Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpfaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The sum of multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpfsubrg.q 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
mpfaddcl ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹f + 𝐺) ∈ 𝑄)

StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . . 3 (𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) = (𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))
2 eqid 2801 . . 3 (Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))
3 mpfsubrg.q . . . . . 6 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
43mpfrcl 20761 . . . . 5 (𝐹𝑄 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)))
54adantr 484 . . . 4 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)))
65simp2d 1140 . . 3 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝑆 ∈ CRing)
7 ovexd 7174 . . 3 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ∈ V)
83mpfsubrg 20779 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
95, 8syl 17 . . . . 5 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
102subrgss 19533 . . . . 5 (𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) → 𝑄 ⊆ (Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
119, 10syl 17 . . . 4 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝑄 ⊆ (Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
12 simpl 486 . . . 4 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝐹𝑄)
1311, 12sseldd 3919 . . 3 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝐹 ∈ (Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
14 simpr 488 . . . 4 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝐺𝑄)
1511, 14sseldd 3919 . . 3 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → 𝐺 ∈ (Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
16 mpfaddcl.p . . 3 + = (+g𝑆)
17 eqid 2801 . . 3 (+g‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) = (+g‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))
181, 2, 6, 7, 13, 15, 16, 17pwsplusgval 16759 . 2 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹(+g‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))𝐺) = (𝐹f + 𝐺))
1917subrgacl 19543 . . . 4 ((𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) ∧ 𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹(+g‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))𝐺) ∈ 𝑄)
20193expib 1119 . . 3 (𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) → ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹(+g‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))𝐺) ∈ 𝑄))
219, 20mpcom 38 . 2 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹(+g‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))𝐺) ∈ 𝑄)
2218, 21eqeltrrd 2894 1 ((𝐹𝑄𝐺𝑄) → (𝐹f + 𝐺) ∈ 𝑄)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444   ⊆ wss 3884  ran crn 5524  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∘f cof 7391   ↑m cmap 8393  Basecbs 16479  +gcplusg 16561   ↑s cpws 16716  CRingccrg 19295  SubRingcsubrg 19528   evalSub ces 20747 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-ofr 7394  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-hom 16585  df-cco 16586  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-prds 16717  df-pws 16719  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-srg 19253  df-ring 19296  df-cring 19297  df-rnghom 19467  df-subrg 19530  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-lsp 19741  df-assa 20546  df-asp 20547  df-ascl 20548  df-psr 20598  df-mvr 20599  df-mpl 20600  df-evls 20749 This theorem is referenced by:  mzpmfp  39681
 Copyright terms: Public domain W3C validator