df-plt 18336  df-lub 18352  df-glb 18353  df-join 18354  df-meet 18355  df-p0 18431  df-p1 18432  df-lat 18440  df-clat 18507  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-submnd 18794  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19333  df-lsm 19652  df-cmn 19798  df-abl 19799  df-mgp 20163  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-oppr 20358  df-dvdsr 20378  df-unit 20379  df-invr 20409  df-dvr 20422  df-drng 20753  df-lmod 20902  df-lss 20972  df-lsp 21012  df-lvec 21143  df-lsatoms 39548  df-lshyp 39549  df-lfl 39630  df-lkr 39658  df-oposet 39748  df-ol 39750  df-oml 39751  df-covers 39838  df-ats 39839  df-atl 39870  df-cvlat 39894  df-hlat 39923  df-llines 40070  df-lplanes 40071  df-lvols 40072  df-lines 40073  df-psubsp 40075  df-pmap 40076  df-padd 40368  df-lhyp 40560  df-laut 40561  df-ldil 40676  df-ltrn 40677  df-trl 40731  df-tgrp 41315  df-tendo 41327  df-edring 41329  df-dveca 41575  df-disoa 41601  df-dvech 41651  df-dib 41711  df-dic 41745  df-dih 41801  df-doch 41920  df-djh 41967

This theorem is referenced by:  lcfl7N  42073  lcfrlem9  42122