Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks5lem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks5lem3a 42171
Description: Lemma for AKS section 5. (Contributed by metakunt, 17-Jun-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks5lema.1 (𝜑𝐾 ∈ Field)
aks5lema.2 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks5lema.3 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃𝑁))
aks5lema.9 𝐵 = (𝑆 /s (𝑆 ~QG 𝐿))
aks5lema.10 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g𝑆)(1r𝑆))})
aks5lema.11 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
aks5lema.14 = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
aks5lema.15 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
aks5lem3a.4 𝐹 = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ (𝐺𝑝))
aks5lem3a.5 𝐺 = (𝑞 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑞))
aks5lem3a.6 𝐻 = (𝑟 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ↦ (((eval1𝐾)‘𝑟)‘𝑀))
aks5lem3a.7 (𝜑𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
aks5lem3a.8 𝐼 = (𝑠 ∈ (Base‘𝐵) ↦ ((𝐻𝐹) “ 𝑠))
aks5lem3a.12 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
aks5lem3a.13 (𝜑 → [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))](𝑆 ~QG 𝐿))
Assertion
Ref Expression
aks5lem3a (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘𝑀)) = (((eval1𝐾)‘((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐴,𝑠   𝐹,𝑟   𝐹,𝑠   𝐺,𝑝   𝐻,𝑠   𝐼,𝑠   𝐾,𝑝   𝐾,𝑞   𝐾,𝑟   𝐾,𝑠   𝐿,𝑠   𝑀,𝑟   𝑁,𝑝   𝑁,𝑞   𝑁,𝑟   𝑁,𝑠   𝑅,𝑝   𝑅,𝑟   𝜑,𝑝   𝜑,𝑟   𝜑,𝑠   𝐵,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑒,𝑓,𝑞)   𝐴(𝑦,𝑒,𝑓,𝑞,𝑝)   𝐵(𝑦,𝑒,𝑓,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑃(𝑦,𝑒,𝑓,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝)   (𝑦,𝑒,𝑓,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑅(𝑦,𝑒,𝑓,𝑠,𝑞)   𝑆(𝑦,𝑒,𝑓,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝)   𝐹(𝑦,𝑒,𝑓,𝑞,𝑝)   𝐺(𝑦,𝑒,𝑓,𝑠,𝑟,𝑞)   𝐻(𝑦,𝑒,𝑓,𝑟,𝑞,𝑝)   𝐼(𝑦,𝑒,𝑓,𝑟,𝑞,𝑝)   𝐾(𝑦,𝑒,𝑓)   𝐿(𝑦,𝑒,𝑓,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑀(𝑦,𝑒,𝑓,𝑠,𝑞,𝑝)   𝑁(𝑦,𝑒,𝑓)

Proof of Theorem aks5lem3a
Dummy variables 𝑢 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks5lema.1 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ Field)
2 aks5lema.2 . . . . . 6 𝑃 = (chr‘𝐾)
3 aks5lema.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃𝑁))
4 aks5lem3a.4 . . . . . 6 𝐹 = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ (𝐺𝑝))
5 aks5lem3a.5 . . . . . 6 𝐺 = (𝑞 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑞))
6 aks5lem3a.6 . . . . . 6 𝐻 = (𝑟 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ↦ (((eval1𝐾)‘𝑟)‘𝑀))
7 aks5lem3a.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
81fldcrngd 20759 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ CRing)
9 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
109crngmgp 20259 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ CRing → (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd)
118, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd)
12 aks5lema.11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
1312nnnn0d 12585 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
14 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (.g‘(mulGrp‘𝐾)) = (.g‘(mulGrp‘𝐾))
1511, 13, 14isprimroot 42075 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) ∧ (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)) ∧ ∀𝑑 ∈ ℕ0 ((𝑑(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)) → 𝑅𝑑))))
167, 15mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) ∧ (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)) ∧ ∀𝑑 ∈ ℕ0 ((𝑑(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)) → 𝑅𝑑)))
1716simp1d 1141 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
18 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
199, 18mgpbas 20158 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
2019eqcomi 2744 . . . . . . 7 (Base‘(mulGrp‘𝐾)) = (Base‘𝐾)
2117, 20eleqtrdi 2849 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (Base‘𝐾))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 21aks5lem1 42168 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom 𝐾))
23 eqid 2735 . . . . . 6 (mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
2423, 9rhmmhm 20496 . . . . 5 ((𝐻𝐹) ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom 𝐾) → (𝐻𝐹) ∈ ((mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) MndHom (mulGrp‘𝐾)))
2522, 24syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ ((mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) MndHom (mulGrp‘𝐾)))
263simp2d 1142 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2726nnnn0d 12585 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
28 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
29 eqid 2735 . . . . 5 (+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
30 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (ℤ/nℤ‘𝑁) = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3130zncrng 21581 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing)
3227, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing)
33 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
3433ply1crng 22216 . . . . . . . 8 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing → (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ CRing)
3532, 34syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ CRing)
3635crngringd 20264 . . . . . 6 (𝜑 → (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Ring)
