Theorem zndvdchrrhm 42665

Description: Construction of a ring homomorphism from ℤ/nℤ to 𝑅 when the characteristic of 𝑅 divides 𝑁. (Contributed by metakunt, 4-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
zndvdchrrhm.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
zndvdchrrhm.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
zndvdchrrhm.3	⊢ (𝜑 → (chr‘𝑅) ∈ ℤ)
zndvdchrrhm.4	⊢ (𝜑 → (chr‘𝑅) ∥ 𝑁)
zndvdchrrhm.5	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
zndvdchrrhm.6	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
zndvdchrrhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem zndvdchrrhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zndvdchrrhm.6	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥))
2		zndvdchrrhm.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3	2	nnnn0d 12565	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘ℤring) = (RSpan‘ℤring)
5		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
6		zndvdchrrhm.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
7	4, 5, 6	znbas2 21658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (Base‘𝑍))
8	3, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (Base‘𝑍))
9	8	eqcomd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑍) = (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))
10	9	mpteq1d 5203	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)))
11	1, 10	eqtrid 2816	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)))
12		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13		zndvdchrrhm.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
15	14	zrhrhm 21630	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
16	13, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
17		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}) = (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)})
18		nfcv 2931	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)
19		nfcv 2931	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑦)
20		imaeq2 6059	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥) = ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑦))
21	20	unieqd 4887	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥) = ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑦))
22	18, 19, 21	cbvmpt 5215	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)) = (𝑦 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑦))
23		zringcrng 21567	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ CRing
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ CRing)
25		zringring 21568	. . . . . 6 ⊢ ℤring ∈ Ring
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
27		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
28	27, 12	kerlidl 21388	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
29	16, 28	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
30		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 ∈ {𝑁})
31		elsng 4606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑁} → (𝑎 ∈ {𝑁} ↔ 𝑎 = 𝑁))
32	30, 31	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → (𝑎 ∈ {𝑁} → 𝑎 = 𝑁))
33	32	imp 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 = 𝑁)
34	30, 33	mpdan 699	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 = 𝑁)
35		zringbas 21572	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
36		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
37	35, 36	rhmf 20566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
38	15, 37	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
39	13, 38	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
40	39	ffnd 6707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅) Fn ℤ)
41	2	nnzd 12617	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
42		zndvdchrrhm.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝑅) ∥ 𝑁)
43		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
44	43, 14, 12	chrdvds 21645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑁 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g‘𝑅)))
45	13, 41, 44	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑁 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g‘𝑅)))
46	42, 45	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g‘𝑅))
47		fvexd 6897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ V)
48		elsng 4606	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ V → (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g‘𝑅)))
49	47, 48	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g‘𝑅)))
50	46, 49	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ {(0g‘𝑅)})
51	40, 41, 50	elpreimad 7055	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
52	51	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑁 ∈ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
53	34, 52	eqeltrd 2869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 ∈ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
54	53	ex 417	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ {𝑁} → 𝑎 ∈ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)})))
55	54	ssrdv 3949	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑁} ⊆ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
56	4, 27	rspssp 21346	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}) ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ {𝑁} ⊆ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)})) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
57	26, 29, 55, 56	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
58	24	crngringd 20328	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
59	41	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑁 ∈ ℤ)
60	34, 59	eqeltrd 2869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 ∈ ℤ)
61	60	ex 417	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ {𝑁} → 𝑎 ∈ ℤ))
62	61	ssrdv 3949	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑁} ⊆ ℤ)
63	4, 35, 27	rspcl 21342	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ {𝑁} ⊆ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
64	58, 62, 63	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
65	12, 16, 17, 5, 22, 24, 57, 64	rhmqusnsg 21396	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)) ∈ ((ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) RingHom 𝑅))
66	11, 65	eqeltrd 2869	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) RingHom 𝑅))
67		eqidd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))
68		eqidd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
69	4, 5, 6	znadd 21659	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (+g‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (+g‘𝑍))
70	3, 69	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (+g‘𝑍))
71	70	oveqdr 7439	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))) → (𝑎(+g‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))𝑏) = (𝑎(+g‘𝑍)𝑏))
72		eqidd 2770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏))
73	4, 5, 6	znmul 21660	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (.r‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (.r‘𝑍))
74	3, 73	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (.r‘𝑍))
75	74	oveqdr 7439	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))) → (𝑎(.r‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))𝑏) = (𝑎(.r‘𝑍)𝑏))
76		eqidd 2770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏))
77	67, 68, 8, 68, 71, 72, 75, 76	rhmpropd 20694	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) RingHom 𝑅) = (𝑍 RingHom 𝑅))
78	66, 77	eleqtrd 2871	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3461   ⊆ wss 3911  {csn 4592  ∪ cuni 4874   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ^◡ccnv 5661   “ cima 5665  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℕcn 12233  ℕ₀cn0 12504  ℤcz 12591   ∥ cdvds 16310  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  ._rcmulr 17311  0_gc0g 17492   /_s cqus 17559   ~_QG cqg 19188  Ringcrg 20315  CRingccrg 20316   RingHom crh 20551  LIdealclidl 21308  RSpancrsp 21309  ℤ_ringczring 21565  ℤRHomczrh 21618  chrcchr 21620  ℤ/nℤczn 21621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179  ax-mulf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-ec 8696  df-qs 8700  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16311  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-0g 17494  df-imas 17562  df-qus 17563  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-nsg 19190  df-eqg 19191  df-ghm 19284  df-od 19598  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-cring 20318  df-oppr 20419  df-rhm 20554  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-lsp 21071  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-lidl 21310  df-rsp 21311  df-2idl 21360  df-cnfld 21492  df-zring 21566  df-zrh 21622  df-chr 21624  df-zn 21625

This theorem is referenced by:  aks5lem1  42878  aks5lem2  42879  aks5lem3a  42881