Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihoml4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihoml4 37451
 Description: Orthomodular law for constructed vector space H. Lemma 3.3(1) in [Holland95] p. 215. (poml4N 36027 analog.) (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dihoml4.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihoml4.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihoml4.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dihoml4.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dihoml4.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dihoml4.x (𝜑𝑋𝑆)
dihoml4.y (𝜑𝑌𝑆)
dihoml4.c (𝜑 → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
dihoml4.l (𝜑𝑋𝑌)
Assertion
Ref Expression
dihoml4 (𝜑 → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ‘( 𝑋)))

Proof of Theorem dihoml4
StepHypRef Expression
1 dihoml4.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dihoml4.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑆)
3 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4 dihoml4.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
53, 4lssss 19300 . . . . . . . 8 (𝑋𝑆𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
62, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
7 dihoml4.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 eqid 2825 . . . . . . . 8 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
9 dihoml4.u . . . . . . . 8 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10 dihoml4.o . . . . . . . 8 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
117, 8, 9, 3, 10dochcl 37427 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈)) → ( 𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
121, 6, 11syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → ( 𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
137, 8, 10dochoc 37441 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ‘( ‘( 𝑋))) = ( 𝑋))
141, 12, 13syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘( ‘( 𝑋))) = ( 𝑋))
1514ineq1d 4042 . . . 4 (𝜑 → (( ‘( ‘( 𝑋))) ∩ 𝑌) = (( 𝑋) ∩ 𝑌))
1615fveq2d 6441 . . 3 (𝜑 → ( ‘(( ‘( ‘( 𝑋))) ∩ 𝑌)) = ( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)))
1716ineq1d 4042 . 2 (𝜑 → (( ‘(( ‘( ‘( 𝑋))) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌))
187, 9, 3, 10dochssv 37429 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈)) → ( 𝑋) ⊆ (Base‘𝑈))
191, 6, 18syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → ( 𝑋) ⊆ (Base‘𝑈))
207, 8, 9, 3, 10dochcl 37427 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑋) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ‘( 𝑋)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
211, 19, 20syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → ( ‘( 𝑋)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
22 dihoml4.c . . . 4 (𝜑 → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
23 dihoml4.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑆)
243, 4lssss 19300 . . . . . 6 (𝑌𝑆𝑌 ⊆ (Base‘𝑈))
2523, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑌 ⊆ (Base‘𝑈))
267, 8, 9, 3, 10, 1, 25dochoccl 37443 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ↔ ( ‘( 𝑌)) = 𝑌))
2722, 26mpbird 249 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
28 dihoml4.l . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑌)
297, 9, 3, 10dochss 37439 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑋𝑌) → ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋))
301, 25, 28, 29syl3anc 1494 . . . . 5 (𝜑 → ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋))
317, 9, 3, 10dochss 37439 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑋) ⊆ (Base‘𝑈) ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)))
321, 19, 30, 31syl3anc 1494 . . . 4 (𝜑 → ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)))
3332, 22sseqtrd 3866 . . 3 (𝜑 → ( ‘( 𝑋)) ⊆ 𝑌)
347, 8, 10, 1, 21, 27, 33dihoml4c 37450 . 2 (𝜑 → (( ‘(( ‘( ‘( 𝑋))) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ‘( 𝑋)))
3517, 34eqtr3d 2863 1 (𝜑 → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ‘( 𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ∩ cin 3797   ⊆ wss 3798  ran crn 5347  ‘cfv 6127  Basecbs 16229  LSubSpclss 19295  HLchlt 35424  LHypclh 36058  DVecHcdvh 37152  DIsoHcdih 37302  ocHcoch 37421 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-riotaBAD 35027 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-tpos 7622  df-undef 7669  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-0g 16462  df-proset 17288  df-poset 17306  df-plt 17318  df-lub 17334  df-glb 17335  df-join 17336  df-meet 17337  df-p0 17399  df-p1 17400  df-lat 17406  df-clat 17468  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-subg 17949  df-cntz 18107  df-lsm 18409  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-dvr 19044  df-drng 19112  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-lsp 19338  df-lvec 19469  df-lsatoms 35050  df-oposet 35250  df-ol 35252  df-oml 35253  df-covers 35340  df-ats 35341  df-atl 35372  df-cvlat 35396  df-hlat 35425  df-llines 35572  df-lplanes 35573  df-lvols 35574  df-lines 35575  df-psubsp 35577  df-pmap 35578  df-padd 35870  df-lhyp 36062  df-laut 36063  df-ldil 36178  df-ltrn 36179  df-trl 36233  df-tendo 36829  df-edring 36831  df-disoa 37103  df-dvech 37153  df-dib 37213  df-dic 37247  df-dih 37303  df-doch 37422 This theorem is referenced by:  dochexmidlem6  37539
 Copyright terms: Public domain W3C validator