Theorem rhmzrhval 42341

Description: Evaluation of integers across a ring homomorphism. (Contributed by metakunt, 4-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmzrhval.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
rhmzrhval.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
rhmzrhval.3	⊢ 𝑀 = (ℤRHom‘𝑅)
rhmzrhval.4	⊢ 𝑁 = (ℤRHom‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmzrhval	⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem rhmzrhval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmzrhval.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2		rhmrcl1 20424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		rhmzrhval.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (ℤRHom‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
6		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	4, 5, 6	zrhval2 21475	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
8	3, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
9	8	fveq1d 6844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋))
10	9	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑀‘𝑋)) = (𝐹‘((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋)))
11		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
12		oveq1 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
13	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
14		rhmzrhval.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
15		ovexd 7403	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ V)
16	11, 13, 14, 15	fvmptd 6957	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋) = (𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
17	16	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋)) = (𝐹‘(𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
18		rhmghm 20431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
19	1, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
20		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21	20, 6	ringidcl 20212	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
22	3, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
23		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘𝑆) = (.g‘𝑆)
24	20, 5, 23	ghmmulg 19169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑋(.g‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))))
25	19, 14, 22, 24	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑋(.g‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))))
26		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
27	6, 26	rhm1 20436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
28	1, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
29	28	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.g‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
30	25, 29	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
31	17, 30	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋)) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
32		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆))) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆))))
33		oveq1 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
34	33	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
35		ovexd 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)) ∈ V)
36	32, 34, 14, 35	fvmptd 6957	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
37	36	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋))
38	31, 37	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋))
39	10, 38	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑀‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋))
40		rhmrcl2 20425	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
41	1, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
42		rhmzrhval.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (ℤRHom‘𝑆)
43	42, 23, 26	zrhval2 21475	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑁 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆))))
44	43	fveq1d 6844	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (𝑁‘𝑋) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋))
45	41, 44	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋))
46	45	eqcomd 2743	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋) = (𝑁‘𝑋))
47	39, 46	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℤcz 12500  Basecbs 17148  ._gcmg 19009   GrpHom cghm 19153  1_rcur 20128  Ringcrg 20180   RingHom crh 20417  ℤRHomczrh 21466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-seq 13937  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-rhm 20420  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-cnfld 21322  df-zring 21414  df-zrh 21470

This theorem is referenced by:  ply1asclzrhval  42558  aks5lem3a  42559