Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihoml4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihoml4 40882
Description: Orthomodular law for constructed vector space H. Lemma 3.3(1) in [Holland95] p. 215. (poml4N 39458 analog.) (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dihoml4.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihoml4.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihoml4.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
dihoml4.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihoml4.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dihoml4.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
dihoml4.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
dihoml4.c (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
dihoml4.l (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
dihoml4 (πœ‘ β†’ (( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ π‘Œ)) ∩ π‘Œ) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)))

Proof of Theorem dihoml4
StepHypRef Expression
1 dihoml4.k . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 dihoml4.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
3 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 dihoml4.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
53, 4lssss 20827 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝑆 β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
62, 5syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
7 dihoml4.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 eqid 2728 . . . . . . . 8 ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 dihoml4.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 dihoml4.o . . . . . . . 8 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
117, 8, 9, 3, 10dochcl 40858 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
121, 6, 11syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
137, 8, 10dochoc 40872 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹))) = ( βŠ₯ β€˜π‘‹))
141, 12, 13syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹))) = ( βŠ₯ β€˜π‘‹))
1514ineq1d 4213 . . . 4 (πœ‘ β†’ (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹))) ∩ π‘Œ) = (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ π‘Œ))
1615fveq2d 6906 . . 3 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹))) ∩ π‘Œ)) = ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ π‘Œ)))
1716ineq1d 4213 . 2 (πœ‘ β†’ (( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹))) ∩ π‘Œ)) ∩ π‘Œ) = (( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ π‘Œ)) ∩ π‘Œ))
187, 9, 3, 10dochssv 40860 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
191, 6, 18syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
207, 8, 9, 3, 10dochcl 40858 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
211, 19, 20syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
22 dihoml4.c . . . 4 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
23 dihoml4.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
243, 4lssss 20827 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ 𝑆 β†’ π‘Œ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
2523, 24syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
267, 8, 9, 3, 10, 1, 25dochoccl 40874 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↔ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) = π‘Œ))
2722, 26mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
28 dihoml4.l . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† π‘Œ)
297, 9, 3, 10dochss 40870 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹))
301, 25, 28, 29syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹))
317, 9, 3, 10dochss 40870 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
321, 19, 30, 31syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
3332, 22sseqtrd 4022 . . 3 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) βŠ† π‘Œ)
347, 8, 10, 1, 21, 27, 33dihoml4c 40881 . 2 (πœ‘ β†’ (( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹))) ∩ π‘Œ)) ∩ π‘Œ) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
3517, 34eqtr3d 2770 1 (πœ‘ β†’ (( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ π‘Œ)) ∩ π‘Œ) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  ran crn 5683  β€˜cfv 6553  Basecbs 17187  LSubSpclss 20822  HLchlt 38854  LHypclh 39489  DVecHcdvh 40583  DIsoHcdih 40733  ocHcoch 40852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-riotaBAD 38457
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-undef 8285  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-0g 17430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-lsm 19598  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-drng 20633  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lvec 20995  df-lsatoms 38480  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004  df-lvols 39005  df-lines 39006  df-psubsp 39008  df-pmap 39009  df-padd 39301  df-lhyp 39493  df-laut 39494  df-ldil 39609  df-ltrn 39610  df-trl 39664  df-tendo 40260  df-edring 40262  df-disoa 40534  df-dvech 40584  df-dib 40644  df-dic 40678  df-dih 40734  df-doch 40853
This theorem is referenced by:  dochexmidlem6  40970
  Copyright terms: Public domain W3C validator