Theorem qusmulcrng 21391

Description: Value of the ring operation in a quotient ring of a commutative ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2024.) (Proof shortened by metakunt, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusmulcrng.h	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
qusmulcrng.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qusmulcrng.p	⊢ · = (.r‘𝑅)
qusmulcrng.a	⊢ × = (.r‘𝑄)
qusmulcrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
qusmulcrng.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
qusmulcrng.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
qusmulcrng.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
qusmulcrng	⊢ (𝜑 → ([𝑋](𝑅 ~QG 𝐼) × [𝑌](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝑋 · 𝑌)](𝑅 ~QG 𝐼))

Proof of Theorem qusmulcrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusmulcrng.h	. 2 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
2		qusmulcrng.v	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		qusmulcrng.p	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		qusmulcrng.a	. 2 ⊢ × = (.r‘𝑄)
5		qusmulcrng.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6	5	crngringd 20324	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		qusmulcrng.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
8		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
9	8	crng2idl 21387	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (LIdeal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅))
10	5, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅))
11	7, 10	eleqtrd 2871	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
12		qusmulcrng.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		qusmulcrng.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 13	qusmul2idl 21385	1 ⊢ (𝜑 → ([𝑋](𝑅 ~QG 𝐼) × [𝑌](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝑋 · 𝑌)](𝑅 ~QG 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  [cec 8688  Basecbs 17265  ._rcmulr 17307   /_s cqus 17555   ~_QG cqg 19184  CRingccrg 20312  LIdealclidl 21304  2Idealc2idl 21355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-0g 17490  df-imas 17558  df-qus 17559  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-subg 19185  df-eqg 19187  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-cring 20314  df-oppr 20415  df-subrg 20651  df-lmod 20957  df-lss 21027  df-lsp 21067  df-sra 21268  df-rgmod 21269  df-lidl 21306  df-rsp 21307  df-2idl 21356

This theorem is referenced by:  rhmqusnsg  21392  rhmquskerlem  33673