Theorem dihss 39820

Description: The value of isomorphism H is a set of vectors. (Contributed by NM, 14-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihss.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihss.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihss.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dihss	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem dihss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dihss.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dihss.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		dihss.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2731	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
6	1, 2, 3, 4, 5	dihlss 39819	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈))
7		dihss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
8	7, 5	lssss 20469	. 2 ⊢ ((𝐼‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈) → (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑉)
9	6, 8	syl 17	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3928  ‘cfv 6516  Basecbs 17109  LSubSpclss 20464  HLchlt 37918  LHypclh 38553  DVecHcdvh 39647  DIsoHcdih 39797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-riotaBAD 37521

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-iin 4977  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-tpos 8177  df-undef 8224  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-map 8789  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-6 12244  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-fz 13450  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-ress 17139  df-plusg 17175  df-mulr 17176  df-sca 17178  df-vsca 17179  df-0g 17352  df-proset 18213  df-poset 18231  df-plt 18248  df-lub 18264  df-glb 18265  df-join 18266  df-meet 18267  df-p0 18343  df-p1 18344  df-lat 18350  df-clat 18417  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-submnd 18631  df-grp 18780  df-minusg 18781  df-sbg 18782  df-subg 18954  df-cntz 19126  df-lsm 19447  df-cmn 19593  df-abl 19594  df-mgp 19926  df-ur 19943  df-ring 19995  df-oppr 20078  df-dvdsr 20099  df-unit 20100  df-invr 20130  df-dvr 20141  df-drng 20242  df-lmod 20395  df-lss 20465  df-lsp 20505  df-lvec 20636  df-oposet 37744  df-ol 37746  df-oml 37747  df-covers 37834  df-ats 37835  df-atl 37866  df-cvlat 37890  df-hlat 37919  df-llines 38067  df-lplanes 38068  df-lvols 38069  df-lines 38070  df-psubsp 38072  df-pmap 38073  df-padd 38365  df-lhyp 38557  df-laut 38558  df-ldil 38673  df-ltrn 38674  df-trl 38728  df-tendo 39324  df-edring 39326  df-disoa 39598  df-dvech 39648  df-dib 39708  df-dic 39742  df-dih 39798

This theorem is referenced by:  dihssxp  39821  dihvalrel  39848  djhlj  39970  dihsumssj  39977