Theorem volicofmpt 43926

Description: ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) expressed in maps-to notation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
volicofmpt.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
volicofmpt.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ*))

Assertion

Ref	Expression
volicofmpt	⊢ (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (vol‘((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem volicofmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2905	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2905	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(vol ∘ [,))
3		volicofmpt.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
4	2, 3	nfco 5811	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)
5		volicofmpt.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ*))
6	5	volicoff 43924	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))
7	1, 4, 6	feqmptdf 6899	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)‘𝑥)))
8		ressxr 11124	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
9		xpss1 5643	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ⊆ ℝ* → (ℝ × ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ × ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
12	5, 11	fssd 6673	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(ℝ* × ℝ*))
13	12	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶(ℝ* × ℝ*))
14		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
15	13, 14	fvvolicof 43920	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)‘𝑥) = (vol‘((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥)))))
16	15	mpteq2dva 5196	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (vol‘((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥))))))
17	7, 16	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (vol‘((1st ‘(𝐹‘𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹‘𝑥))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2885   ⊆ wss 3901   ↦ cmpt 5179   × cxp 5622   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6479  ‘cfv 6483  (class class class)co 7341  1^st c1st 7901  2^nd c2nd 7902  ℝcr 10975  0cc0 10976  +∞cpnf 11111  ℝ^*cxr 11113  [,)cico 13186  [,]cicc 13187  volcvol 24732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-inf2 9502  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053  ax-pre-sup 11054

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-int 4899  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-isom 6492  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7599  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-2o 8372  df-er 8573  df-map 8692  df-pm 8693  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-sup 9303  df-inf 9304  df-oi 9371  df-dju 9762  df-card 9800  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-div 11738  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-n0 12339  df-z 12425  df-uz 12688  df-q 12794  df-rp 12836  df-xadd 12954  df-ioo 13188  df-ico 13190  df-icc 13191  df-fz 13345  df-fzo 13488  df-fl 13617  df-seq 13827  df-exp 13888  df-hash 14150  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-rlim 15297  df-sum 15497  df-xmet 20695  df-met 20696  df-ovol 24733  df-vol 24734

This theorem is referenced by:  ovolval5lem2  44580  ovnovollem1  44583  ovnovollem2  44584