Theorem efle 15330

Description: The exponential function on the reals is nondecreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (exp‘𝐴) ≤ (exp‘𝐵)))

Proof of Theorem efle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eflt 15329	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (exp‘𝐵) < (exp‘𝐴)))
2	1	ancoms 451	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (exp‘𝐵) < (exp‘𝐴)))
3	2	notbid 310	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (exp‘𝐵) < (exp‘𝐴)))
4		lenlt 10518	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5		reefcl 15299	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
6		reefcl 15299	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (exp‘𝐵) ∈ ℝ)
7		lenlt 10518	. . 3 ⊢ (((exp‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (exp‘𝐵) ∈ ℝ) → ((exp‘𝐴) ≤ (exp‘𝐵) ↔ ¬ (exp‘𝐵) < (exp‘𝐴)))
8	5, 6, 7	syl2an 587	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((exp‘𝐴) ≤ (exp‘𝐵) ↔ ¬ (exp‘𝐵) < (exp‘𝐴)))
9	3, 4, 8	3bitr4d 303	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (exp‘𝐴) ≤ (exp‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∈ wcel 2051   class class class wbr 4926  ‘cfv 6186  ℝcr 10333   < clt 10473   ≤ cle 10474  expce 15274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-inf2 8897  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411  ax-pre-sup 10412  ax-addf 10413  ax-mulf 10414

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-se 5364  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-isom 6195  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-oadd 7908  df-er 8088  df-pm 8208  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-fin 8309  df-sup 8700  df-inf 8701  df-oi 8768  df-card 9161  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-div 11098  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-rp 12204  df-ico 12559  df-fz 12708  df-fzo 12849  df-fl 12976  df-seq 13184  df-exp 13244  df-fac 13448  df-bc 13477  df-hash 13505  df-shft 14286  df-cj 14318  df-re 14319  df-im 14320  df-sqrt 14454  df-abs 14455  df-limsup 14688  df-clim 14705  df-rlim 14706  df-sum 14903  df-ef 15280

This theorem is referenced by:  reef11  15331  logdivlti  24920  cxple2  24997  abscxpbnd  25051  birthdaylem3  25249  amgmlem  25285  logdifbnd  25289  emcllem2  25292  zetacvg  25310  vmage0  25416  chpge0  25421  chtleppi  25504  chtublem  25505  efexple  25575  bposlem1  25578  bposlem6  25583  chebbnd1lem1  25763  chtppilimlem1  25767  pntpbnd1a  25879  pntpbnd2  25881  pntibndlem3  25886  ostth2lem4  25930  ostth2  25931  xrge0iifcnv  30853  logdivsqrle  31602  amgmwlem  44300