Theorem qusmulcrng 21230

Description: Value of the ring operation in a quotient ring of a commutative ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2024.) (Proof shortened by metakunt, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusmulcrng.h	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
qusmulcrng.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qusmulcrng.p	⊢ · = (.r‘𝑅)
qusmulcrng.a	⊢ × = (.r‘𝑄)
qusmulcrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
qusmulcrng.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
qusmulcrng.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
qusmulcrng.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
qusmulcrng	⊢ (𝜑 → ([𝑋](𝑅 ~QG 𝐼) × [𝑌](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝑋 · 𝑌)](𝑅 ~QG 𝐼))

Proof of Theorem qusmulcrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusmulcrng.h	. 2 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
2		qusmulcrng.v	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		qusmulcrng.p	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		qusmulcrng.a	. 2 ⊢ × = (.r‘𝑄)
5		qusmulcrng.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6	5	crngringd 20172	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		qusmulcrng.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
8		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
9	8	crng2idl 21227	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (LIdeal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅))
10	5, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅))
11	7, 10	eleqtrd 2835	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
12		qusmulcrng.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		qusmulcrng.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 13	qusmul2idl 21225	1 ⊢ (𝜑 → ([𝑋](𝑅 ~QG 𝐼) × [𝑌](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝑋 · 𝑌)](𝑅 ~QG 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  [cec 8629  Basecbs 17127  ._rcmulr 17169   /_s cqus 17417   ~_QG cqg 19043  CRingccrg 20160  LIdealclidl 21152  2Idealc2idl 21195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-ec 8633  df-qs 8637  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13415  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-0g 17352  df-imas 17420  df-qus 17421  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-subg 19044  df-eqg 19046  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-ring 20161  df-cring 20162  df-oppr 20264  df-subrg 20494  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-lsp 20914  df-sra 21116  df-rgmod 21117  df-lidl 21154  df-rsp 21155  df-2idl 21196

This theorem is referenced by:  rhmqusnsg  21231  rhmquskerlem  33434