Theorem ere 16028

Description: Euler's constant e = 2.71828... is a real number. (Contributed by NM, 19-Mar-2005.) (Revised by Steve Rodriguez, 8-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ere	⊢ e ∈ ℝ

Proof of Theorem ere

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-e 16008	. 2 ⊢ e = (exp‘1)
2		1re 11210	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		reefcl 16026	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℝ → (exp‘1) ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (exp‘1) ∈ ℝ
5	1, 4	eqeltri 2829	1 ⊢ e ∈ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6540  ℝcr 11105  1c1 11107  expce 16001  eceu 16002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-e 16008

This theorem is referenced by:  ege2le3  16029  eirrlem  16143  egt2lt3  16145  epos  16146  epr  16147  ene0  16148  ene1  16149  logdivlti  26119  logdivlt  26120  logdivle  26121  ecxp  26172  elogb  26264  logblog  26286  cxploglim2  26472  harmonicbnd3  26501  bposlem7  26782  bposlem9  26784  chebbnd1lem2  26962  chebbnd1lem3  26963  chebbnd1  26964  dchrvmasumlema  26992  logdivsum  27025  mulog2sumlem2  27027  selberg3lem1  27049  pntpbnd1a  27077  pntpbnd2  27079  pntlemb  27089  pntlemj  27095  pntlemk  27098  subfaclim  34167  subfacval3  34168  aks4d1p1p7  40927  stirlinglem3  44778  stirlinglem4  44779  stirlinglem13  44788  stirlinglem15  44790  stirlingr  44792  etransclem18  44954  etransclem23  44959  etransclem46  44982  etransclem47  44983  etransclem48  44984  etransc  44985