Theorem zndvdchrrhm 41955

Description: Construction of a ring homomorphism from ℤ/nℤ to 𝑅 when the characteristic of 𝑅 divides 𝑁. (Contributed by metakunt, 4-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
zndvdchrrhm.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
zndvdchrrhm.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
zndvdchrrhm.3	⊢ (𝜑 → (chr‘𝑅) ∈ ℤ)
zndvdchrrhm.4	⊢ (𝜑 → (chr‘𝑅) ∥ 𝑁)
zndvdchrrhm.5	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
zndvdchrrhm.6	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
zndvdchrrhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem zndvdchrrhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zndvdchrrhm.6	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥))
2		zndvdchrrhm.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3	2	nnnn0d 12445	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘ℤring) = (RSpan‘ℤring)
5		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
6		zndvdchrrhm.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
7	4, 5, 6	znbas2 21446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (Base‘𝑍))
8	3, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (Base‘𝑍))
9	8	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑍) = (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))
10	9	mpteq1d 5182	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)))
11	1, 10	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)))
12		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13		zndvdchrrhm.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
15	14	zrhrhm 21418	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
16	13, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
17		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}) = (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)})
18		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)
19		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑦)
20		imaeq2 6007	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥) = ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑦))
21	20	unieqd 4871	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥) = ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑦))
22	18, 19, 21	cbvmpt 5194	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)) = (𝑦 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑦))
23		zringcrng 21355	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ CRing
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ CRing)
25		zringring 21356	. . . . . 6 ⊢ ℤring ∈ Ring
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
27		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
28	27, 12	kerlidl 21185	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
29	16, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
30		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 ∈ {𝑁})
31		elsng 4591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑁} → (𝑎 ∈ {𝑁} ↔ 𝑎 = 𝑁))
32	30, 31	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → (𝑎 ∈ {𝑁} → 𝑎 = 𝑁))
33	32	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 = 𝑁)
34	30, 33	mpdan 687	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 = 𝑁)
35		zringbas 21360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
36		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
37	35, 36	rhmf 20370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
38	15, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
39	13, 38	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
40	39	ffnd 6653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅) Fn ℤ)
41	2	nnzd 12498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
42		zndvdchrrhm.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝑅) ∥ 𝑁)
43		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
44	43, 14, 12	chrdvds 21433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑁 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g‘𝑅)))
45	13, 41, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑁 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g‘𝑅)))
46	42, 45	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g‘𝑅))
47		fvexd 6837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ V)
48		elsng 4591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ V → (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g‘𝑅)))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g‘𝑅)))
50	46, 49	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ {(0g‘𝑅)})
51	40, 41, 50	elpreimad 6993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
52	51	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑁 ∈ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
53	34, 52	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 ∈ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
54	53	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ {𝑁} → 𝑎 ∈ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)})))
55	54	ssrdv 3941	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑁} ⊆ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
56	4, 27	rspssp 21146	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}) ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ {𝑁} ⊆ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)})) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
57	26, 29, 55, 56	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
58	24	crngringd 20131	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
59	41	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑁 ∈ ℤ)
60	34, 59	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 ∈ ℤ)
61	60	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ {𝑁} → 𝑎 ∈ ℤ))
62	61	ssrdv 3941	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑁} ⊆ ℤ)
63	4, 35, 27	rspcl 21142	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ {𝑁} ⊆ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
64	58, 62, 63	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
65	12, 16, 17, 5, 22, 24, 57, 64	rhmqusnsg 21192	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)) ∈ ((ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) RingHom 𝑅))
66	11, 65	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) RingHom 𝑅))
67		eqidd 2730	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))
68		eqidd 2730	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
69	4, 5, 6	znadd 21447	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (+g‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (+g‘𝑍))
70	3, 69	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (+g‘𝑍))
71	70	oveqdr 7377	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))) → (𝑎(+g‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))𝑏) = (𝑎(+g‘𝑍)𝑏))
72		eqidd 2730	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏))
73	4, 5, 6	znmul 21448	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (.r‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (.r‘𝑍))
74	3, 73	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (.r‘𝑍))
75	74	oveqdr 7377	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))) → (𝑎(.r‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))𝑏) = (𝑎(.r‘𝑍)𝑏))
76		eqidd 2730	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏))
77	67, 68, 8, 68, 71, 72, 75, 76	rhmpropd 20494	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) RingHom 𝑅) = (𝑍 RingHom 𝑅))
78	66, 77	eleqtrd 2830	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  {csn 4577  ∪ cuni 4858   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℕcn 12128  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471   ∥ cdvds 16163  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  ._rcmulr 17162  0_gc0g 17343   /_s cqus 17409   ~_QG cqg 19001  Ringcrg 20118  CRingccrg 20119   RingHom crh 20354  LIdealclidl 21113  RSpancrsp 21114  ℤ_ringczring 21353  ℤRHomczrh 21406  chrcchr 21408  ℤ/nℤczn 21409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-ec 8627  df-qs 8631  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-0g 17345  df-imas 17412  df-qus 17413  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-nsg 19003  df-eqg 19004  df-ghm 19092  df-od 19407  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-rhm 20357  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-lidl 21115  df-rsp 21116  df-2idl 21157  df-cnfld 21262  df-zring 21354  df-zrh 21410  df-chr 21412  df-zn 21413

This theorem is referenced by:  aks5lem1  42169  aks5lem2  42170  aks5lem3a  42172