MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem4b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem4b 24747
Description: Lemma for minvec 24752. The convergent point of the Cauchy sequence 𝐹 is a member of the base space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minvec.f 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
minvec.p 𝑃 = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
Assertion
Ref Expression
minveclem4b (𝜑𝑃𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,   𝑦,𝑟,𝐴   𝐽,𝑟,𝑦   𝑦,𝑃   𝑦,𝐹   𝑦,𝑁   𝜑,𝑟,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑋,𝑟,𝑦   𝑌,𝑟,𝑦   𝐷,𝑟,𝑦   𝑆,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑟)   𝑅(𝑟)   𝑈(𝑟)   𝐹(𝑟)   (𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem minveclem4b
StepHypRef Expression
1 minvec.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
2 minvec.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝑈)
3 eqid 2737 . . . 4 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
42, 3lssss 20350 . . 3 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
51, 4syl 17 . 2 (𝜑𝑌𝑋)
6 minvec.m . . . 4 = (-g𝑈)
7 minvec.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝑈)
8 minvec.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
9 minvec.w . . . 4 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
10 minvec.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
11 minvec.j . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
12 minvec.r . . . 4 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
13 minvec.s . . . 4 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
14 minvec.d . . . 4 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
15 minvec.f . . . 4 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
16 minvec.p . . . 4 𝑃 = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
172, 6, 7, 8, 1, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16minveclem4a 24746 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
1817elin2d 4157 . 2 (𝜑𝑃𝑌)
195, 18sseldd 3943 1 (𝜑𝑃𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3405  wss 3908   cuni 4863   class class class wbr 5103  cmpt 5186   × cxp 5629  ran crn 5632  cres 5633  cfv 6493  (class class class)co 7351  infcinf 9335  cr 11008   + caddc 11012   < clt 11147  cle 11148  2c2 12166  +crp 12869  cexp 13921  Basecbs 17043  s cress 17072  distcds 17102  TopOpenctopn 17263  -gcsg 18710  LSubSpclss 20345  filGencfg 20738   fLim cflim 23237  normcnm 23884  ℂPreHilccph 24482  CMetSpccms 24648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-tpos 8149  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-ico 13224  df-icc 13225  df-fz 13379  df-seq 13861  df-exp 13922  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-ip 17111  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-rest 17264  df-0g 17283  df-topgen 17285  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-mhm 18561  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-sbg 18713  df-mulg 18832  df-subg 18884  df-ghm 18965  df-cmn 19523  df-abl 19524  df-mgp 19856  df-ur 19873  df-ring 19920  df-cring 19921  df-oppr 20002  df-dvdsr 20023  df-unit 20024  df-invr 20054  df-dvr 20065  df-rnghom 20099  df-drng 20140  df-subrg 20173  df-staf 20257  df-srng 20258  df-lmod 20277  df-lss 20346  df-lmhm 20436  df-lvec 20517  df-sra 20586  df-rgmod 20587  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-met 20743  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-fbas 20746  df-fg 20747  df-cnfld 20750  df-phl 20983  df-top 22195  df-topon 22212  df-topsp 22234  df-bases 22248  df-ntr 22323  df-nei 22401  df-haus 22618  df-fil 23149  df-flim 23242  df-xms 23625  df-ms 23626  df-nm 23890  df-ngp 23891  df-nlm 23894  df-clm 24378  df-cph 24484  df-cfil 24571  df-cmet 24573  df-cms 24651
This theorem is referenced by:  minveclem4  24748
  Copyright terms: Public domain W3C validator