Theorem dochexmidlem2 37620

Description: Lemma for dochexmid 37627. (Contributed by NM, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochexmidlem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochexmidlem1.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochexmidlem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochexmidlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochexmidlem1.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dochexmidlem1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dochexmidlem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dochexmidlem1.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dochexmidlem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochexmidlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
dochexmidlem2.pp	⊢ (𝜑 → 𝑝 ∈ 𝐴)
dochexmidlem2.qq	⊢ (𝜑 → 𝑞 ∈ 𝐴)
dochexmidlem2.rr	⊢ (𝜑 → 𝑟 ∈ 𝐴)
dochexmidlem2.ql	⊢ (𝜑 → 𝑞 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
dochexmidlem2.rl	⊢ (𝜑 → 𝑟 ⊆ 𝑋)
dochexmidlem2.pl	⊢ (𝜑 → 𝑝 ⊆ (𝑟 ⊕ 𝑞))

Assertion

Ref	Expression
dochexmidlem2	⊢ (𝜑 → 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem dochexmidlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochexmidlem2.pl	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑝 ⊆ (𝑟 ⊕ 𝑞))
2		dochexmidlem1.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dochexmidlem1.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochexmidlem1.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5	2, 3, 4	dvhlmod 37269	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
6		dochexmidlem1.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
7	6	lsssssubg 19357	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑈))
8	5, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑈))
9		dochexmidlem1.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
10	8, 9	sseldd 3822	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈))
11		dochexmidlem1.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
12	11, 6	lssss 19333	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
13	9, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
14		dochexmidlem1.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
15	2, 3, 11, 6, 14	dochlss 37513	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝑆)
16	4, 13, 15	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝑆)
17	8, 16	sseldd 3822	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝑈))
18		dochexmidlem2.rl	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑟 ⊆ 𝑋)
19		dochexmidlem2.ql	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑞 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
20		dochexmidlem1.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
21	20	lsmless12 18464	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝑈)) ∧ (𝑟 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑞 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))) → (𝑟 ⊕ 𝑞) ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)))
22	10, 17, 18, 19, 21	syl22anc 829	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ⊕ 𝑞) ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)))
23	1, 22	sstrd 3831	1 ⊢ (𝜑 → 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3792  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16259  SubGrpcsubg 17976  LSSumclsm 18437  LModclmod 19259  LSubSpclss 19328  LSpanclspn 19370  LSAtomsclsa 35133  HLchlt 35509  LHypclh 36143  DVecHcdvh 37237  ocHcoch 37506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-riotaBAD 35112

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-tpos 7636  df-undef 7683  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-fz 12648  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-ress 16267  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-sca 16358  df-vsca 16359  df-0g 16492  df-proset 17318  df-poset 17336  df-plt 17348  df-lub 17364  df-glb 17365  df-join 17366  df-meet 17367  df-p0 17429  df-p1 17430  df-lat 17436  df-clat 17498  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-submnd 17726  df-grp 17816  df-minusg 17817  df-sbg 17818  df-subg 17979  df-cntz 18137  df-lsm 18439  df-cmn 18585  df-abl 18586  df-mgp 18881  df-ur 18893  df-ring 18940  df-oppr 19014  df-dvdsr 19032  df-unit 19033  df-invr 19063  df-dvr 19074  df-drng 19145  df-lmod 19261  df-lss 19329  df-lsp 19371  df-lvec 19502  df-oposet 35335  df-ol 35337  df-oml 35338  df-covers 35425  df-ats 35426  df-atl 35457  df-cvlat 35481  df-hlat 35510  df-llines 35657  df-lplanes 35658  df-lvols 35659  df-lines 35660  df-psubsp 35662  df-pmap 35663  df-padd 35955  df-lhyp 36147  df-laut 36148  df-ldil 36263  df-ltrn 36264  df-trl 36318  df-tendo 36914  df-edring 36916  df-disoa 37188  df-dvech 37238  df-dib 37298  df-dic 37332  df-dih 37388  df-doch 37507

This theorem is referenced by:  dochexmidlem3  37621