Theorem zndvdchrrhm 42937

Description: Construction of a ring homomorphism from ℤ/nℤ to 𝑅 when the characteristic of 𝑅 divides 𝑁. (Contributed by metakunt, 4-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
zndvdchrrhm.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
zndvdchrrhm.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
zndvdchrrhm.3	⊢ (𝜑 → (chr‘𝑅) ∈ ℤ)
zndvdchrrhm.4	⊢ (𝜑 → (chr‘𝑅) ∥ 𝑁)
zndvdchrrhm.5	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
zndvdchrrhm.6	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
zndvdchrrhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem zndvdchrrhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zndvdchrrhm.6	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥))
2		zndvdchrrhm.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3	2	nnnn0d 12622	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘ℤring) = (RSpan‘ℤring)
5		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
6		zndvdchrrhm.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
7	4, 5, 6	znbas2 21792	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (Base‘𝑍))
8	3, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (Base‘𝑍))
9	8	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑍) = (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))
10	9	mpteq1d 5195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)))
11	1, 10	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)))
12		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13		zndvdchrrhm.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
15	14	zrhrhm 21764	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
16	13, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
17		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}) = (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)})
18		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)
19		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑦)
20		imaeq2 6047	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥) = ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑦))
21	20	unieqd 4880	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥) = ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑦))
22	18, 19, 21	cbvmpt 5207	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)) = (𝑦 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑦))
23		zringcrng 21701	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ CRing
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ CRing)
25		zringring 21702	. . . . . 6 ⊢ ℤring ∈ Ring
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
27		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
28	27, 12	kerlidl 21519	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
29	16, 28	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
30		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 ∈ {𝑁})
31		elsng 4598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑁} → (𝑎 ∈ {𝑁} ↔ 𝑎 = 𝑁))
32	30, 31	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → (𝑎 ∈ {𝑁} → 𝑎 = 𝑁))
33	32	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 = 𝑁)
34	30, 33	mpdan 700	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 = 𝑁)
35		zringbas 21706	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
36		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
37	35, 36	rhmf 20662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
38	15, 37	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
39	13, 38	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
40	39	ffnd 6699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅) Fn ℤ)
41	2	nnzd 12674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
42		zndvdchrrhm.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝑅) ∥ 𝑁)
43		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
44	43, 14, 12	chrdvds 21779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑁 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g‘𝑅)))
45	13, 41, 44	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑁 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g‘𝑅)))
46	42, 45	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g‘𝑅))
47		fvexd 6889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ V)
48		elsng 4598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ V → (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g‘𝑅)))
49	47, 48	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) = (0g‘𝑅)))
50	46, 49	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑁) ∈ {(0g‘𝑅)})
51	40, 41, 50	elpreimad 7047	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
52	51	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑁 ∈ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
53	34, 52	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 ∈ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
54	53	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ {𝑁} → 𝑎 ∈ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)})))
55	54	ssrdv 3937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑁} ⊆ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
56	4, 27	rspssp 21469	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}) ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ {𝑁} ⊆ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)})) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
57	26, 29, 55, 56	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ (◡(ℤRHom‘𝑅) “ {(0g‘𝑅)}))
58	24	crngringd 20420	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
59	41	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑁 ∈ ℤ)
60	34, 59	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ {𝑁}) → 𝑎 ∈ ℤ)
61	60	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ {𝑁} → 𝑎 ∈ ℤ))
62	61	ssrdv 3937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑁} ⊆ ℤ)
63	4, 35, 27	rspcl 21465	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ {𝑁} ⊆ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
64	58, 62, 63	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
65	12, 16, 17, 5, 22, 24, 57, 64	rhmqusnsg 21528	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝑅) “ 𝑥)) ∈ ((ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) RingHom 𝑅))
66	11, 65	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) RingHom 𝑅))
67		eqidd 2761	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))
68		eqidd 2761	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
69	4, 5, 6	znadd 21793	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (+g‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (+g‘𝑍))
70	3, 69	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (+g‘𝑍))
71	70	oveqdr 7437	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))) → (𝑎(+g‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))𝑏) = (𝑎(+g‘𝑍)𝑏))
72		eqidd 2761	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏))
73	4, 5, 6	znmul 21794	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (.r‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (.r‘𝑍))
74	3, 73	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (.r‘𝑍))
75	74	oveqdr 7437	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))) → (𝑎(.r‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))𝑏) = (𝑎(.r‘𝑍)𝑏))
76		eqidd 2761	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏))
77	67, 68, 8, 68, 71, 72, 75, 76	rhmpropd 20808	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) RingHom 𝑅) = (𝑍 RingHom 𝑅))
78	66, 77	eleqtrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑍 RingHom 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5647   “ cima 5651  ⟶wf 6524  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ℕcn 12290  ℕ₀cn0 12561  ℤcz 12648   ∥ cdvds 16375  Basecbs 17334  +_gcplusg 17375  ._rcmulr 17376  0_gc0g 17557   /_s cqus 17624   ~_QG cqg 19279  Ringcrg 20406  CRingccrg 20407   RingHom crh 20646  LIdealclidl 21431  RSpancrsp 21432  ℤ_ringczring 21699  ℤRHomczrh 21752  chrcchr 21754  ℤ/nℤczn 21755

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235  ax-addf 11236  ax-mulf 11237

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-rp 13076  df-fz 13595  df-fl 13886  df-mod 13964  df-seq 14099  df-exp 14159  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-dvds 16376  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-starv 17390  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-unif 17398  df-0g 17559  df-imas 17627  df-qus 17628  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-mhm 18925  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-sbg 19096  df-mulg 19225  df-subg 19280  df-nsg 19281  df-eqg 19282  df-ghm 19375  df-od 19689  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-rng 20322  df-ur 20355  df-ring 20408  df-cring 20409  df-oppr 20514  df-rhm 20649  df-subrng 20745  df-subrg 20769  df-lmod 21084  df-lss 21154  df-lsp 21194  df-sra 21395  df-rgmod 21396  df-lidl 21433  df-rsp 21434  df-2idl 21490  df-cnfld 21626  df-zring 21700  df-zrh 21756  df-chr 21758  df-zn 21759

This theorem is used by:  aks5lem1  43150  aks5lem2  43151  aks5lem3a  43153