Theorem jplem1 32863

Description: Lemma for Jauch-Piron theorem. (Contributed by NM, 8-Apr-2001.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
jplem1.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
jplem1	⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐴)‘𝑢))↑2) = 1))

Proof of Theorem jplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jplem1.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		pjnorm2 32322	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐴)‘𝑢)) = (normℎ‘𝑢)))
3	1, 2	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → (𝑢 ∈ 𝐴 ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐴)‘𝑢)) = (normℎ‘𝑢)))
4		eqeq2 2773	. . 3 ⊢ ((normℎ‘𝑢) = 1 → ((normℎ‘((projℎ‘𝐴)‘𝑢)) = (normℎ‘𝑢) ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐴)‘𝑢)) = 1))
5	3, 4	sylan9bb 519	. 2 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐴)‘𝑢)) = 1))
6		sq1 14331	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
7	6	eqeq2i 2774	. . . 4 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐴)‘𝑢))↑2) = (1↑2) ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐴)‘𝑢))↑2) = 1)
8	1	pjhcli 32013	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐴)‘𝑢) ∈ ℋ)
9		normcl 31720	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐴)‘𝑢) ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐴)‘𝑢)) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐴)‘𝑢)) ∈ ℝ)
11		normge0 31721	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐴)‘𝑢) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐴)‘𝑢)))
12	8, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐴)‘𝑢)))
13		1re 11301	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
14		0le1 11832	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
15		sq11 14267	. . . . . 6 ⊢ ((((normℎ‘((projℎ‘𝐴)‘𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐴)‘𝑢))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (((normℎ‘((projℎ‘𝐴)‘𝑢))↑2) = (1↑2) ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐴)‘𝑢)) = 1))
16	13, 14, 15	mpanr12 718	. . . . 5 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐴)‘𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐴)‘𝑢))) → (((normℎ‘((projℎ‘𝐴)‘𝑢))↑2) = (1↑2) ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐴)‘𝑢)) = 1))
17	10, 12, 16	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → (((normℎ‘((projℎ‘𝐴)‘𝑢))↑2) = (1↑2) ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐴)‘𝑢)) = 1))
18	7, 17	bitr3id 288	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → (((normℎ‘((projℎ‘𝐴)‘𝑢))↑2) = 1 ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐴)‘𝑢)) = 1))
19	18	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (((normℎ‘((projℎ‘𝐴)‘𝑢))↑2) = 1 ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐴)‘𝑢)) = 1))
20	5, 19	bitr4d 285	1 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑢 ∈ 𝐴 ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐴)‘𝑢))↑2) = 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   ≤ cle 11337  2c2 12390  ↑cexp 14197   ℋchba 31514  norm_ℎcno 31518   C_ℋ cch 31524  proj_ℎcpjh 31532

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cc 10506  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272  ax-mulf 11273  ax-hilex 31594  ax-hfvadd 31595  ax-hvcom 31596  ax-hvass 31597  ax-hv0cl 31598  ax-hvaddid 31599  ax-hfvmul 31600  ax-hvmulid 31601  ax-hvmulass 31602  ax-hvdistr1 31603  ax-hvdistr2 31604  ax-hvmul0 31605  ax-hfi 31674  ax-his1 31677  ax-his2 31678  ax-his3 31679  ax-his4 31680  ax-hcompl 31797

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-card 10013  df-acn 10016  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-ioo 13473  df-ico 13475  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-clim 15648  df-rlim 15649  df-sum 15847  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-hom 17445  df-cco 17446  df-rest 17586  df-topn 17587  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-topgen 17607  df-pt 17608  df-prds 17611  df-xrs 17667  df-qtop 17672  df-imas 17673  df-xps 17675  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-mulg 19271  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-fbas 21668  df-fg 21669  df-cnfld 21672  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-cld 23330  df-ntr 23331  df-cls 23332  df-nei 23409  df-cn 23538  df-cnp 23539  df-lm 23540  df-haus 23626  df-tx 23874  df-hmeo 24067  df-fil 24158  df-fm 24250  df-flim 24251  df-flf 24252  df-xms 24632  df-ms 24633  df-tms 24634  df-cfil 25569  df-cau 25570  df-cmet 25571  df-grpo 31088  df-gid 31089  df-ginv 31090  df-gdiv 31091  df-ablo 31140  df-vc 31154  df-nv 31187  df-va 31190  df-ba 31191  df-sm 31192  df-0v 31193  df-vs 31194  df-nmcv 31195  df-ims 31196  df-dip 31296  df-ssp 31317  df-ph 31408  df-cbn 31458  df-hnorm 31563  df-hba 31564  df-hvsub 31566  df-hlim 31567  df-hcau 31568  df-sh 31802  df-ch 31816  df-oc 31847  df-ch0 31848  df-shs 31903  df-pjh 31990

This theorem is used by:  jplem2  32864