Theorem rhmzrhval 42628

Description: Evaluation of integers across a ring homomorphism. (Contributed by metakunt, 4-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmzrhval.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
rhmzrhval.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
rhmzrhval.3	⊢ 𝑀 = (ℤRHom‘𝑅)
rhmzrhval.4	⊢ 𝑁 = (ℤRHom‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmzrhval	⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem rhmzrhval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmzrhval.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2		rhmrcl1 20557	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		rhmzrhval.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (ℤRHom‘𝑅)
5		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
6		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	4, 5, 6	zrhval2 21626	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
8	3, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
9	8	fveq1d 6884	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋))
10	9	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑀‘𝑋)) = (𝐹‘((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋)))
11		eqidd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
12		oveq1 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
13	12	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
14		rhmzrhval.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
15		ovexd 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ V)
16	11, 13, 14, 15	fvmptd 6998	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋) = (𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
17	16	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋)) = (𝐹‘(𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
18		rhmghm 20564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
19	1, 18	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
20		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21	20, 6	ringidcl 20347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
22	3, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
23		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘𝑆) = (.g‘𝑆)
24	20, 5, 23	ghmmulg 19297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑋(.g‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))))
25	19, 14, 22, 24	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑋(.g‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))))
26		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
27	6, 26	rhm1 20570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
28	1, 27	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
29	28	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.g‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
30	25, 29	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
31	17, 30	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋)) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
32		eqidd 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆))) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆))))
33		oveq1 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
34	33	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
35		ovexd 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)) ∈ V)
36	32, 34, 14, 35	fvmptd 6998	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
37	36	eqcomd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋))
38	31, 37	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋))
39	10, 38	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑀‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋))
40		rhmrcl2 20558	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
41	1, 40	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
42		rhmzrhval.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (ℤRHom‘𝑆)
43	42, 23, 26	zrhval2 21626	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑁 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆))))
44	43	fveq1d 6884	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (𝑁‘𝑋) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋))
45	41, 44	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋))
46	45	eqcomd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋) = (𝑁‘𝑋))
47	39, 46	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℤcz 12590  Basecbs 17268  ._gcmg 19132   GrpHom cghm 19282  1_rcur 20262  Ringcrg 20314   RingHom crh 20550  ℤRHomczrh 21617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-addf 11178  ax-mulf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-seq 14037  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-ghm 19283  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-rhm 20553  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-cnfld 21491  df-zring 21565  df-zrh 21621

This theorem is referenced by:  ply1asclzrhval  42844  aks5lem3a  42845