Theorem dimlssid 34031

Description: If the dimension of a linear subspace 𝐿 is the dimension of the whole vector space 𝐸, then 𝐿 is the whole space. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dimlssid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
dimlssid.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LVec)
dimlssid.1	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
dimlssid.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸))
dimlssid.2	⊢ (𝜑 → (dim‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (dim‘𝐸))

Assertion

Ref	Expression
dimlssid	⊢ (𝜑 → 𝐿 = 𝐵)

Proof of Theorem dimlssid

Dummy variables 𝑠 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dimlssid.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LVec)
2		dimlssid.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸))
3		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐿) = (𝐸 ↾s 𝐿)
4		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝐸) = (LSubSp‘𝐸)
5	3, 4	lsslvec 21241	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸)) → (𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LVec)
6	1, 2, 5	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LVec)
7		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))
8	7	lbsex 21300	. . 3 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LVec → (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) ≠ ∅)
9	6, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) ≠ ∅)
10		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸))
11		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LBasis‘𝐸) = (LBasis‘𝐸)
12	11	dimval 34000	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) → (dim‘𝐸) = (♯‘𝑠))
13	1, 12	sylan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) → (dim‘𝐸) = (♯‘𝑠))
14	13	ad4ant13 763	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (dim‘𝐸) = (♯‘𝑠))
15		dimlssid.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
16	15	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
17	14, 16	eqeltrrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
18		hashclb 14401	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸) → (𝑠 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑠) ∈ ℕ0))
19	18	biimpar 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸) ∧ (♯‘𝑠) ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ Fin)
20	10, 17, 19	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑠 ∈ Fin)
21		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑡 ⊆ 𝑠)
22		dimlssid.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (dim‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (dim‘𝐸))
23	22	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (dim‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (dim‘𝐸))
24	6	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LVec)
25		simpllr 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
26	7	dimval 34000	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LVec ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → (dim‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (♯‘𝑡))
27	24, 25, 26	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (dim‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (♯‘𝑡))
28	23, 27, 14	3eqtr3d 2805	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (♯‘𝑡) = (♯‘𝑠))
29	20, 21, 28	phphashrd 14511	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑡 = 𝑠)
30	29	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → ((LSpan‘𝐸)‘𝑡) = ((LSpan‘𝐸)‘𝑠))
31		dimlssid.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
32	31, 4	lssss 21068	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸) → 𝐿 ⊆ 𝐵)
33	3, 31	ressbas2 17304	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ⊆ 𝐵 → 𝐿 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
34	2, 32, 33	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
35	34	ad3antrrr 742	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝐿 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
36		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿))
37		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))
38	36, 7, 37	lbssp 21211	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘𝑡) = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
39	25, 38	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘𝑡) = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
40	1	lveclmodd 21239	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LMod)
41	40	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝐸 ∈ LMod)
42	2	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸))
43	36, 7	lbsss 21209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) → 𝑡 ⊆ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
44	25, 43	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑡 ⊆ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
45	44, 35	sseqtrrd 3973	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑡 ⊆ 𝐿)
46		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝐸) = (LSpan‘𝐸)
47	3, 46, 37, 4	lsslsp 21147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸) ∧ 𝑡 ⊆ 𝐿) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘𝑡) = ((LSpan‘𝐸)‘𝑡))
48	41, 42, 45, 47	syl3anc 1397	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘𝑡) = ((LSpan‘𝐸)‘𝑡))
49	35, 39, 48	3eqtr2rd 2804	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → ((LSpan‘𝐸)‘𝑡) = 𝐿)
50	31, 11, 46	lbssp 21211	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸) → ((LSpan‘𝐸)‘𝑠) = 𝐵)
51	10, 50	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → ((LSpan‘𝐸)‘𝑠) = 𝐵)
52	30, 49, 51	3eqtr3d 2805	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝐿 = 𝐵)
53	1	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝐸 ∈ LVec)
54	43	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝑡 ⊆ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