37 ringgrp 20256 . . . . . 6 ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Ring → (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Grp)
3836, 37syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Grp)
3932crngringd 20264 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
40 eqid 2735 . . . . . . 7 (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
4140, 33, 28vr1cl 22235 . . . . . 6 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring → (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
4239, 41syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
43 eqid 2735 . . . . . . 7 (algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
44 eqid 2735 . . . . . . 7 (ℤRHom‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (ℤRHom‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
45 eqid 2735 . . . . . . 7 (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
46 aks5lem3a.12 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4733, 43, 44, 45, 32, 46ply1asclzrhval 42170 . . . . . 6 (𝜑 → ((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)) = ((ℤRHom‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘𝐴))
4844zrhrhm 21540 . . . . . . . . 9 ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Ring → (ℤRHom‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ (ℤring RingHom (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
49 zringbas 21482 . . . . . . . . . 10 ℤ = (Base‘ℤring)
5049, 28rhmf 20502 . . . . . . . . 9 ((ℤRHom‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ (ℤring RingHom (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (ℤRHom‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))):ℤ⟶(Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
5148, 50syl 17 . . . . . . . 8 ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Ring → (ℤRHom‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))):ℤ⟶(Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
5236, 51syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤRHom‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))):ℤ⟶(Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
5352, 46ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℤRHom‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
5447, 53eqeltrd 2839 . . . . 5 (𝜑 → ((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
5528, 29, 38, 42, 54grpcld 18978 . . . 4 (𝜑 → ((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
5623, 28mgpbas 20158 . . . . 5 (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
57 eqid 2735 . . . . 5 (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
5856, 57, 14mhmmulg 19146 . . . 4 (((𝐻𝐹) ∈ ((mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) MndHom (mulGrp‘𝐾)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((𝐻𝐹)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))((𝐻𝐹)‘((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))))
5925, 27, 55, 58syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → ((𝐻𝐹)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))((𝐻𝐹)‘((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))))
60 eqid 2735 . . . . . . . 8 (Poly1𝐾) = (Poly1𝐾)
618crngringd 20264 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Ring)
622eqcomi 2744 . . . . . . . . . 10 (chr‘𝐾) = 𝑃
633simp1d 1141 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
64 prmnn 16708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
6665nnzd 12638 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
6762, 66eqeltrid 2843 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (chr‘𝐾) ∈ ℤ)
6862a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (chr‘𝐾) = 𝑃)
693simp3d 1143 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃𝑁)
7068, 69eqbrtrd 5170 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (chr‘𝐾) ∥ 𝑁)
7161, 26, 67, 70, 30, 5zndvdchrrhm 41953 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ ((ℤ/nℤ‘𝑁) RingHom 𝐾))
7233, 60, 28, 4, 71rhmply1 22406 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom (Poly1𝐾)))
73 eqid 2735 . . . . . . . 8 (Base‘(Poly1𝐾)) = (Base‘(Poly1𝐾))
7428, 73rhmf 20502 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom (Poly1𝐾)) → 𝐹:(Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))⟶(Base‘(Poly1𝐾)))
7572, 74syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:(Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))⟶(Base‘(Poly1𝐾)))
7675, 55fvco3d 7009 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐻𝐹)‘((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))) = (𝐻‘(𝐹‘((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))))
776a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 = (𝑟 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ↦ (((eval1𝐾)‘𝑟)‘𝑀)))
78 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 = (𝐹‘((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))) → 𝑟 = (𝐹‘((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))))
7978fveq2d 6911 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 = (𝐹‘((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))) → ((eval1𝐾)‘𝑟) = ((eval1𝐾)‘(𝐹‘((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))))
8079fveq1d 6909 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 = (𝐹‘((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))) → (((eval1𝐾)‘𝑟)‘𝑀) = (((eval1𝐾)‘(𝐹‘((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))))‘𝑀))
