Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zndvdchrrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zndvdchrrhm 41972
Description: Construction of a ring homomorphism from ℤ/n to 𝑅 when the characteristic of 𝑅 divides 𝑁. (Contributed by metakunt, 4-Jun-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
zndvdchrrhm.1 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
zndvdchrrhm.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
zndvdchrrhm.3 (𝜑 → (chr‘𝑅) ∈ ℤ)
zndvdchrrhm.4 (𝜑 → (chr‘𝑅) ∥ 𝑁)
zndvdchrrhm.5 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
zndvdchrrhm.6 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ↦ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥))
Assertion
Ref Expression
zndvdchrrhm (𝜑𝐹 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem zndvdchrrhm
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zndvdchrrhm.6 . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ↦ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥))
2 zndvdchrrhm.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
32nnnn0d 12587 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
4 eqid 2737 . . . . . . . 8 (RSpan‘ℤring) = (RSpan‘ℤring)
5 eqid 2737 . . . . . . . 8 (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
6 zndvdchrrhm.5 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
74, 5, 6znbas2 21555 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (Base‘𝑍))
83, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (Base‘𝑍))
98eqcomd 2743 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑍) = (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))
109mpteq1d 5237 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ↦ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)))
111, 10eqtrid 2789 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)))
12 eqid 2737 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
13 zndvdchrrhm.1 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
14 eqid 2737 . . . . . 6 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
1514zrhrhm 21522 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
1613, 15syl 17 . . . 4 (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
17 eqid 2737 . . . 4 ((ℤRHom‘𝑅) “ {(0g𝑅)}) = ((ℤRHom‘𝑅) “ {(0g𝑅)})
18 nfcv 2905 . . . . 5 𝑦 ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)
19 nfcv 2905 . . . . 5 𝑥 ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑦)
20 imaeq2 6074 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥) = ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑦))
2120unieqd 4920 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥) = ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑦))
2218, 19, 21cbvmpt 5253 . . . 4 (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)) = (𝑦 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑦))
23 zringcrng 21459 . . . . 5 ring ∈ CRing
2423a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℤring ∈ CRing)
25 zringring 21460 . . . . . 6 ring ∈ Ring
2625a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
27 eqid 2737 . . . . . . 7 (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
2827, 12kerlidl 21288 . . . . . 6 ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → ((ℤRHom‘𝑅) “ {(0g𝑅)}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
2916, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) “ {(0g𝑅)}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
30 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 ∈ {𝑁})
31 elsng 4640 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ {𝑁} → (𝑎 ∈ {𝑁} ↔ 𝑎 = 𝑁))
3230, 31syl5ibcom 245 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ {𝑁}) → (𝑎 ∈ {𝑁} → 𝑎 = 𝑁))
3332imp 406 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ {𝑁}) ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 = 𝑁)
3430, 33mpdan 687 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 = 𝑁)
35 zringbas 21464 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ = (Base‘ℤring)
36 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3735, 36rhmf 20485 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
3815, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
3913, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
4039ffnd 6737 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅) Fn ℤ)
412nnzd 12640 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
42 zndvdchrrhm.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (chr‘𝑅) ∥ 𝑁)
43 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
4443, 14, 12chrdvds 21541 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑁 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g𝑅)))
4513, 41, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑁 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g𝑅)))
4642, 45mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g𝑅))
47 fvexd 6921 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ V)
48 elsng 4640 . . . . . . . . . . . 12 (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ V → (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ {(0g𝑅)} ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g𝑅)))
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ {(0g𝑅)} ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g𝑅)))
5046, 49mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ {(0g𝑅)})
5140, 41, 50elpreimad 7079 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ((ℤRHom‘𝑅) “ {(0g𝑅)}))
5251adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑁 ∈ ((ℤRHom‘𝑅) “ {(0g𝑅)}))
5334, 52eqeltrd 2841 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 ∈ ((ℤRHom‘𝑅) “ {(0g𝑅)}))
5453ex 412 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑎 ∈ {𝑁} → 𝑎 ∈ ((ℤRHom‘𝑅) “ {(0g𝑅)})))
5554ssrdv 3989 . . . . 5 (𝜑 → {𝑁} ⊆ ((ℤRHom‘𝑅) “ {(0g𝑅)}))
564, 27rspssp 21249 . . . . 5 ((ℤring ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝑅) “ {(0g𝑅)}) ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ {𝑁} ⊆ ((ℤRHom‘𝑅) “ {(0g𝑅)})) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ ((ℤRHom‘𝑅) “ {(0g𝑅)}))
5726, 29, 55, 56syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ ((ℤRHom‘𝑅) “ {(0g𝑅)}))
5824crngringd 20243 . . . . 5 (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
5941adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑁 ∈ ℤ)
6034, 59eqeltrd 2841 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 ∈ ℤ)
6160ex 412 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑎 ∈ {𝑁} → 𝑎 ∈ ℤ))
6261ssrdv 3989 . . . . 5 (𝜑 → {𝑁} ⊆ ℤ)
634, 35, 27rspcl 21245 . . . . 5 ((ℤring ∈ Ring ∧ {𝑁} ⊆ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
6458, 62, 63syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
6512, 16, 17, 5, 22, 24, 57, 64rhmqusnsg 21295 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)) ∈ ((ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) RingHom 𝑅))
6611, 65eqeltrd 2841 . 2 (𝜑𝐹 ∈ ((ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) RingHom 𝑅))
67 eqidd 2738 . . 3 (𝜑 → (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))
68 eqidd 2738 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
694, 5, 6znadd 21557 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (+g‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (+g𝑍))
703, 69syl 17 . . . 4 (𝜑 → (+g‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (+g𝑍))
7170oveqdr 7459 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))) → (𝑎(+g‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))𝑏) = (𝑎(+g𝑍)𝑏))
72 eqidd 2738 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) = (𝑎(+g𝑅)𝑏))
734, 5, 6znmul 21559 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (.r‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (.r𝑍))
743, 73syl 17 . . . 4 (𝜑 → (.r‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (.r𝑍))
7574oveqdr 7459 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))) → (𝑎(.r‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))𝑏) = (𝑎(.r𝑍)𝑏))
76 eqidd 2738 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑎(.r𝑅)𝑏) = (𝑎(.r𝑅)𝑏))
7767, 68, 8, 68, 71, 72, 75, 76rhmpropd 20609 . 2 (𝜑 → ((ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) RingHom 𝑅) = (𝑍 RingHom 𝑅))
7866, 77eleqtrd 2843 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  wss 3951  {csn 4626   cuni 4907   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ccnv 5684  cima 5688  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  cdvds 16290  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  0gc0g 17484   /s cqus 17550   ~QG cqg 19140  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231   RingHom crh 20469  LIdealclidl 21216  RSpancrsp 21217  ringczring 21457  ℤRHomczrh 21510  chrcchr 21512  ℤ/nczn 21513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-od 19546  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-2idl 21260  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-chr 21516  df-zn 21517
This theorem is referenced by:  aks5lem1  42187  aks5lem2  42188  aks5lem3a  42190
  Copyright terms: Public domain W3C validator