55	34	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝐿 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
56	54, 55	sseqtrrd 3973	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝑡 ⊆ 𝐿)
57	2, 32	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ 𝐵)
58	57	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝐿 ⊆ 𝐵)
59	56, 58	sstrd 3946	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝑡 ⊆ 𝐵)
60	6	lveclmodd 21239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LMod)
61	60	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → (𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LMod)
62		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Scalar‘𝐸) = (Scalar‘𝐸)
63	62	lvecdrng 21237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ LVec → (Scalar‘𝐸) ∈ DivRing)
64		drngnzr 20859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Scalar‘𝐸) ∈ DivRing → (Scalar‘𝐸) ∈ NzRing)
65	1, 63, 64	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐸) ∈ NzRing)
66		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐸)) = (1r‘(Scalar‘𝐸))
67		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐸)) = (0g‘(Scalar‘𝐸))
68	66, 67	nzrnz 20623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Scalar‘𝐸) ∈ NzRing → (1r‘(Scalar‘𝐸)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐸)))
69	65, 68	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐸)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐸)))
70	3, 62	resssca 17402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸) → (Scalar‘𝐸) = (Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
71	2, 70	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐸) = (Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
72	71	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐸)) = (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))))
73	71	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐸)) = (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))))
74	69, 72, 73	3netr3d 3033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ≠ (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))))
75	74	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ≠ (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))))
76		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
77		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → 𝑢 ∈ 𝑡)
78		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))
79		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))) = (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
80		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))) = (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
81	7, 37, 78, 79, 80	lbsind2 21213	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ≠ (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)))) ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
82	61, 75, 76, 77, 81	syl211anc 1402	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
83	40	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → 𝐸 ∈ LMod)
84	2	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸))
85	56	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → 𝑡 ⊆ 𝐿)
86	85	ssdifssd 4100	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → (𝑡 ∖ {𝑢}) ⊆ 𝐿)
87	3, 46, 37, 4	lsslsp 21147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸) ∧ (𝑡 ∖ {𝑢}) ⊆ 𝐿) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘(𝑡 ∖ {𝑢})) = ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
88	83, 84, 86, 87	syl3anc 1397	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘(𝑡 ∖ {𝑢})) = ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
89	82, 88	neleqtrd 2884	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
90	89	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → ∀𝑢 ∈ 𝑡 ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
91	11, 31, 46	lbsext 21298	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ 𝑡 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑡 ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢}))) → ∃𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)𝑡 ⊆ 𝑠)
92	53, 59, 90, 91	syl3anc 1397	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → ∃𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)𝑡 ⊆ 𝑠)
93	52, 92	r19.29a 3172	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝐿 = 𝐵)
94	9, 93	n0limd 4307	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4588  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Fincfn 8941  ℕ₀cn0 12510  ♯chash 14373  Basecbs 17275   ↾_s cress 17296  Scalarcsca 17319  0_gc0g 17498  1_rcur 20269  NzRingcnzr 20620  DivRingcdr 20838  LModclmod 20992  LSubSpclss 21063  LSpanclspn 21103  LBasisclbs 21206  LVecclvec 21234  dimcldim 33998

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-reg 9552  ax-inf2 9608  ax-ac2 10453  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-rpss 7722  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-oadd 8455  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9470  df-r1 9734  df-rank 9735  df-scott 9856  df-dju 9894  df-card 9932  df-acn 9935  df-ac 10107  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-hash 14374  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ocomp 17337  df-0g 17500  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-mri 17646  df-acs 17647  df-proset 18356  df-drs 18357  df-poset 18375  df-ipo 18590  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-subg 19195  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-oppr 20426  df-dvdsr 20446  df-unit 20447  df-invr 20477  df-nzr 20621  df-drng 20840  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-lsp 21104  df-lbs 21207  df-lvec 21235  df-dim 33999

This theorem is used by:  lvecendof1f1o  34032