Theorem mapdsn 40817

Description: Value of the map defined by df-mapd 40801 at the span of a singleton. (Contributed by NM, 16-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdsn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdsn.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdsn.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdsn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdsn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdsn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdsn.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdsn.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdsn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdsn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
mapdsn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝐿‘𝑓)})

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁   𝑓,𝑊   𝑓,𝑋   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem mapdsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdsn.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdsn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2730	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
4		mapdsn.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
5		mapdsn.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
6		mapdsn.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7		mapdsn.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdsn.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	1, 2, 8	dvhlmod 40286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
10		mapdsn.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		mapdsn.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
12		mapdsn.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
13	11, 3, 12	lspsncl 20734	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
14	9, 10, 13	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14	mapdval 40804	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))})
16	8	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17	10	snssd 4813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
18	11, 12	lspssv 20740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉)
19	9, 17, 18	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉)
20	19	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉)
21		simprr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
22	1, 2, 11, 6	dochss 40541	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑂‘(𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))))
23	16, 20, 21, 22	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑂‘(𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))))
24	1, 2, 6, 11, 12, 8, 17	dochocsp 40555	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑂‘{𝑋}))
25	24	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑂‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑂‘{𝑋}))
26		simprl 767	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓))
27	23, 25, 26	3sstr3d 4029	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝐿‘𝑓))
28	8	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝐿‘𝑓)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
29		simplr 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝐿‘𝑓)) → 𝑓 ∈ 𝐹)
30	10	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝐿‘𝑓)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
31		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝐿‘𝑓)) → (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝐿‘𝑓))
32	1, 6, 2, 11, 4, 5, 28, 29, 30, 31	lcfl9a 40681	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝐿‘𝑓)) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓))
33	9	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝐿‘𝑓)) → 𝑈 ∈ LMod)
34	11, 4, 5, 33, 29	lkrssv 38271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝐿‘𝑓)) → (𝐿‘𝑓) ⊆ 𝑉)
35	1, 2, 11, 6	dochss 40541	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝑓) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝐿‘𝑓)) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ (𝑂‘(𝑂‘{𝑋})))
36	28, 34, 31, 35	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝐿‘𝑓)) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ (𝑂‘(𝑂‘{𝑋})))
37	1, 2, 6, 11, 12, 8, 10	dochocsn 40557	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑂‘{𝑋})) = (𝑁‘{𝑋}))
38	37	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝐿‘𝑓)) → (𝑂‘(𝑂‘{𝑋})) = (𝑁‘{𝑋}))
39	36, 38	sseqtrd 4023	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝐿‘𝑓)) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
40	32, 39	jca 510	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝐿‘𝑓)) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ (𝑁‘{𝑋})))
41	27, 40	impbida 797	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) → (((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ↔ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝐿‘𝑓)))
42	41	rabbidva 3437	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))} = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝐿‘𝑓)})
43	15, 42	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝐿‘𝑓)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430   ⊆ wss 3949  {csn 4629  ‘cfv 6544  Basecbs 17150  LModclmod 20616  LSubSpclss 20688  LSpanclspn 20728  LFnlclfn 38232  LKerclk 38260  HLchlt 38525  LHypclh 39160  DVecHcdvh 40254  ocHcoch 40523  mapdcmpd 40800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-riotaBAD 38128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-undef 8262  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-fz 13491  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-0g 17393  df-proset 18254  df-poset 18272  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18391  df-clat 18458  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18708  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-sbg 18862  df-subg 19041  df-cntz 19224  df-lsm 19547  df-cmn 19693  df-abl 19694  df-mgp 20031  df-rng 20049  df-ur 20078  df-ring 20131  df-oppr 20227  df-dvdsr 20250  df-unit 20251  df-invr 20281  df-dvr 20294  df-drng 20504  df-lmod 20618  df-lss 20689  df-lsp 20729  df-lvec 20860  df-lsatoms 38151  df-lshyp 38152  df-lfl 38233  df-lkr 38261  df-oposet 38351  df-ol 38353  df-oml 38354  df-covers 38441  df-ats 38442  df-atl 38473  df-cvlat 38497  df-hlat 38526  df-llines 38674  df-lplanes 38675  df-lvols 38676  df-lines 38677  df-psubsp 38679  df-pmap 38680  df-padd 38972  df-lhyp 39164  df-laut 39165  df-ldil 39280  df-ltrn 39281  df-trl 39335  df-tgrp 39919  df-tendo 39931  df-edring 39933  df-dveca 40179  df-disoa 40205  df-dvech 40255  df-dib 40315  df-dic 40349  df-dih 40405  df-doch 40524  df-djh 40571  df-mapd 40801

This theorem is referenced by:  mapdsn2  40818  hdmaplkr  41089