Theorem rhmzrhval 42589

Description: Evaluation of integers across a ring homomorphism. (Contributed by metakunt, 4-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmzrhval.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
rhmzrhval.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
rhmzrhval.3	⊢ 𝑀 = (ℤRHom‘𝑅)
rhmzrhval.4	⊢ 𝑁 = (ℤRHom‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmzrhval	⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem rhmzrhval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmzrhval.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2		rhmrcl1 20525	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		rhmzrhval.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (ℤRHom‘𝑅)
5		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
6		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	4, 5, 6	zrhval2 21560	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
8	3, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
9	8	fveq1d 6869	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋))
10	9	fveq2d 6871	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑀‘𝑋)) = (𝐹‘((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋)))
11		eqidd 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
12		oveq1 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
13	12	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
14		rhmzrhval.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
15		ovexd 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ V)
16	11, 13, 14, 15	fvmptd 6983	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋) = (𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
17	16	fveq2d 6871	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋)) = (𝐹‘(𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
18		rhmghm 20532	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
19	1, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
20		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21	20, 6	ringidcl 20315	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
22	3, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
23		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘𝑆) = (.g‘𝑆)
24	20, 5, 23	ghmmulg 19268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑋(.g‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))))
25	19, 14, 22, 24	syl3anc 1390	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑋(.g‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))))
26		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
27	6, 26	rhm1 20538	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
28	1, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
29	28	oveq2d 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.g‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
30	25, 29	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
31	17, 30	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋)) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
32		eqidd 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆))) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆))))
33		oveq1 7403	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
34	33	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
35		ovexd 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)) ∈ V)
36	32, 34, 14, 35	fvmptd 6983	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
37	36	eqcomd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋))
38	31, 37	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋))
39	10, 38	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑀‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋))
40		rhmrcl2 20526	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
41	1, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
42		rhmzrhval.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (ℤRHom‘𝑆)
43	42, 23, 26	zrhval2 21560	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑁 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆))))
44	43	fveq1d 6869	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (𝑁‘𝑋) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋))
45	41, 44	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋))
46	45	eqcomd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋) = (𝑁‘𝑋))
47	39, 46	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℤcz 12568  Basecbs 17245  ._gcmg 19109   GrpHom cghm 19253  1_rcur 20231  Ringcrg 20283   RingHom crh 20518  ℤRHomczrh 21551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-addf 11152  ax-mulf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-seq 14015  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-0g 17470  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-ghm 19254  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-ring 20285  df-cring 20286  df-rhm 20521  df-subrng 20596  df-subrg 20620  df-cnfld 21425  df-zring 21499  df-zrh 21555

This theorem is referenced by:  ply1asclzrhval  42805  aks5lem3a  42806