Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reefcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reefcl 15436
 Description: The exponential function is real if its argument is real. (Contributed by NM, 27-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
reefcl (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reefcl
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recn 10619 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 efval 15429 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
4 nn0uz 12273 . . 3 0 = (ℤ‘0)
5 0zd 11986 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℤ)
6 eqid 2824 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
76eftval 15426 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
87adantl 485 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
9 reeftcl 15424 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
106efcllem 15427 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
111, 10syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
124, 5, 8, 9, 11isumrecl 15116 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
133, 12eqeltrd 2916 1 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ↦ cmpt 5132  dom cdm 5542  ‘cfv 6343  (class class class)co 7145  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529   + caddc 10532   / cdiv 11289  ℕ0cn0 11890  seqcseq 13369  ↑cexp 13430  !cfa 13634   ⇝ cli 14837  Σcsu 15038  expce 15411 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-inf2 9095  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-er 8279  df-pm 8399  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-sup 8897  df-inf 8898  df-oi 8965  df-card 9359  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-rp 12383  df-ico 12737  df-fz 12891  df-fzo 13034  df-fl 13162  df-seq 13370  df-exp 13431  df-fac 13635  df-hash 13692  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-ef 15417 This theorem is referenced by:  reefcld  15437  ere  15438  efgt0  15452  rpefcl  15453  eflt  15466  efle  15467  reef11  15468  resinhcl  15505  tanhlt1  15509  reeff1olem  25037  birthday  25536  cxploglim  25559  iexpire  32992
 Copyright terms: Public domain W3C validator