Theorem angmgm0g 29276

Description: The identity element of the angle addition magma. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
angmgmval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
angmgmval.a	⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
angmgmval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
angmgmval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
angmgmval.c	⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
angmgmval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
angmgmval.o	⊢ + = (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))
angmgmval.j	⊢ 𝐽 = (AngMgm‘𝐺)
angmgmlem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
angmgmlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
angmgmlem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))

Assertion

Ref	Expression
angmgm0g	⊢ (𝜑 → [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩] ∼ = (0g‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑒,𝑓,𝑠   𝑒,𝐺,𝑓,𝑠   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   + ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   − ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   ∼ ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝐴,𝑑   𝐺,𝑑   𝐼,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝑒,𝐽,𝑓   𝐿,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝑋,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝑌,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠   𝜑,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑠, 𝑑)

Proof of Theorem angmgm0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		angmgmval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		angmgmval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
3		angmgmval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		angmgmval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		angmgmval.c	. . 3 ⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
6		angmgmval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		angmgmval.o	. . 3 ⊢ + = (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1) − 𝑠) = ((𝑒‘1) − (𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑠”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1) − 𝑠) = ((𝑓‘1) − (𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)𝐿(𝑒‘2)) ∩ (𝑠𝐼(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))
8		angmgmval.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (AngMgm‘𝐺)
9		angmgmlem.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		angmgmlem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
11		angmgmlem.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	angmgmlem 29275	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ Mgm ∧ [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩] ∼ = (0g‘𝐽)))
13	12	simprd 501	1 ⊢ (𝜑 → [⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩] ∼ = (0g‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  {crab 3414   ∖ cdif 3899   ∩ cin 3901  ∅c0 4282  ifcif 4485  {csn 4587   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  ℩crio 7372  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  [cec 8697   ↑_m cmap 8829  0cc0 11127  1c1 11128  2c2 12322  3c3 12323  ..^cfzo 13711  ⟨“cs3 14915  Basecbs 17305  distcds 17355  0_gc0g 17528  Mgmcmgm 18732  TarskiGcstrkg 28769  Itvcitv 28775  LineGclng 28776  cgrAccgra 29194  AngMgmcangmgm 29253

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-hash 14397  df-word 14581  df-concat 14638  df-s1 14665  df-s2 14921  df-s3 14922  df-struct 17243  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-0g 17530  df-imas 17598  df-qus 17599  df-mgm 18734  df-trkgc 28790  df-trkgb 28791  df-trkgcb 28792  df-trkgld 28794  df-trkg 28795  df-cgrg 28854  df-ismt 28876  df-leg 28926  df-hlg 28944  df-mir 29005  df-rag 29049  df-perpg 29051  df-hpg 29116  df-mid 29159  df-lmi 29160  df-cgra 29195  df-angmgm 29254

This theorem is used by: (None)