Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochord3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochord3 39373
Description: Ordering law for orthocomplement. (Contributed by NM, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
doch11.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
doch11.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
doch11.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
doch11.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
doch11.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝐼)
doch11.y (𝜑𝑌 ∈ ran 𝐼)
Assertion
Ref Expression
dochord3 (𝜑 → (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ↔ 𝑌 ⊆ ( 𝑋)))

Proof of Theorem dochord3
StepHypRef Expression
1 doch11.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 doch11.i . . 3 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3 doch11.o . . 3 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4 doch11.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5 doch11.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝐼)
6 doch11.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ran 𝐼)
7 eqid 2738 . . . . . . 7 ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 eqid 2738 . . . . . . 7 (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
91, 7, 2, 8dihrnlss 39278 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
104, 6, 9syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
11 eqid 2738 . . . . . 6 (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
1211, 8lssss 20187 . . . . 5 (𝑌 ∈ (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑌 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
1310, 12syl 17 . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
141, 2, 7, 11, 3dochcl 39354 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → ( 𝑌) ∈ ran 𝐼)
154, 13, 14syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ( 𝑌) ∈ ran 𝐼)
161, 2, 3, 4, 5, 15dochord 39371 . 2 (𝜑 → (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ↔ ( ‘( 𝑌)) ⊆ ( 𝑋)))
171, 2, 3dochoc 39368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
184, 6, 17syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
1918sseq1d 3953 . 2 (𝜑 → (( ‘( 𝑌)) ⊆ ( 𝑋) ↔ 𝑌 ⊆ ( 𝑋)))
2016, 19bitrd 278 1 (𝜑 → (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ↔ 𝑌 ⊆ ( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wss 3888  ran crn 5587  cfv 6428  Basecbs 16901  LSubSpclss 20182  HLchlt 37351  LHypclh 37985  DVecHcdvh 39079  DIsoHcdih 39229  ocHcoch 39348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7580  ax-cnex 10916  ax-resscn 10917  ax-1cn 10918  ax-icn 10919  ax-addcl 10920  ax-addrcl 10921  ax-mulcl 10922  ax-mulrcl 10923  ax-mulcom 10924  ax-addass 10925  ax-mulass 10926  ax-distr 10927  ax-i2m1 10928  ax-1ne0 10929  ax-1rid 10930  ax-rnegex 10931  ax-rrecex 10932  ax-cnre 10933  ax-pre-lttri 10934  ax-pre-lttrn 10935  ax-pre-ltadd 10936  ax-pre-mulgt0 10937  ax-riotaBAD 36954
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-iin 4929  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5486  df-eprel 5492  df-po 5500  df-so 5501  df-fr 5541  df-we 5543  df-xp 5592  df-rel 5593  df-cnv 5594  df-co 5595  df-dm 5596  df-rn 5597  df-res 5598  df-ima 5599  df-pred 6197  df-ord 6264  df-on 6265  df-lim 6266  df-suc 6267  df-iota 6386  df-fun 6430  df-fn 6431  df-f 6432  df-f1 6433  df-fo 6434  df-f1o 6435  df-fv 6436  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-tpos 8031  df-undef 8078  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8487  df-map 8606  df-en 8723  df-dom 8724  df-sdom 8725  df-fin 8726  df-pnf 11000  df-mnf 11001  df-xr 11002  df-ltxr 11003  df-le 11004  df-sub 11196  df-neg 11197  df-nn 11963  df-2 12025  df-3 12026  df-4 12027  df-5 12028  df-6 12029  df-n0 12223  df-z 12309  df-uz 12572  df-fz 13229  df-struct 16837  df-sets 16854  df-slot 16872  df-ndx 16884  df-base 16902  df-ress 16931  df-plusg 16964  df-mulr 16965  df-sca 16967  df-vsca 16968  df-0g 17141  df-proset 18002  df-poset 18020  df-plt 18037  df-lub 18053  df-glb 18054  df-join 18055  df-meet 18056  df-p0 18132  df-p1 18133  df-lat 18139  df-clat 18206  df-mgm 18315  df-sgrp 18364  df-mnd 18375  df-submnd 18420  df-grp 18569  df-minusg 18570  df-sbg 18571  df-subg 18741  df-cntz 18912  df-lsm 19230  df-cmn 19377  df-abl 19378  df-mgp 19710  df-ur 19727  df-ring 19774  df-oppr 19851  df-dvdsr 19872  df-unit 19873  df-invr 19903  df-dvr 19914  df-drng 19982  df-lmod 20114  df-lss 20183  df-lsp 20223  df-lvec 20354  df-oposet 37177  df-ol 37179  df-oml 37180  df-covers 37267  df-ats 37268  df-atl 37299  df-cvlat 37323  df-hlat 37352  df-llines 37499  df-lplanes 37500  df-lvols 37501  df-lines 37502  df-psubsp 37504  df-pmap 37505  df-padd 37797  df-lhyp 37989  df-laut 37990  df-ldil 38105  df-ltrn 38106  df-trl 38160  df-tendo 38756  df-edring 38758  df-disoa 39030  df-dvech 39080  df-dib 39140  df-dic 39174  df-dih 39230  df-doch 39349
This theorem is referenced by:  dochsncom  39383
  Copyright terms: Public domain W3C validator