Theorem dochord3 42349

Description: Ordering law for orthocomplement. (Contributed by NM, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
doch11.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
doch11.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
doch11.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
doch11.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
doch11.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
doch11.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dochord3	⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ↔ 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem dochord3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		doch11.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		doch11.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3		doch11.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		doch11.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5		doch11.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
6		doch11.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
7		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
9	1, 7, 2, 8	dihrnlss 42254	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
10	4, 6, 9	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
11		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
12	11, 8	lssss 21172	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑌 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
13	10, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
14	1, 2, 7, 11, 3	dochcl 42330	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ ran 𝐼)
15	4, 13, 14	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ ran 𝐼)
16	1, 2, 3, 4, 5, 15	dochord 42347	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)))
17	1, 2, 3	dochoc 42344	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
18	4, 6, 17	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
19	18	sseq1d 3961	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋) ↔ 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)))
20	16, 19	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ↔ 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3898  ran crn 5648  ‘cfv 6527  Basecbs 17348  LSubSpclss 21167  HLchlt 40327  LHypclh 40961  DVecHcdvh 42055  DIsoHcdih 42205  ocHcoch 42324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-riotaBAD 39930

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8221  df-undef 8268  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-0g 17573  df-proset 18429  df-poset 18448  df-plt 18463  df-lub 18479  df-glb 18480  df-join 18481  df-meet 18482  df-p0 18558  df-p1 18559  df-lat 18567  df-clat 18634  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-submnd 18940  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-sbg 19110  df-subg 19294  df-cntz 19492  df-lsm 19811  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-oppr 20528  df-dvdsr 20548  df-unit 20549  df-invr 20579  df-dvr 20592  df-drng 20943  df-lmod 21098  df-lss 21168  df-lsp 21208  df-lvec 21339  df-oposet 40153  df-ol 40155  df-oml 40156  df-covers 40243  df-ats 40244  df-atl 40275  df-cvlat 40299  df-hlat 40328  df-llines 40475  df-lplanes 40476  df-lvols 40477  df-lines 40478  df-psubsp 40480  df-pmap 40481  df-padd 40773  df-lhyp 40965  df-laut 40966  df-ldil 41081  df-ltrn 41082  df-trl 41136  df-tendo 41732  df-edring 41734  df-disoa 42006  df-dvech 42056  df-dib 42116  df-dic 42150  df-dih 42206  df-doch 42325

This theorem is used by:  dochsncom  42359