8175, 55ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
82 fvexd 6922 . . . . . . 7 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘(𝐹‘((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))))‘𝑀) ∈ V)
8377, 80, 81, 82fvmptd 7023 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻‘(𝐹‘((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))) = (((eval1𝐾)‘(𝐹‘((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))))‘𝑀))
84 rhmghm 20501 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom (Poly1𝐾)) → 𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) GrpHom (Poly1𝐾)))
8572, 84syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) GrpHom (Poly1𝐾)))
86 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (+g‘(Poly1𝐾)) = (+g‘(Poly1𝐾))
8728, 29, 86ghmlin 19252 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) GrpHom (Poly1𝐾)) ∧ (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∧ ((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝐹‘((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))) = ((𝐹‘(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))))
8885, 42, 54, 87syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))) = ((𝐹‘(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))))
89 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (var1𝐾) = (var1𝐾)
9033, 60, 28, 4, 40, 89, 71rhmply1vr1 22407 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹‘(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (var1𝐾))
9147fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹‘((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))) = (𝐹‘((ℤRHom‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘𝐴)))
92 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤRHom‘(Poly1𝐾)) = (ℤRHom‘(Poly1𝐾))
9372, 46, 44, 92rhmzrhval 41952 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹‘((ℤRHom‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘𝐴)) = ((ℤRHom‘(Poly1𝐾))‘𝐴))
9491, 93eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹‘((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))) = ((ℤRHom‘(Poly1𝐾))‘𝐴))
95 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (algSc‘(Poly1𝐾)) = (algSc‘(Poly1𝐾))
96 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (ℤRHom‘𝐾) = (ℤRHom‘𝐾)
9760, 95, 92, 96, 8, 46ply1asclzrhval 42170 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)) = ((ℤRHom‘(Poly1𝐾))‘𝐴))
9894, 97eqtr4d 2778 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹‘((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))) = ((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))
9990, 98oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹‘(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))) = ((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))
10088, 99eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))) = ((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))
101100fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝜑 → ((eval1𝐾)‘(𝐹‘((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))) = ((eval1𝐾)‘((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))))
102101fveq1d 6909 . . . . . 6 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘(𝐹‘((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))))‘𝑀) = (((eval1𝐾)‘((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘𝑀))
10383, 102eqtrd 2775 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻‘(𝐹‘((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))) = (((eval1𝐾)‘((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘𝑀))
10476, 103eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → ((𝐻𝐹)‘((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))) = (((eval1𝐾)‘((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘𝑀))
105104oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))((𝐻𝐹)‘((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘𝑀)))
10659, 105eqtr2d 2776 . 2 (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘𝑀)) = ((𝐻𝐹)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))))
107 eceq1 8783 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))) → [𝑢]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿) = [(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿))
108107fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))) → (𝐼‘[𝑢]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿)) = (𝐼‘[(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿)))
109 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))) → ((𝐻𝐹)‘𝑢) = ((𝐻𝐹)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))))
110108, 109eqeq12d 2751 . . . . 5 (𝑢 = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))) → ((𝐼‘[𝑢]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿)) = ((𝐻𝐹)‘𝑢) ↔ (𝐼‘[(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿)) = ((𝐻𝐹)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))))))
111 aks5lem3a.8 . . . . . . 7 𝐼 = (𝑠 ∈ (Base‘𝐵) ↦ ((𝐻𝐹) “ 𝑠))
112 aks5lema.9 . . . . . . . 8 𝐵 = (𝑆 /s (𝑆 ~QG 𝐿))
113 aks5lema.15 . . . . . . . . 9 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
114113oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 (𝑆 ~QG 𝐿) = ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿)
115113, 114oveq12i 7443 . . . . . . . 8 (𝑆 /s (𝑆 ~QG 𝐿)) = ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) /s ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿))
