Theorem rhmzrhval 42428

Description: Evaluation of integers across a ring homomorphism. (Contributed by metakunt, 4-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmzrhval.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
rhmzrhval.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
rhmzrhval.3	⊢ 𝑀 = (ℤRHom‘𝑅)
rhmzrhval.4	⊢ 𝑁 = (ℤRHom‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmzrhval	⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem rhmzrhval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmzrhval.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2		rhmrcl1 20450	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		rhmzrhval.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (ℤRHom‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
6		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	4, 5, 6	zrhval2 21501	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
8	3, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
9	8	fveq1d 6837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋))
10	9	fveq2d 6839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑀‘𝑋)) = (𝐹‘((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋)))
11		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
12		oveq1 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
13	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
14		rhmzrhval.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
15		ovexd 7396	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ V)
16	11, 13, 14, 15	fvmptd 6950	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋) = (𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
17	16	fveq2d 6839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋)) = (𝐹‘(𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
18		rhmghm 20457	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
19	1, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
20		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21	20, 6	ringidcl 20240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
22	3, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
23		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘𝑆) = (.g‘𝑆)
24	20, 5, 23	ghmmulg 19197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑋(.g‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))))
25	19, 14, 22, 24	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑋(.g‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))))
26		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
27	6, 26	rhm1 20462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
28	1, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
29	28	oveq2d 7377	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.g‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
30	25, 29	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
31	17, 30	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋)) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
32		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆))) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆))))
33		oveq1 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
34	33	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
35		ovexd 7396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)) ∈ V)
36	32, 34, 14, 35	fvmptd 6950	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋) = (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))
37	36	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋))
38	31, 37	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋))
39	10, 38	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑀‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋))
40		rhmrcl2 20451	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
41	1, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
42		rhmzrhval.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (ℤRHom‘𝑆)
43	42, 23, 26	zrhval2 21501	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑁 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆))))
44	43	fveq1d 6837	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (𝑁‘𝑋) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋))
45	41, 44	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋))
46	45	eqcomd 2743	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑆)(1r‘𝑆)))‘𝑋) = (𝑁‘𝑋))
47	39, 46	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℤcz 12518  Basecbs 17173  ._gcmg 19037   GrpHom cghm 19181  1_rcur 20156  Ringcrg 20208   RingHom crh 20443  ℤRHomczrh 21492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-addf 11111  ax-mulf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-seq 13958  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-ghm 19182  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-rhm 20446  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-cnfld 21348  df-zring 21440  df-zrh 21496

This theorem is referenced by:  ply1asclzrhval  42644  aks5lem3a  42645