Theorem ply1asclzrhval 42627

Description: Transfer results from algebraic scalars and ZR ring homomorphisms. (Contributed by metakunt, 17-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1asclzrhval.1	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
ply1asclzrhval.2	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ply1asclzrhval.3	⊢ 𝐵 = (ℤRHom‘𝑊)
ply1asclzrhval.4	⊢ 𝐶 = (ℤRHom‘𝑅)
ply1asclzrhval.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1asclzrhval.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
ply1asclzrhval	⊢ (𝜑 → (𝐴‘(𝐶‘𝑋)) = (𝐵‘𝑋))

Proof of Theorem ply1asclzrhval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1asclzrhval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1asclzrhval.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
3		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
4	3	ply1assa 22163	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Poly1‘𝑅) ∈ AssAlg)
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) ∈ AssAlg)
6	1, 5	eqeltrid 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
7		ply1asclzrhval.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9	7, 8	asclrhm 21870	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ ((Scalar‘𝑊) RingHom 𝑊))
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((Scalar‘𝑊) RingHom 𝑊))
11	2	crngringd 20227	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	1	ply1sca 22216	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
14	13	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) = 𝑅)
15	14	oveq1d 7382	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑊) RingHom 𝑊) = (𝑅 RingHom 𝑊))
16	10, 15	eleqtrd 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅 RingHom 𝑊))
17		ply1asclzrhval.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
18		ply1asclzrhval.4	. 2 ⊢ 𝐶 = (ℤRHom‘𝑅)
19		ply1asclzrhval.3	. 2 ⊢ 𝐵 = (ℤRHom‘𝑊)
20	16, 17, 18, 19	rhmzrhval 42411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(𝐶‘𝑋)) = (𝐵‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℤcz 12524  Scalarcsca 17223  Ringcrg 20214  CRingccrg 20215   RingHom crh 20449  ℤRHomczrh 21479  AssAlgcasa 21830  algSccascl 21832  Poly₁cpl1 22140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-rhm 20452  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-cnfld 21353  df-zring 21427  df-zrh 21483  df-assa 21833  df-ascl 21835  df-psr 21889  df-mpl 21891  df-opsr 21893  df-psr1 22143  df-ply1 22145

This theorem is referenced by:  aks5lem3a  42628  aks5lem5a  42630