Theorem zringring 21580

Description: The ring of integers is a ring. (Contributed by AV, 20-May-2019.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 13-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringring	⊢ ℤring ∈ Ring

Proof of Theorem zringring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringcrng 21579	. 2 ⊢ ℤring ∈ CRing
2		crngring 20328	. 2 ⊢ (ℤring ∈ CRing → ℤring ∈ Ring)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ ℤring ∈ Ring

Syntax hints:   ∈ wcel 2143  Ringcrg 20316  CRingccrg 20317  ℤ_ringczring 21577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-subg 19190  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-cring 20319  df-subrng 20632  df-subrg 20656  df-cnfld 21504  df-zring 21578

This theorem is referenced by:  zringrng  21581  zringabl  21582  zringgrp  21583  zringnzr  21591  zringlpirlem1  21593  zringlpirlem3  21595  zringlpir  21598  prmirredlem  21603  prmirred  21605  mulgrhm  21608  irinitoringc  21610  nzerooringczr  21611  pzriprnglem2  21613  pzriprnglem4  21615  pzriprnglem5  21616  pzriprnglem6  21617  pzriprnglem8  21619  pzriprnglem10  21621  pzriprnglem12  21623  pzriprng1ALT  21627  pzriprng  21628  pzriprng1  21629  zlmsca  21651  zlmlmod  21653  znlidl  21664  znval  21666  znbas  21674  znzrh2  21676  znzrhfo  21678  zndvds  21680  zclmncvs  25288  gsummulgc2  33364  elrgspnlem1  33540  zndvdchrrhm  42718  aks6d1c6isolem2  42920  aks6d1c6isolem3  42921  mzpmfp  43458  2zrng  48983  zlmodzxzlmod  49111  zlmodzxzel  49112  zlmodzxz0  49113  zlmodzxzadd  49115