116112, 115eqtri 2763 . . . . . . 7 𝐵 = ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) /s ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿))
117 aks5lema.10 . . . . . . . 8 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g𝑆)(1r𝑆))})
118113fveq2i 6910 . . . . . . . . 9 (RSpan‘𝑆) = (RSpan‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
119113fveq2i 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
120119fveq2i 6910 . . . . . . . . . . . 12 (.g‘(mulGrp‘𝑆)) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
121120oveqi 7444 . . . . . . . . . . 11 (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
122113fveq2i 6910 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑆) = (1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
123113fveq2i 6910 . . . . . . . . . . 11 (-g𝑆) = (-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
124121, 122, 123oveq123i 7445 . . . . . . . . . 10 ((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g𝑆)(1r𝑆)) = ((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
125124sneqi 4642 . . . . . . . . 9 {((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g𝑆)(1r𝑆))} = {((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))}
126118, 125fveq12i 6913 . . . . . . . 8 ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g𝑆)(1r𝑆))}) = ((RSpan‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))})
127117, 126eqtri 2763 . . . . . . 7 𝐿 = ((RSpan‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))})
1281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 111, 116, 127, 12aks5lem2 42169 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼 ∈ (𝐵 RingHom 𝐾) ∧ ∀𝑢 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝐼‘[𝑢]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿)) = ((𝐻𝐹)‘𝑢)))
129128simprd 495 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝐼‘[𝑢]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿)) = ((𝐻𝐹)‘𝑢))
13023ringmgp 20257 . . . . . . 7 ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Ring → (mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ Mnd)
13136, 130syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ Mnd)
13256, 57, 131, 27, 55mulgnn0cld 19126 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
133110, 129, 132rspcdva 3623 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘[(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿)) = ((𝐻𝐹)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))))
134133eqcomd 2741 . . 3 (𝜑 → ((𝐻𝐹)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))) = (𝐼‘[(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿)))
135113eqcomi 2744 . . . . . . . . . . 11 (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = 𝑆
136135a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = 𝑆)
137136fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (mulGrp‘𝑆))
138137fveq2d 6911 . . . . . . . 8 (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (.g‘(mulGrp‘𝑆)))
139 eqidd 2736 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 = 𝑁)
140136fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (+g𝑆))
141 eqidd 2736 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
142136fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (algSc‘𝑆))
143142fveq1d 6909 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)) = ((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))
144140, 141, 143oveq123d 7452 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))) = ((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))
145138, 139, 144oveq123d 7452 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))))
146145eceq1d 8784 . . . . . 6 (𝜑 → [(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿) = [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿))
147136oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿) = (𝑆 ~QG 𝐿))
148147eceq2d 8787 . . . . . 6 (𝜑 → [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿) = [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))](𝑆 ~QG 𝐿))
149146, 148eqtrd 2775 . . . . 5 (𝜑 → [(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿) = [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))](𝑆 ~QG 𝐿))
150 aks5lem3a.13 . . . . 5 (𝜑 → [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))](𝑆 ~QG 𝐿))
151 eqcom 2742 . . . . . . . . . . 11 ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = 𝑆𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
152151imbi2i 336 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 → (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = 𝑆) ↔ (𝜑𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
153136, 152mpbi 230 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
154153fveq2d 6911 . . . . . . . 8 (𝜑 → (+g𝑆) = (+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
155153fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
156155fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘𝑆)) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
157156oveqd 7448 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
158153fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (algSc‘𝑆) = (algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
159158fveq1d 6909 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)) = ((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))
160154, 157, 159oveq123d 7452 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))) = ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))
