Theorem minveclem4b 25807

Description: Lemma for minvec 25812. The convergent point of the Cauchy sequence 𝐹 is a member of the base space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
minvec.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w	⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
minvec.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minvec.f	⊢ 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
minvec.p	⊢ 𝑃 = ∪ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))

Assertion

Ref	Expression
minveclem4b	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦, −   𝑦,𝑟,𝐴   𝐽,𝑟,𝑦   𝑦,𝑃   𝑦,𝐹   𝑦,𝑁   𝜑,𝑟,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑋,𝑟,𝑦   𝑌,𝑟,𝑦   𝐷,𝑟,𝑦   𝑆,𝑟,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑟)   𝑅(𝑟)   𝑈(𝑟)   𝐹(𝑟)   − (𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem minveclem4b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
2		minvec.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
4	2, 3	lssss 21262	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
5	1, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
6		minvec.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
7		minvec.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
8		minvec.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
9		minvec.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
10		minvec.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
11		minvec.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
12		minvec.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
13		minvec.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
14		minvec.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
15		minvec.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
16		minvec.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ∪ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
17	2, 6, 7, 8, 1, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	minveclem4a 25806	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
18	17	elin2d 4105	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑌)
19	5, 18	sseldd 3914	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4872   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192   × cxp 5656  ran crn 5659   ↾ cres 5660  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  infcinf 9470  ℝcr 11238   + caddc 11242   < clt 11382   ≤ cle 11383  2c2 12437  ℝ⁺crp 13160  ↑cexp 14244  Basecbs 17431   ↾_s cress 17452  distcds 17481  TopOpenctopn 17642  -_gcsg 19196  LSubSpclss 21257  filGencfg 21718   fLim cflim 24308  normcnm 24950  ℂPreHilccph 25542  CMetSpccms 25708

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318  ax-mulf 11319

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-euf 17499  df-rest 17643  df-0g 17662  df-topgen 17664  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-dvr 20682  df-rhm 20753  df-subrg 20873  df-drng 21033  df-staf 21147  df-srng 21148  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lmhm 21348  df-lvec 21429  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-cnfld 21730  df-phl 21987  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-ntr 23393  df-nei 23471  df-haus 23688  df-fil 24220  df-flim 24313  df-xms 24694  df-ms 24695  df-nm 24956  df-ngp 24957  df-nlm 24960  df-clm 25439  df-cph 25544  df-cfil 25631  df-cmet 25633  df-cms 25711

This theorem is used by:  minveclem4  25808