Theorem dihoml4 40760

Description: Orthomodular law for constructed vector space H. Lemma 3.3(1) in [Holland95] p. 215. (poml4N 39336 analog.) (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihoml4.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihoml4.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihoml4.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dihoml4.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dihoml4.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihoml4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
dihoml4.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
dihoml4.c	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
dihoml4.l	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dihoml4	⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem dihoml4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihoml4.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dihoml4.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
3		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		dihoml4.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
5	3, 4	lssss 20780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
6	2, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
7		dihoml4.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
9		dihoml4.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		dihoml4.o	. . . . . . . 8 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
11	7, 8, 9, 3, 10	dochcl 40736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
12	1, 6, 11	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
13	7, 8, 10	dochoc 40750	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑋))
14	1, 12, 13	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑋))
15	14	ineq1d 4206	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) ∩ 𝑌) = (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌))
16	15	fveq2d 6888	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) ∩ 𝑌)) = ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)))
17	16	ineq1d 4206	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌))
18	7, 9, 3, 10	dochssv 40738	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑈))
19	1, 6, 18	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑈))
20	7, 8, 9, 3, 10	dochcl 40736	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
21	1, 19, 20	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
22		dihoml4.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
23		dihoml4.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
24	3, 4	lssss 20780	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑈))
25	23, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑈))
26	7, 8, 9, 3, 10, 1, 25	dochoccl 40752	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌))
27	22, 26	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
28		dihoml4.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑌)
29	7, 9, 3, 10	dochss 40748	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
30	1, 25, 28, 29	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
31	7, 9, 3, 10	dochss 40748	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑈) ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
32	1, 19, 30, 31	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
33	32, 22	sseqtrd 4017	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑌)
34	7, 8, 10, 1, 21, 27, 33	dihoml4c 40759	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
35	17, 34	eqtr3d 2768	1 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942   ⊆ wss 3943  ran crn 5670  ‘cfv 6536  Basecbs 17150  LSubSpclss 20775  HLchlt 38732  LHypclh 39367  DVecHcdvh 40461  DIsoHcdih 40611  ocHcoch 40730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 38335

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-undef 8256  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-0g 17393  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18394  df-clat 18461  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-subg 19047  df-cntz 19230  df-lsm 19553  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-dvr 20300  df-drng 20586  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-lvec 20948  df-lsatoms 38358  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-llines 38881  df-lplanes 38882  df-lvols 38883  df-lines 38884  df-psubsp 38886  df-pmap 38887  df-padd 39179  df-lhyp 39371  df-laut 39372  df-ldil 39487  df-ltrn 39488  df-trl 39542  df-tendo 40138  df-edring 40140  df-disoa 40412  df-dvech 40462  df-dib 40522  df-dic 40556  df-dih 40612  df-doch 40731

This theorem is referenced by:  dochexmidlem6  40848