Theorem ere 15159

Description: Euler's constant e = 2.71828... is a real number. (Contributed by NM, 19-Mar-2005.) (Revised by Steve Rodriguez, 8-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ere	⊢ e ∈ ℝ

Proof of Theorem ere

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-e 15139	. 2 ⊢ e = (exp‘1)
2		1re 10332	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		reefcl 15157	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℝ → (exp‘1) ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (exp‘1) ∈ ℝ
5	1, 4	eqeltri 2878	1 ⊢ e ∈ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2157  ‘cfv 6105  ℝcr 10227  1c1 10229  expce 15132  eceu 15133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2379  ax-ext 2781  ax-rep 4968  ax-sep 4979  ax-nul 4987  ax-pow 5039  ax-pr 5101  ax-un 7187  ax-inf2 8792  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305  ax-pre-sup 10306  ax-addf 10307  ax-mulf 10308

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2593  df-eu 2611  df-clab 2790  df-cleq 2796  df-clel 2799  df-nfc 2934  df-ne 2976  df-nel 3079  df-ral 3098  df-rex 3099  df-reu 3100  df-rmo 3101  df-rab 3102  df-v 3391  df-sbc 3638  df-csb 3733  df-dif 3776  df-un 3778  df-in 3780  df-ss 3787  df-pss 3789  df-nul 4120  df-if 4282  df-pw 4355  df-sn 4373  df-pr 4375  df-tp 4377  df-op 4379  df-uni 4633  df-int 4672  df-iun 4716  df-br 4848  df-opab 4910  df-mpt 4927  df-tr 4950  df-id 5224  df-eprel 5229  df-po 5237  df-so 5238  df-fr 5275  df-se 5276  df-we 5277  df-xp 5322  df-rel 5323  df-cnv 5324  df-co 5325  df-dm 5326  df-rn 5327  df-res 5328  df-ima 5329  df-pred 5902  df-ord 5948  df-on 5949  df-lim 5950  df-suc 5951  df-iota 6068  df-fun 6107  df-fn 6108  df-f 6109  df-f1 6110  df-fo 6111  df-f1o 6112  df-fv 6113  df-isom 6114  df-riota 6843  df-ov 6885  df-oprab 6886  df-mpt2 6887  df-om 7304  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-1o 7803  df-oadd 7807  df-er 7986  df-pm 8102  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-fin 8203  df-sup 8594  df-inf 8595  df-oi 8661  df-card 9055  df-pnf 10369  df-mnf 10370  df-xr 10371  df-ltxr 10372  df-le 10373  df-sub 10562  df-neg 10563  df-div 10981  df-nn 11317  df-2 11380  df-3 11381  df-n0 11585  df-z 11671  df-uz 11935  df-rp 12079  df-ico 12434  df-fz 12585  df-fzo 12725  df-fl 12852  df-seq 13060  df-exp 13119  df-fac 13318  df-hash 13375  df-shft 14152  df-cj 14184  df-re 14185  df-im 14186  df-sqrt 14320  df-abs 14321  df-limsup 14547  df-clim 14564  df-rlim 14565  df-sum 14762  df-ef 15138  df-e 15139

This theorem is referenced by:  ege2le3  15160  eirrlem  15272  egt2lt3  15274  epos  15275  epr  15276  ene0  15277  ene1  15278  logdivlti  24711  logdivlt  24712  logdivle  24713  ecxp  24764  elogb  24856  logblog  24878  cxploglim2  25061  harmonicbnd3  25090  bposlem7  25371  bposlem9  25373  chebbnd1lem2  25515  chebbnd1lem3  25516  chebbnd1  25517  dchrvmasumlema  25545  logdivsum  25578  mulog2sumlem2  25580  selberg3lem1  25602  pntpbnd1a  25630  pntpbnd2  25632  pntlemb  25642  pntlemj  25648  pntlemk  25651  subfaclim  31691  subfacval3  31692  stirlinglem3  41040  stirlinglem4  41041  stirlinglem13  41050  stirlinglem15  41052  stirlingr  41054  etransclem18  41216  etransclem23  41221  etransclem46  41244  etransclem47  41245  etransclem48  41246  etransc  41247