Proof of Theorem brifs2
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | brifs 34082 |
. 2
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (〈〈𝐴, 𝐵〉, 〈𝐶, 𝐷〉〉 InnerFiveSeg 〈〈𝐸, 𝐹〉, 〈𝐺, 𝐻〉〉 ↔ ((𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉)))) |
2 | | simpr1l 1232 |
. . . 4
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉))) → 𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉) |
3 | | 3simpa 1150 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉)) → ((𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉))) |
4 | | simp11 1205 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ) |
5 | | simp12 1206 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
6 | | simp13 1207 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
7 | | simp21 1208 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
8 | | simp23 1210 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
9 | | simp31 1211 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
10 | | simp32 1212 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
11 | | cgrsub 34084 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉)) → 〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐸, 𝐹〉)) |
12 | 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 | syl133anc 1395 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉)) → 〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐸, 𝐹〉)) |
13 | 3, 12 | syl5 34 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉)) → 〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐸, 𝐹〉)) |
14 | 13 | imp 410 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉))) → 〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐸, 𝐹〉) |
15 | | simpr2l 1234 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉))) → 〈𝐴, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐺〉) |
16 | | simpr2r 1235 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉))) → 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉) |
17 | 14, 15, 16 | 3jca 1130 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉))) → (〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐸, 𝐹〉 ∧ 〈𝐴, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉)) |
18 | 17 | ex 416 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉)) → (〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐸, 𝐹〉 ∧ 〈𝐴, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉))) |
19 | | brcgr3 34085 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (〈𝐴, 〈𝐵, 𝐶〉〉Cgr3〈𝐸, 〈𝐹, 𝐺〉〉 ↔ (〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐸, 𝐹〉 ∧ 〈𝐴, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉))) |
20 | 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 19 | syl133anc 1395 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (〈𝐴, 〈𝐵, 𝐶〉〉Cgr3〈𝐸, 〈𝐹, 𝐺〉〉 ↔ (〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐸, 𝐹〉 ∧ 〈𝐴, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉))) |
21 | 18, 20 | sylibrd 262 |
. . . . 5
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉)) → 〈𝐴, 〈𝐵, 𝐶〉〉Cgr3〈𝐸, 〈𝐹, 𝐺〉〉)) |
22 | 21 | imp 410 |
. . . 4
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉))) → 〈𝐴, 〈𝐵, 𝐶〉〉Cgr3〈𝐸, 〈𝐹, 𝐺〉〉) |
23 | | simpr3 1198 |
. . . 4
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉))) → (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉)) |
24 | 2, 22, 23 | 3jca 1130 |
. . 3
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉))) → (𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 〈𝐴, 〈𝐵, 𝐶〉〉Cgr3〈𝐸, 〈𝐹, 𝐺〉〉 ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉))) |
25 | | simpr1 1196 |
. . . . 5
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 〈𝐴, 〈𝐵, 𝐶〉〉Cgr3〈𝐸, 〈𝐹, 𝐺〉〉 ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉))) → 𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉) |
26 | | 3simpa 1150 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 〈𝐴, 〈𝐵, 𝐶〉〉Cgr3〈𝐸, 〈𝐹, 𝐺〉〉 ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉)) → (𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 〈𝐴, 〈𝐵, 𝐶〉〉Cgr3〈𝐸, 〈𝐹, 𝐺〉〉)) |
27 | | btwnxfr 34095 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 〈𝐴, 〈𝐵, 𝐶〉〉Cgr3〈𝐸, 〈𝐹, 𝐺〉〉) → 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉)) |
28 | 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 27 | syl133anc 1395 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 〈𝐴, 〈𝐵, 𝐶〉〉Cgr3〈𝐸, 〈𝐹, 𝐺〉〉) → 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉)) |
29 | 26, 28 | syl5 34 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 〈𝐴, 〈𝐵, 𝐶〉〉Cgr3〈𝐸, 〈𝐹, 𝐺〉〉 ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉)) → 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉)) |
30 | 29 | imp 410 |
. . . . 5
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 〈𝐴, 〈𝐵, 𝐶〉〉Cgr3〈𝐸, 〈𝐹, 𝐺〉〉 ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉))) → 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉) |
31 | 25, 30 | jca 515 |
. . . 4
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 〈𝐴, 〈𝐵, 𝐶〉〉Cgr3〈𝐸, 〈𝐹, 𝐺〉〉 ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉))) → (𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉)) |
32 | | 3simpc 1152 |
. . . . . . 7
⊢
((〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐸, 𝐹〉 ∧ 〈𝐴, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉) → (〈𝐴, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉)) |
33 | 20, 32 | syl6bi 256 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (〈𝐴, 〈𝐵, 𝐶〉〉Cgr3〈𝐸, 〈𝐹, 𝐺〉〉 → (〈𝐴, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉))) |
34 | 33 | imp 410 |
. . . . 5
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 〈𝐴, 〈𝐵, 𝐶〉〉Cgr3〈𝐸, 〈𝐹, 𝐺〉〉) → (〈𝐴, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉)) |
35 | 34 | 3ad2antr2 1191 |
. . . 4
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 〈𝐴, 〈𝐵, 𝐶〉〉Cgr3〈𝐸, 〈𝐹, 𝐺〉〉 ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉))) → (〈𝐴, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉)) |
36 | | simpr3 1198 |
. . . 4
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 〈𝐴, 〈𝐵, 𝐶〉〉Cgr3〈𝐸, 〈𝐹, 𝐺〉〉 ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉))) → (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉)) |
37 | 31, 35, 36 | 3jca 1130 |
. . 3
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 〈𝐴, 〈𝐵, 𝐶〉〉Cgr3〈𝐸, 〈𝐹, 𝐺〉〉 ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉))) → ((𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉))) |
38 | 24, 37 | impbida 801 |
. 2
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐶〉Cgr〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉)) ↔ (𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 〈𝐴, 〈𝐵, 𝐶〉〉Cgr3〈𝐸, 〈𝐹, 𝐺〉〉 ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉)))) |
39 | 1, 38 | bitrd 282 |
1
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (〈〈𝐴, 𝐵〉, 〈𝐶, 𝐷〉〉 InnerFiveSeg 〈〈𝐸, 𝐹〉, 〈𝐺, 𝐻〉〉 ↔ (𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 〈𝐴, 〈𝐵, 𝐶〉〉Cgr3〈𝐸, 〈𝐹, 𝐺〉〉 ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐶, 𝐷〉Cgr〈𝐺, 𝐻〉)))) |