MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coscld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coscld 15474
Description: Closure of the cosine function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
sincld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
coscld (𝜑 → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem coscld
StepHypRef Expression
1 sincld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 coscl 15470 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  cfv 6352  cc 10524  cosccos 15408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-pm 8399  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-ico 12734  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-hash 13681  df-shft 14416  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-limsup 14818  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-ef 15411  df-cos 15414
This theorem is referenced by:  tanadd  15510  addsin  15513  sincossq  15519  pilem2  24955  ptolemy  24997  efif1olem4  25042  ssscongptld  25313  chordthmlem  25323  heron  25329  cos2h  34750  tan2h  34751  dvtan  34809  sinmulcos  42011  dvsinax  42062  dvasinbx  42070  itgsin0pilem1  42100  itgsinexplem1  42104  itgcoscmulx  42119  itgsincmulx  42124  dirkertrigeqlem1  42249  dirkertrigeqlem2  42250  dirkertrigeqlem3  42251  dirkeritg  42253  dirkercncflem2  42255  fourierdlem39  42297  fourierdlem56  42313  fourierdlem57  42314  fourierdlem58  42315  fourierdlem62  42319  fourierdlem68  42325  fourierdlem73  42330  fouriersw  42382
  Copyright terms: Public domain W3C validator