Theorem dochkrsat2 37259

Description: The orthocomplement of a kernel is an atom iff the double orthocomplement is not the vector space. (Contributed by NM, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochkrsat2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochkrsat2.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochkrsat2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochkrsat2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochkrsat2.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dochkrsat2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochkrsat2.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochkrsat2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochkrsat2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dochkrsat2	⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ↔ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem dochkrsat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochkrsat2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dochkrsat2.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochkrsat2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochkrsat2.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		eqid 2771	. . 3 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
6		dochkrsat2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		dochkrsat2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
8		dochkrsat2.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
9	1, 3, 6	dvhlmod 36913	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
10		dochkrsat2.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
11	4, 7, 8, 9, 10	lkrssv 34898	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11	dochn0nv 37178	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ≠ {(0g‘𝑈)} ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉))
13		dochkrsat2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
14	1, 2, 3, 13, 7, 8, 5, 6, 10	dochkrsat 37258	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ≠ {(0g‘𝑈)} ↔ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ 𝐴))
15	12, 14	bitr3d 270	1 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ↔ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  {csn 4316  ‘cfv 6029  Basecbs 16057  0_gc0g 16301  LSAtomsclsa 34776  LFnlclfn 34859  LKerclk 34887  HLchlt 35152  LHypclh 35785  DVecHcdvh 36881  ocHcoch 37150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-riotaBAD 34754

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-tpos 7502  df-undef 7549  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-fz 12527  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-sca 16158  df-vsca 16159  df-0g 16303  df-preset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-p0 17240  df-p1 17241  df-lat 17247  df-clat 17309  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-subg 17792  df-cntz 17950  df-lsm 18251  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18691  df-ur 18703  df-ring 18750  df-oppr 18824  df-dvdsr 18842  df-unit 18843  df-invr 18873  df-dvr 18884  df-drng 18952  df-lmod 19068  df-lss 19136  df-lsp 19178  df-lvec 19309  df-lsatoms 34778  df-lshyp 34779  df-lfl 34860  df-lkr 34888  df-oposet 34978  df-ol 34980  df-oml 34981  df-covers 35068  df-ats 35069  df-atl 35100  df-cvlat 35124  df-hlat 35153  df-llines 35299  df-lplanes 35300  df-lvols 35301  df-lines 35302  df-psubsp 35304  df-pmap 35305  df-padd 35597  df-lhyp 35789  df-laut 35790  df-ldil 35905  df-ltrn 35906  df-trl 35961  df-tgrp 36545  df-tendo 36557  df-edring 36559  df-dveca 36805  df-disoa 36832  df-dvech 36882  df-dib 36942  df-dic 36976  df-dih 37032  df-doch 37151  df-djh 37198

This theorem is referenced by:  dochsnkrlem2  37273  dochkr1  37281  dochkr1OLDN  37282  lcfl3  37297  lcfl8b  37307