Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem4b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem4b 24024
 Description: Lemma for minvec 24029. The convergent point of the Cauchy sequence 𝐹 is a member of the base space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minvec.f 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
minvec.p 𝑃 = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
Assertion
Ref Expression
minveclem4b (𝜑𝑃𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,   𝑦,𝑟,𝐴   𝐽,𝑟,𝑦   𝑦,𝑃   𝑦,𝐹   𝑦,𝑁   𝜑,𝑟,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑋,𝑟,𝑦   𝑌,𝑟,𝑦   𝐷,𝑟,𝑦   𝑆,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑟)   𝑅(𝑟)   𝑈(𝑟)   𝐹(𝑟)   (𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem minveclem4b
StepHypRef Expression
1 minvec.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
2 minvec.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝑈)
3 eqid 2824 . . . 4 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
42, 3lssss 19694 . . 3 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
51, 4syl 17 . 2 (𝜑𝑌𝑋)
6 minvec.m . . . 4 = (-g𝑈)
7 minvec.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝑈)
8 minvec.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
9 minvec.w . . . 4 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
10 minvec.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
11 minvec.j . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
12 minvec.r . . . 4 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
13 minvec.s . . . 4 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
14 minvec.d . . . 4 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
15 minvec.f . . . 4 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
16 minvec.p . . . 4 𝑃 = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
172, 6, 7, 8, 1, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16minveclem4a 24023 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
1817elin2d 4159 . 2 (𝜑𝑃𝑌)
195, 18sseldd 3952 1 (𝜑𝑃𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {crab 3136   ⊆ wss 3918  ∪ cuni 4819   class class class wbr 5047   ↦ cmpt 5127   × cxp 5534  ran crn 5537   ↾ cres 5538  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138  infcinf 8889  ℝcr 10521   + caddc 10525   < clt 10660   ≤ cle 10661  2c2 11678  ℝ+crp 12375  ↑cexp 13423  Basecbs 16472   ↾s cress 16473  distcds 16563  TopOpenctopn 16684  -gcsg 18094  LSubSpclss 19689  filGencfg 20520   fLim cflim 22528  normcnm 23172  ℂPreHilccph 23760  CMetSpccms 23925 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600  ax-addf 10601  ax-mulf 10602 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-q 12335  df-rp 12376  df-xneg 12493  df-xadd 12494  df-xmul 12495  df-ico 12730  df-icc 12731  df-fz 12884  df-seq 13363  df-exp 13424  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-starv 16569  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-ip 16572  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-unif 16577  df-rest 16685  df-0g 16704  df-topgen 16706  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-mhm 17945  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-sbg 18097  df-mulg 18214  df-subg 18265  df-ghm 18345  df-cmn 18897  df-abl 18898  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288  df-cring 19289  df-oppr 19362  df-dvdsr 19380  df-unit 19381  df-invr 19411  df-dvr 19422  df-rnghom 19456  df-drng 19490  df-subrg 19519  df-staf 19602  df-srng 19603  df-lmod 19622  df-lss 19690  df-lmhm 19780  df-lvec 19861  df-sra 19930  df-rgmod 19931  df-psmet 20523  df-xmet 20524  df-met 20525  df-bl 20526  df-mopn 20527  df-fbas 20528  df-fg 20529  df-cnfld 20532  df-phl 20756  df-top 21488  df-topon 21505  df-topsp 21527  df-bases 21540  df-ntr 21614  df-nei 21692  df-haus 21909  df-fil 22440  df-flim 22533  df-xms 22916  df-ms 22917  df-nm 23178  df-ngp 23179  df-nlm 23182  df-clm 23657  df-cph 23762  df-cfil 23848  df-cmet 23850  df-cms 23928 This theorem is referenced by:  minveclem4  24025
 Copyright terms: Public domain W3C validator