Theorem zndvdchrrhm 41990

Description: Construction of a ring homomorphism from ℤ/nℤ to 𝑅 when the characteristic of 𝑅 divides 𝑁. (Contributed by metakunt, 4-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
zndvdchrrhm.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
zndvdchrrhm.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
zndvdchrrhm.3	⊢ (𝜑 → (chr‘𝑅) ∈ ℤ)
zndvdchrrhm.4	⊢ (𝜑 → (chr‘𝑅) ∥ 𝑁)
zndvdchrrhm.5	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
zndvdchrrhm.6	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
zndvdchrrhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem zndvdchrrhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zndvdchrrhm.6	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥))
2		zndvdchrrhm.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3	2	nnnn0d 12567	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘ℤring) = (RSpan‘ℤring)
5		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
6		zndvdchrrhm.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
7	4, 5, 6	znbas2 21505	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (Base‘𝑍))
8	3, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (Base‘𝑍))
9	8	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑍) = (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))
10	9	mpteq1d 5215	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)))
11	1, 10	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)))
12		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13		zndvdchrrhm.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
15	14	zrhrhm 21477	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
16	13, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
17		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}) = (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)})
18		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)
19		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑦)
20		imaeq2 6048	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥) = ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑦))
21	20	unieqd 4901	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥) = ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑦))
22	18, 19, 21	cbvmpt 5228	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)) = (𝑦 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑦))
23		zringcrng 21414	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ CRing
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ CRing)
25		zringring 21415	. . . . . 6 ⊢ ℤring ∈ Ring
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
27		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
28	27, 12	kerlidl 21244	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
29	16, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
30		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 ∈ {𝑁})
31		elsng 4620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑁} → (𝑎 ∈ {𝑁} ↔ 𝑎 = 𝑁))
32	30, 31	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → (𝑎 ∈ {𝑁} → 𝑎 = 𝑁))
33	32	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 = 𝑁)
34	30, 33	mpdan 687	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 = 𝑁)
35		zringbas 21419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
36		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
37	35, 36	rhmf 20450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
38	15, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
39	13, 38	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
40	39	ffnd 6712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅) Fn ℤ)
41	2	nnzd 12620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
42		zndvdchrrhm.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝑅) ∥ 𝑁)
43		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
44	43, 14, 12	chrdvds 21492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑁 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g‘𝑅)))
45	13, 41, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑁 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g‘𝑅)))
46	42, 45	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g‘𝑅))
47		fvexd 6896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ V)
48		elsng 4620	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ V → (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g‘𝑅)))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g‘𝑅)))
50	46, 49	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ {(0g‘𝑅)})
51	40, 41, 50	elpreimad 7054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
52	51	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑁 ∈ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
53	34, 52	eqeltrd 2835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 ∈ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
54	53	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ {𝑁} → 𝑎 ∈ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)})))
55	54	ssrdv 3969	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑁} ⊆ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
56	4, 27	rspssp 21205	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}) ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ {𝑁} ⊆ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)})) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
57	26, 29, 55, 56	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
58	24	crngringd 20211	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
59	41	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑁 ∈ ℤ)
60	34, 59	eqeltrd 2835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 ∈ ℤ)
61	60	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ {𝑁} → 𝑎 ∈ ℤ))
62	61	ssrdv 3969	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑁} ⊆ ℤ)
63	4, 35, 27	rspcl 21201	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ {𝑁} ⊆ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
64	58, 62, 63	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
65	12, 16, 17, 5, 22, 24, 57, 64	rhmqusnsg 21251	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)) ∈ ((ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) RingHom 𝑅))
66	11, 65	eqeltrd 2835	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) RingHom 𝑅))
67		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))
68		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
69	4, 5, 6	znadd 21506	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (+g‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (+g‘𝑍))
70	3, 69	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (+g‘𝑍))
71	70	oveqdr 7438	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))) → (𝑎(+g‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))𝑏) = (𝑎(+g‘𝑍)𝑏))
72		eqidd 2737	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏))
73	4, 5, 6	znmul 21507	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (.r‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (.r‘𝑍))
74	3, 73	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (.r‘𝑍))
75	74	oveqdr 7438	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))) → (𝑎(.r‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))𝑏) = (𝑎(.r‘𝑍)𝑏))
76		eqidd 2737	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏))
77	67, 68, 8, 68, 71, 72, 75, 76	rhmpropd 20574	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) RingHom 𝑅) = (𝑍 RingHom 𝑅))
78	66, 77	eleqtrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ⊆ wss 3931  {csn 4606  ∪ cuni 4888   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593   ∥ cdvds 16277  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  ._rcmulr 17277  0_gc0g 17458   /_s cqus 17524   ~_QG cqg 19110  Ringcrg 20198  CRingccrg 20199   RingHom crh 20434  LIdealclidl 21172  RSpancrsp 21173  ℤ_ringczring 21412  ℤRHomczrh 21465  chrcchr 21467  ℤ/nℤczn 21468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213  ax-mulf 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-ec 8726  df-qs 8730  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-dvds 16278  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-0g 17460  df-imas 17527  df-qus 17528  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-nsg 19112  df-eqg 19113  df-ghm 19201  df-od 19514  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-cring 20201  df-oppr 20302  df-rhm 20437  df-subrng 20511  df-subrg 20535  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lsp 20934  df-sra 21136  df-rgmod 21137  df-lidl 21174  df-rsp 21175  df-2idl 21216  df-cnfld 21321  df-zring 21413  df-zrh 21469  df-chr 21471  df-zn 21472

This theorem is referenced by:  aks5lem1  42204  aks5lem2  42205  aks5lem3a  42207