161160eceq1d 8784 . . . . . 6 (𝜑 → [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))](𝑆 ~QG 𝐿))
162147eqcomd 2741 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 ~QG 𝐿) = ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿))
163162eceq2d 8787 . . . . . 6 (𝜑 → [((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿))
164161, 163eqtrd 2775 . . . . 5 (𝜑 → [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g𝑆)((algSc‘𝑆)‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿))
165149, 150, 1643eqtrd 2779 . . . 4 (𝜑 → [(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿))
166165fveq2d 6911 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘[(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿)) = (𝐼‘[((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿)))
167 eceq1 8783 . . . . . 6 (𝑢 = ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))) → [𝑢]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿))
168167fveq2d 6911 . . . . 5 (𝑢 = ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))) → (𝐼‘[𝑢]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿)) = (𝐼‘[((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿)))
169 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑢 = ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))) → ((𝐻𝐹)‘𝑢) = ((𝐻𝐹)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))))
170168, 169eqeq12d 2751 . . . 4 (𝑢 = ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))) → ((𝐼‘[𝑢]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿)) = ((𝐻𝐹)‘𝑢) ↔ (𝐼‘[((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿)) = ((𝐻𝐹)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))))
17156, 57, 131, 27, 42mulgnn0cld 19126 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
17228, 29, 38, 171, 54grpcld 18978 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
173170, 129, 172rspcdva 3623 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘[((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿)) = ((𝐻𝐹)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))))
174134, 166, 1733eqtrd 2779 . 2 (𝜑 → ((𝐻𝐹)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))) = ((𝐻𝐹)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))))
17575, 172fvco3d 7009 . . 3 (𝜑 → ((𝐻𝐹)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))) = (𝐻‘(𝐹‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))))
176 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 = (𝐹‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))) → 𝑟 = (𝐹‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))))
177176fveq2d 6911 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 = (𝐹‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))) → ((eval1𝐾)‘𝑟) = ((eval1𝐾)‘(𝐹‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))))
178177fveq1d 6909 . . . . 5 ((𝜑𝑟 = (𝐹‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))) → (((eval1𝐾)‘𝑟)‘𝑀) = (((eval1𝐾)‘(𝐹‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))))‘𝑀))
17975, 172ffvelcdmd 7105 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
180 fvexd 6922 . . . . 5 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘(𝐹‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))))‘𝑀) ∈ V)
18177, 178, 179, 180fvmptd 7023 . . . 4 (𝜑 → (𝐻‘(𝐹‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))) = (((eval1𝐾)‘(𝐹‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))))‘𝑀))
18228, 29, 86ghmlin 19252 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) GrpHom (Poly1𝐾)) ∧ (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∧ ((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝐹‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))) = ((𝐹‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(+g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))))
18385, 171, 54, 182syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))) = ((𝐹‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(+g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))))
184183fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝜑 → ((eval1𝐾)‘(𝐹‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))) = ((eval1𝐾)‘((𝐹‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(+g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))))
185184fveq1d 6909 . . . . 5 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘(𝐹‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))))‘𝑀) = (((eval1𝐾)‘((𝐹‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(+g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))))‘𝑀))
186 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘(Poly1𝐾)) = (mulGrp‘(Poly1𝐾))
18723, 186rhmmhm 20496 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom (Poly1𝐾)) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) MndHom (mulGrp‘(Poly1𝐾))))
18872, 187syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ((mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) MndHom (mulGrp‘(Poly1𝐾))))
189 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))
19056, 57, 189mhmmulg 19146 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) MndHom (mulGrp‘(Poly1𝐾))) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝐹‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(𝐹‘(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
191188, 27, 42, 190syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(𝐹‘(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
