Theorem volicofmpt 47280

Description: ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) expressed in maps-to notation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
volicofmpt.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
volicofmpt.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ*))

Assertion

Ref	Expression
volicofmpt	⊢ (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (vol‘((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem volicofmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2926	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2926	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(vol ∘ [,))
3		volicofmpt.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
4	2, 3	nfco 5854	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)
5		volicofmpt.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ*))
6	5	volicoff 47278	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))
7	1, 4, 6	feqmptdf 6986	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)‘𝑥)))
8		ressxr 11392	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
9		xpss1 5677	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ⊆ ℝ* → (ℝ × ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ × ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
12	5, 11	fssd 6757	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(ℝ* × ℝ*))
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶(ℝ* × ℝ*))
14		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
15	13, 14	fvvolicof 47274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)‘𝑥) = (vol‘((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥)))))
16	15	mpteq2dva 5204	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (vol‘((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥))))))
17	7, 16	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (vol‘((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Ⅎwnfc 2911   ⊆ wss 3900   ↦ cmpt 5192   × cxp 5656   ∘ ccom 5662  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  1^st c1st 8033  2^nd c2nd 8034  ℝcr 11238  0cc0 11239  +∞cpnf 11379  ℝ^*cxr 11381  [,)cico 13518  [,]cicc 13519  volcvol 25839

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xadd 13282  df-ioo 13520  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-xmet 21722  df-met 21723  df-ovol 25840  df-vol 25841

This theorem is used by:  ovolval5lem2  47936  ovnovollem1  47939  ovnovollem2  47940