Theorem rhmzrhval 41572

Description: Evaluation of integers across a ring homomorphism. (Contributed by metakunt, 4-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmzrhval.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
rhmzrhval.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
rhmzrhval.3	⊢ 𝑀 = (ℤRHom‘𝑅)
rhmzrhval.4	⊢ 𝑁 = (ℤRHom‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmzrhval	⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem rhmzrhval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmzrhval.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2		rhmrcl1 20427	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		rhmzrhval.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (ℤRHom‘𝑅)
5		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
6		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	4, 5, 6	zrhval2 21451	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
8	3, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
9	8	fveq1d 6898	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋))
10	9	fveq2d 6900	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑀‘𝑋)) = (𝐹‘((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋)))
11		eqidd 2726	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
12		oveq1 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
13	12	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
14		rhmzrhval.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
15		ovexd 7454	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ V)
16	11, 13, 14, 15	fvmptd 7011	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋) = (𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
17	16	fveq2d 6900	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋)) = (𝐹‘(𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
18		rhmghm 20435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
19	1, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
20		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21	20, 6	ringidcl 20214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
22	3, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
23		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘𝑆) = (.g‘𝑆)
24	20, 5, 23	ghmmulg 19191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑋(.g‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))))
25	19, 14, 22, 24	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑋(.g‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))))
26		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
27	6, 26	rhm1 20440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
28	1, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
29	28	oveq2d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.g‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
30	25, 29	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
31	17, 30	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋)) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
32		eqidd 2726	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆))) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆))))
33		oveq1 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
34	33	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
35		ovexd 7454	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)) ∈ V)
36	32, 34, 14, 35	fvmptd 7011	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
37	36	eqcomd 2731	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋))
38	31, 37	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋))
39	10, 38	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑀‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋))
40		rhmrcl2 20428	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
41	1, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
42		rhmzrhval.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (ℤRHom‘𝑆)
43	42, 23, 26	zrhval2 21451	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑁 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆))))
44	43	fveq1d 6898	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (𝑁‘𝑋) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋))
45	41, 44	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋))
46	45	eqcomd 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋) = (𝑁‘𝑋))
47	39, 46	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ℤcz 12591  Basecbs 17183  ._gcmg 19031   GrpHom cghm 19175  1_rcur 20133  Ringcrg 20185   RingHom crh 20420  ℤRHomczrh 21442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-addf 11219  ax-mulf 11220

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-fz 13520  df-seq 14003  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-rhm 20423  df-subrng 20495  df-subrg 20520  df-cnfld 21297  df-zring 21390  df-zrh 21446

This theorem is referenced by: (None)