Theorem zndvdchrrhm 43214

Description: Construction of a ring homomorphism from ℤ/nℤ to 𝑅 when the characteristic of 𝑅 divides 𝑁. (Contributed by metakunt, 4-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
zndvdchrrhm.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
zndvdchrrhm.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
zndvdchrrhm.3	⊢ (𝜑 → (chr‘𝑅) ∈ ℤ)
zndvdchrrhm.4	⊢ (𝜑 → (chr‘𝑅) ∥ 𝑁)
zndvdchrrhm.5	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
zndvdchrrhm.6	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
zndvdchrrhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem zndvdchrrhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zndvdchrrhm.6	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥))
2		zndvdchrrhm.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3	2	nnnn0d 12691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘ℤring) = (RSpan‘ℤring)
5		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
6		zndvdchrrhm.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
7	4, 5, 6	znbas2 21872	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (Base‘𝑍))
8	3, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (Base‘𝑍))
9	8	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑍) = (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))
10	9	mpteq1d 5198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)))
11	1, 10	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)))
12		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13		zndvdchrrhm.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
15	14	zrhrhm 21844	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
16	13, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
17		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}) = (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)})
18		nfcv 2926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)
19		nfcv 2926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑦)
20		imaeq2 6059	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥) = ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑦))
21	20	unieqd 4883	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥) = ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑦))
22	18, 19, 21	cbvmpt 5210	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)) = (𝑦 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑦))
23		zringcrng 21781	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ CRing
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ CRing)
25		zringring 21782	. . . . . 6 ⊢ ℤring ∈ Ring
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
27		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
28	27, 12	kerlidl 21599	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
29	16, 28	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
30		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 ∈ {𝑁})
31		elsng 4598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑁} → (𝑎 ∈ {𝑁} ↔ 𝑎 = 𝑁))
32	30, 31	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → (𝑎 ∈ {𝑁} → 𝑎 = 𝑁))
33	32	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 = 𝑁)
34	30, 33	mpdan 700	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 = 𝑁)
35		zringbas 21786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
36		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
37	35, 36	rhmf 20742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
38	15, 37	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
39	13, 38	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
40	39	ffnd 6729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅) Fn ℤ)
41	2	nnzd 12743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
42		zndvdchrrhm.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝑅) ∥ 𝑁)
43		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
44	43, 14, 12	chrdvds 21859	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑁 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g‘𝑅)))
45	13, 41, 44	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑁 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g‘𝑅)))
46	42, 45	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g‘𝑅))
47		fvexd 6920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ V)
48		elsng 4598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ V → (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g‘𝑅)))
49	47, 48	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g‘𝑅)))
50	46, 49	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ {(0g‘𝑅)})
51	40, 41, 50	elpreimad 7079	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
52	51	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑁 ∈ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
53	34, 52	eqeltrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 ∈ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
54	53	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ {𝑁} → 𝑎 ∈ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)})))
55	54	ssrdv 3919	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑁} ⊆ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
56	4, 27	rspssp 21549	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}) ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ {𝑁} ⊆ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)})) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
57	26, 29, 55, 56	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
58	24	crngringd 20500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
59	41	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑁 ∈ ℤ)
60	34, 59	eqeltrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 ∈ ℤ)
61	60	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ {𝑁} → 𝑎 ∈ ℤ))
62	61	ssrdv 3919	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑁} ⊆ ℤ)
63	4, 35, 27	rspcl 21545	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ {𝑁} ⊆ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
64	58, 62, 63	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
65	12, 16, 17, 5, 22, 24, 57, 64	rhmqusnsg 21608	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)) ∈ ((ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) RingHom 𝑅))
66	11, 65	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) RingHom 𝑅))
67		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))
68		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
69	4, 5, 6	znadd 21873	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (+g‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (+g‘𝑍))
70	3, 69	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (+g‘𝑍))
71	70	oveqdr 7468	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))) → (𝑎(+g‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))𝑏) = (𝑎(+g‘𝑍)𝑏))
72		eqidd 2764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏))
73	4, 5, 6	znmul 21874	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (.r‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (.r‘𝑍))
74	3, 73	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (.r‘𝑍))
75	74	oveqdr 7468	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))) → (𝑎(.r‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))𝑏) = (𝑎(.r‘𝑍)𝑏))
76		eqidd 2764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏))
77	67, 68, 8, 68, 71, 72, 75, 76	rhmpropd 20888	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) RingHom 𝑅) = (𝑍 RingHom 𝑅))
78	66, 77	eleqtrd 2866	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {csn 4588  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℕcn 12359  ℕ₀cn0 12630  ℤcz 12717   ∥ cdvds 16448  Basecbs 17413  +_gcplusg 17454  ._rcmulr 17455  0_gc0g 17636   /_s cqus 17703   ~_QG cqg 19358  Ringcrg 20486  CRingccrg 20487   RingHom crh 20726  LIdealclidl 21511  RSpancrsp 21512  ℤ_ringczring 21779  ℤRHomczrh 21832  chrcchr 21834  ℤ/nℤczn 21835

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303  ax-mulf 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-tpos 8268  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-ec 8744  df-qs 8748  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-inf 9459  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-rp 13145  df-fz 13664  df-fl 13956  df-mod 14034  df-seq 14169  df-exp 14229  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-dvds 16449  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-0g 17638  df-imas 17706  df-qus 17707  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-nsg 19360  df-eqg 19361  df-ghm 19454  df-od 19769  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-cring 20489  df-oppr 20594  df-rhm 20729  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-lsp 21274  df-sra 21475  df-rgmod 21476  df-lidl 21513  df-rsp 21514  df-2idl 21570  df-cnfld 21706  df-zring 21780  df-zrh 21836  df-chr 21838  df-zn 21839

This theorem is used by:  aks5lem1  43427  aks5lem2  43428  aks5lem3a  43430