Theorem dochexmidlem2 40938

Description: Lemma for dochexmid 40945. (Contributed by NM, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochexmidlem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochexmidlem1.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochexmidlem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochexmidlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochexmidlem1.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dochexmidlem1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dochexmidlem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dochexmidlem1.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dochexmidlem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochexmidlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
dochexmidlem2.pp	⊢ (𝜑 → 𝑝 ∈ 𝐴)
dochexmidlem2.qq	⊢ (𝜑 → 𝑞 ∈ 𝐴)
dochexmidlem2.rr	⊢ (𝜑 → 𝑟 ∈ 𝐴)
dochexmidlem2.ql	⊢ (𝜑 → 𝑞 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
dochexmidlem2.rl	⊢ (𝜑 → 𝑟 ⊆ 𝑋)
dochexmidlem2.pl	⊢ (𝜑 → 𝑝 ⊆ (𝑟 ⊕ 𝑞))

Assertion

Ref	Expression
dochexmidlem2	⊢ (𝜑 → 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem dochexmidlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochexmidlem2.pl	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑝 ⊆ (𝑟 ⊕ 𝑞))
2		dochexmidlem1.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dochexmidlem1.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochexmidlem1.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5	2, 3, 4	dvhlmod 40587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
6		dochexmidlem1.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
7	6	lsssssubg 20847	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑈))
8	5, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑈))
9		dochexmidlem1.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
10	8, 9	sseldd 3981	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈))
11		dochexmidlem1.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
12	11, 6	lssss 20825	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
13	9, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
14		dochexmidlem1.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
15	2, 3, 11, 6, 14	dochlss 40831	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝑆)
16	4, 13, 15	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝑆)
17	8, 16	sseldd 3981	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝑈))
18		dochexmidlem2.rl	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑟 ⊆ 𝑋)
19		dochexmidlem2.ql	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑞 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
20		dochexmidlem1.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
21	20	lsmless12 19622	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝑈)) ∧ (𝑟 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑞 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))) → (𝑟 ⊕ 𝑞) ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)))
22	10, 17, 18, 19, 21	syl22anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ⊕ 𝑞) ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)))
23	1, 22	sstrd 3990	1 ⊢ (𝜑 → 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  Basecbs 17185  SubGrpcsubg 19080  LSSumclsm 19594  LModclmod 20748  LSubSpclss 20820  LSpanclspn 20860  LSAtomsclsa 38450  HLchlt 38826  LHypclh 39461  DVecHcdvh 40555  ocHcoch 40824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-riotaBAD 38429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-tpos 8236  df-undef 8283  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-fz 13523  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-0g 17428  df-proset 18292  df-poset 18310  df-plt 18327  df-lub 18343  df-glb 18344  df-join 18345  df-meet 18346  df-p0 18422  df-p1 18423  df-lat 18429  df-clat 18496  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18746  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-subg 19083  df-cntz 19273  df-lsm 19596  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-oppr 20278  df-dvdsr 20301  df-unit 20302  df-invr 20332  df-dvr 20345  df-drng 20631  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-lsp 20861  df-lvec 20993  df-oposet 38652  df-ol 38654  df-oml 38655  df-covers 38742  df-ats 38743  df-atl 38774  df-cvlat 38798  df-hlat 38827  df-llines 38975  df-lplanes 38976  df-lvols 38977  df-lines 38978  df-psubsp 38980  df-pmap 38981  df-padd 39273  df-lhyp 39465  df-laut 39466  df-ldil 39581  df-ltrn 39582  df-trl 39636  df-tendo 40232  df-edring 40234  df-disoa 40506  df-dvech 40556  df-dib 40616  df-dic 40650  df-dih 40706  df-doch 40825

This theorem is referenced by:  dochexmidlem3  40939