Theorem zringring 21735

Description: The ring of integers is a ring. (Contributed by AV, 20-May-2019.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 13-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringring	⊢ ℤring ∈ Ring

Proof of Theorem zringring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringcrng 21734	. 2 ⊢ ℤring ∈ CRing
2		crngring 20452	. 2 ⊢ (ℤring ∈ CRing → ℤring ∈ Ring)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ ℤring ∈ Ring

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  Ringcrg 20439  CRingccrg 20440  ℤ_ringczring 21732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-subg 19313  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-cring 20442  df-subrng 20778  df-subrg 20802  df-cnfld 21659  df-zring 21733

This theorem is used by:  zringrng  21736  zringabl  21737  zringgrp  21738  zringnzr  21746  zringlpirlem1  21748  zringlpirlem3  21750  zringlpir  21753  prmirredlem  21758  prmirred  21760  mulgrhm  21763  irinitoringc  21765  nzerooringczr  21766  pzriprnglem2  21768  pzriprnglem4  21770  pzriprnglem5  21771  pzriprnglem6  21772  pzriprnglem8  21774  pzriprnglem10  21776  pzriprnglem12  21778  pzriprng1ALT  21782  pzriprng  21783  pzriprng1  21784  zlmsca  21806  zlmlmod  21808  znlidl  21819  znval  21821  znbas  21829  znzrh2  21831  znzrhfo  21833  zndvds  21835  zclmncvs  25449  gsummulgc2  33609  elrgspnlem1  33785  zndvdchrrhm  42991  aks6d1c6isolem2  43193  aks6d1c6isolem3  43194  mzpmfp  43711  2zrng  49282  zlmodzxzlmod  49410  zlmodzxzel  49411  zlmodzxz0  49412  zlmodzxzadd  49414