192191, 91oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(+g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))) = ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(𝐹‘(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(+g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘((ℤRHom‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘𝐴))))
193192fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝜑 → ((eval1𝐾)‘((𝐹‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(+g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))) = ((eval1𝐾)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(𝐹‘(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(+g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘((ℤRHom‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘𝐴)))))
194193fveq1d 6909 . . . . . 6 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘((𝐹‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(+g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))))‘𝑀) = (((eval1𝐾)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(𝐹‘(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(+g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘((ℤRHom‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘𝐴))))‘𝑀))
19590oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(𝐹‘(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))
196195, 93oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(𝐹‘(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(+g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘((ℤRHom‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘𝐴))) = ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))(+g‘(Poly1𝐾))((ℤRHom‘(Poly1𝐾))‘𝐴)))
197196fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((eval1𝐾)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(𝐹‘(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(+g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘((ℤRHom‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘𝐴)))) = ((eval1𝐾)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))(+g‘(Poly1𝐾))((ℤRHom‘(Poly1𝐾))‘𝐴))))
198197fveq1d 6909 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(𝐹‘(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(+g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘((ℤRHom‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘𝐴))))‘𝑀) = (((eval1𝐾)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))(+g‘(Poly1𝐾))((ℤRHom‘(Poly1𝐾))‘𝐴)))‘𝑀))
199 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (eval1𝐾) = (eval1𝐾)
200199, 89, 18, 60, 73, 8, 21evl1vard 22357 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((var1𝐾) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (((eval1𝐾)‘(var1𝐾))‘𝑀) = 𝑀))
201199, 60, 18, 73, 8, 21, 200, 189, 14, 27evl1expd 22365 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (((eval1𝐾)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))‘𝑀) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)))
20260ply1crng 22216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ CRing → (Poly1𝐾) ∈ CRing)
2038, 202syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Poly1𝐾) ∈ CRing)
204203crngringd 20264 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (Poly1𝐾) ∈ Ring)
20592zrhrhm 21540 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Poly1𝐾) ∈ Ring → (ℤRHom‘(Poly1𝐾)) ∈ (ℤring RingHom (Poly1𝐾)))
20649, 73rhmf 20502 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℤRHom‘(Poly1𝐾)) ∈ (ℤring RingHom (Poly1𝐾)) → (ℤRHom‘(Poly1𝐾)):ℤ⟶(Base‘(Poly1𝐾)))
207205, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Poly1𝐾) ∈ Ring → (ℤRHom‘(Poly1𝐾)):ℤ⟶(Base‘(Poly1𝐾)))
208204, 207syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℤRHom‘(Poly1𝐾)):ℤ⟶(Base‘(Poly1𝐾)))
209208, 46ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℤRHom‘(Poly1𝐾))‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
210 eqidd 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘((ℤRHom‘(Poly1𝐾))‘𝐴))‘𝑀) = (((eval1𝐾)‘((ℤRHom‘(Poly1𝐾))‘𝐴))‘𝑀))
211209, 210jca 511 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((ℤRHom‘(Poly1𝐾))‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (((eval1𝐾)‘((ℤRHom‘(Poly1𝐾))‘𝐴))‘𝑀) = (((eval1𝐾)‘((ℤRHom‘(Poly1𝐾))‘𝐴))‘𝑀)))
212 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (+g𝐾) = (+g𝐾)
213199, 60, 18, 73, 8, 21, 201, 211, 86, 212evl1addd 22361 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))(+g‘(Poly1𝐾))((ℤRHom‘(Poly1𝐾))‘𝐴)) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (((eval1𝐾)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))(+g‘(Poly1𝐾))((ℤRHom‘(Poly1𝐾))‘𝐴)))‘𝑀) = ((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)(+g𝐾)(((eval1𝐾)‘((ℤRHom‘(Poly1𝐾))‘𝐴))‘𝑀))))
214213simprd 495 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))(+g‘(Poly1𝐾))((ℤRHom‘(Poly1𝐾))‘𝐴)))‘𝑀) = ((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)(+g𝐾)(((eval1𝐾)‘((ℤRHom‘(Poly1𝐾))‘𝐴))‘𝑀)))
21596zrhrhm 21540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝐾) ∈ (ℤring RingHom 𝐾))
21649, 18rhmf 20502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℤRHom‘𝐾) ∈ (ℤring RingHom 𝐾) → (ℤRHom‘𝐾):ℤ⟶(Base‘𝐾))
217215, 216syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝐾):ℤ⟶(Base‘𝐾))
21861, 217syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℤRHom‘𝐾):ℤ⟶(Base‘𝐾))
219218, 46ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴) ∈ (Base‘𝐾))
