Theorem coscld 16040

Description: Closure of the cosine function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
sincld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
coscld	⊢ (𝜑 → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem coscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sincld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		coscl 16036	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  ℂcc 11004  cosccos 15971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-ico 13251  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-cos 15977

This theorem is referenced by:  tanadd  16076  addsin  16079  sincossq  16085  pilem2  26390  ptolemy  26433  efif1olem4  26482  ssscongptld  26760  chordthmlem  26770  heron  26776  cos2h  37657  tan2h  37658  dvtan  37716  sinmulcos  45909  dvsinax  45957  dvasinbx  45964  itgsin0pilem1  45994  itgsinexplem1  45998  itgcoscmulx  46013  itgsincmulx  46018  dirkertrigeqlem1  46142  dirkertrigeqlem2  46143  dirkertrigeqlem3  46144  dirkeritg  46146  dirkercncflem2  46148  fourierdlem39  46190  fourierdlem56  46206  fourierdlem57  46207  fourierdlem58  46208  fourierdlem62  46212  fourierdlem68  46218  fourierdlem73  46223  fouriersw  46275