Theorem ere 16059

Description: Euler's constant e = 2.71828... is a real number. (Contributed by NM, 19-Mar-2005.) (Revised by Steve Rodriguez, 8-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ere	⊢ e ∈ ℝ

Proof of Theorem ere

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-e 16038	. 2 ⊢ e = (exp‘1)
2		1re 11238	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		reefcl 16057	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℝ → (exp‘1) ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (exp‘1) ∈ ℝ
5	1, 4	eqeltri 2824	1 ⊢ e ∈ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6542  ℝcr 11131  1c1 11133  expce 16031  eceu 16032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-ico 13356  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-fl 13783  df-seq 13993  df-exp 14053  df-fac 14259  df-hash 14316  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15441  df-clim 15458  df-rlim 15459  df-sum 15659  df-ef 16037  df-e 16038

This theorem is referenced by:  ege2le3  16060  eirrlem  16174  egt2lt3  16176  epos  16177  epr  16178  ene0  16179  ene1  16180  logdivlti  26547  logdivlt  26548  logdivle  26549  ecxp  26600  elogb  26695  logblog  26717  cxploglim2  26904  harmonicbnd3  26933  bposlem7  27216  bposlem9  27218  chebbnd1lem2  27396  chebbnd1lem3  27397  chebbnd1  27398  dchrvmasumlema  27426  logdivsum  27459  mulog2sumlem2  27461  selberg3lem1  27483  pntpbnd1a  27511  pntpbnd2  27513  pntlemb  27523  pntlemj  27529  pntlemk  27532  subfaclim  34788  subfacval3  34789  aks4d1p1p7  41534  stirlinglem3  45436  stirlinglem4  45437  stirlinglem13  45446  stirlinglem15  45448  stirlingr  45450  etransclem18  45612  etransclem23  45617  etransclem46  45640  etransclem47  45641  etransclem48  45642  etransc  45643