220199, 60, 18, 95, 73, 8, 219, 21evl1scad 22355 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (((eval1𝐾)‘((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))‘𝑀) = ((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))
221220simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))‘𝑀) = ((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))
222221eqcomd 2741 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴) = (((eval1𝐾)‘((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))‘𝑀))
22397fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((eval1𝐾)‘((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))) = ((eval1𝐾)‘((ℤRHom‘(Poly1𝐾))‘𝐴)))
224223fveq1d 6909 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))‘𝑀) = (((eval1𝐾)‘((ℤRHom‘(Poly1𝐾))‘𝐴))‘𝑀))
225222, 224eqtr2d 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘((ℤRHom‘(Poly1𝐾))‘𝐴))‘𝑀) = ((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))
226225oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)(+g𝐾)(((eval1𝐾)‘((ℤRHom‘(Poly1𝐾))‘𝐴))‘𝑀)) = ((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))
227214, 226eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))(+g‘(Poly1𝐾))((ℤRHom‘(Poly1𝐾))‘𝐴)))‘𝑀) = ((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))
228198, 227eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(𝐹‘(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(+g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘((ℤRHom‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘𝐴))))‘𝑀) = ((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))
22911cmnmndd 19837 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (mulGrp‘𝐾) ∈ Mnd)
23019, 14, 229, 27, 21mulgnn0cld 19126 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) ∈ (Base‘𝐾))
231199, 89, 18, 60, 73, 8, 230evl1vard 22357 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((var1𝐾) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (((eval1𝐾)‘(var1𝐾))‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)))
232199, 60, 18, 95, 73, 8, 219, 230evl1scad 22355 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (((eval1𝐾)‘((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)) = ((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))
233199, 60, 18, 73, 8, 230, 231, 232, 86, 212evl1addd 22361 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (((eval1𝐾)‘((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)) = ((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))
234233simprd 495 . . . . . . 7 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)) = ((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))
235228, 234eqtr4d 2778 . . . . . 6 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(𝐹‘(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(+g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘((ℤRHom‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘𝐴))))‘𝑀) = (((eval1𝐾)‘((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)))
236194, 235eqtrd 2775 . . . . 5 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘((𝐹‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(+g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))))‘𝑀) = (((eval1𝐾)‘((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)))
237185, 236eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘(𝐹‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))))‘𝑀) = (((eval1𝐾)‘((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)))
238181, 237eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → (𝐻‘(𝐹‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))) = (((eval1𝐾)‘((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)))
239175, 238eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → ((𝐻𝐹)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))) = (((eval1𝐾)‘((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)))
240106, 174, 2393eqtrd 2779 1 (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘𝑀)) = (((eval1𝐾)‘((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  {csn 4631   cuni 4912   class class class wbr 5148  {copab 5210  cmpt 5231  cima 5692  ccom 5693  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  [cec 8742  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  cdvds 16287  cprime 16705  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486   /s cqus 17552  Mndcmnd 18760   MndHom cmhm 18807  Grpcgrp 18964  -gcsg 18966  .gcmg 19098   ~QG cqg 19153   GrpHom cghm 19243  CMndccmn 19813  mulGrpcmgp 20152  1rcur 20199  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252   RingHom crh 20486  Fieldcfield 20747  RSpancrsp 21235  ringczring 21475  ℤRHomczrh 21528  chrcchr 21530  ℤ/nczn 21531  algSccascl 21890  var1cv1 22193  Poly1cpl1 22194  eval1ce1 22334   PrimRoots cprimroots 42073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-prm 16706  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-od 19561  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-field 20749  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-2idl 21278  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-chr 21534  df-zn 21535  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-evls 22116  df-evl 22117  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199  df-coe1 22200  df-evls1 22335  df-evl1 22336  df-primroots 42074
This theorem is referenced by:  aks5lem4a  42172
  Copyright terms: Public domain W3C validator