Theorem dihrnss 39518

Description: The isomorphism H maps to a set of vectors. (Contributed by NM, 14-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihrnss.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihrnss.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihrnss.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihrnss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dihrnss	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem dihrnss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihrnss.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dihrnss.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dihrnss.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	dihrnlss 39517	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
6		dihrnss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7	6, 4	lssss 20278	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
8	5, 7	syl 17	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3896  ran crn 5608  ‘cfv 6465  Basecbs 16986  LSubSpclss 20273  HLchlt 37589  LHypclh 38224  DVecHcdvh 39318  DIsoHcdih 39468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-riotaBAD 37192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-tpos 8090  df-undef 8137  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-er 8547  df-map 8666  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-4 12117  df-5 12118  df-6 12119  df-n0 12313  df-z 12399  df-uz 12662  df-fz 13319  df-struct 16922  df-sets 16939  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-ress 17016  df-plusg 17049  df-mulr 17050  df-sca 17052  df-vsca 17053  df-0g 17226  df-proset 18087  df-poset 18105  df-plt 18122  df-lub 18138  df-glb 18139  df-join 18140  df-meet 18141  df-p0 18217  df-p1 18218  df-lat 18224  df-clat 18291  df-mgm 18400  df-sgrp 18449  df-mnd 18460  df-submnd 18505  df-grp 18653  df-minusg 18654  df-sbg 18655  df-subg 18825  df-cntz 18996  df-lsm 19314  df-cmn 19460  df-abl 19461  df-mgp 19793  df-ur 19810  df-ring 19857  df-oppr 19934  df-dvdsr 19955  df-unit 19956  df-invr 19986  df-dvr 19997  df-drng 20069  df-lmod 20205  df-lss 20274  df-lsp 20314  df-lvec 20445  df-oposet 37415  df-ol 37417  df-oml 37418  df-covers 37505  df-ats 37506  df-atl 37537  df-cvlat 37561  df-hlat 37590  df-llines 37738  df-lplanes 37739  df-lvols 37740  df-lines 37741  df-psubsp 37743  df-pmap 37744  df-padd 38036  df-lhyp 38228  df-laut 38229  df-ldil 38344  df-ltrn 38345  df-trl 38399  df-tendo 38995  df-edring 38997  df-disoa 39269  df-dvech 39319  df-dib 39379  df-dic 39413  df-dih 39469

This theorem is referenced by:  dochssv  39595  dochvalr  39597  dochvalr3  39603  dochsscl  39608  dochord  39610  dihoml4c  39616  djhcl  39640  djhljjN  39642  dochdmm1  39650  djh02  39653  djhcvat42  39655  dihjat1lem  39668  dihsmsprn  39670  lclkrlem2g  39753  hlhillcs  40202  hlhilhillem  40204