Theorem dimlssid 33672

Description: If the dimension of a linear subspace 𝐿 is the dimension of the whole vector space 𝐸, then 𝐿 is the whole space. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dimlssid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
dimlssid.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LVec)
dimlssid.1	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
dimlssid.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸))
dimlssid.2	⊢ (𝜑 → (dim‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (dim‘𝐸))

Assertion

Ref	Expression
dimlssid	⊢ (𝜑 → 𝐿 = 𝐵)

Proof of Theorem dimlssid

Dummy variables 𝑠 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dimlssid.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LVec)
2		dimlssid.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸))
3		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐿) = (𝐸 ↾s 𝐿)
4		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝐸) = (LSubSp‘𝐸)
5	3, 4	lsslvec 21067	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸)) → (𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LVec)
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LVec)
7		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))
8	7	lbsex 21126	. . 3 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LVec → (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) ≠ ∅)
9	6, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) ≠ ∅)
10		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸))
11		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LBasis‘𝐸) = (LBasis‘𝐸)
12	11	dimval 33640	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) → (dim‘𝐸) = (♯‘𝑠))
13	1, 12	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) → (dim‘𝐸) = (♯‘𝑠))
14	13	ad4ant13 751	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (dim‘𝐸) = (♯‘𝑠))
15		dimlssid.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
16	15	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
17	14, 16	eqeltrrd 2835	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
18		hashclb 14376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸) → (𝑠 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑠) ∈ ℕ0))
19	18	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸) ∧ (♯‘𝑠) ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ Fin)
20	10, 17, 19	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑠 ∈ Fin)
21		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑡 ⊆ 𝑠)
22		dimlssid.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (dim‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (dim‘𝐸))
23	22	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (dim‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (dim‘𝐸))
24	6	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LVec)
25		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
26	7	dimval 33640	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LVec ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → (dim‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (♯‘𝑡))
27	24, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (dim‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (♯‘𝑡))
28	23, 27, 14	3eqtr3d 2778	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (♯‘𝑡) = (♯‘𝑠))
29	20, 21, 28	phphashrd 14485	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑡 = 𝑠)
30	29	fveq2d 6880	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → ((LSpan‘𝐸)‘𝑡) = ((LSpan‘𝐸)‘𝑠))
31		dimlssid.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
32	31, 4	lssss 20893	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸) → 𝐿 ⊆ 𝐵)
33	3, 31	ressbas2 17259	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ⊆ 𝐵 → 𝐿 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
34	2, 32, 33	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
35	34	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝐿 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
36		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿))
37		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))
38	36, 7, 37	lbssp 21037	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘𝑡) = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
39	25, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘𝑡) = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
40	1	lveclmodd 21065	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LMod)
41	40	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝐸 ∈ LMod)
42	2	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸))
43	36, 7	lbsss 21035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) → 𝑡 ⊆ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
44	25, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑡 ⊆ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
45	44, 35	sseqtrrd 3996	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑡 ⊆ 𝐿)
46		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝐸) = (LSpan‘𝐸)
47	3, 46, 37, 4	lsslsp 20972	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸) ∧ 𝑡 ⊆ 𝐿) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘𝑡) = ((LSpan‘𝐸)‘𝑡))
48	41, 42, 45, 47	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘𝑡) = ((LSpan‘𝐸)‘𝑡))
49	35, 39, 48	3eqtr2rd 2777	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → ((LSpan‘𝐸)‘𝑡) = 𝐿)
50	31, 11, 46	lbssp 21037	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸) → ((LSpan‘𝐸)‘𝑠) = 𝐵)
51	10, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → ((LSpan‘𝐸)‘𝑠) = 𝐵)
52	30, 49, 51	3eqtr3d 2778	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝐿 = 𝐵)
53	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝐸 ∈ LVec)
54	43	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝑡 ⊆ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
55	34	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝐿 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
56	54, 55	sseqtrrd 3996	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝑡 ⊆ 𝐿)
57	2, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ 𝐵)
58	57	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝐿 ⊆ 𝐵)
59	56, 58	sstrd 3969	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝑡 ⊆ 𝐵)
60	6	lveclmodd 21065	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LMod)
61	60	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → (𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LMod)
62		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Scalar‘𝐸) = (Scalar‘𝐸)
63	62	lvecdrng 21063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ LVec → (Scalar‘𝐸) ∈ DivRing)
64		drngnzr 20708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Scalar‘𝐸) ∈ DivRing → (Scalar‘𝐸) ∈ NzRing)
65	1, 63, 64	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐸) ∈ NzRing)
66		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐸)) = (1r‘(Scalar‘𝐸))
67		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐸)) = (0g‘(Scalar‘𝐸))
68	66, 67	nzrnz 20475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Scalar‘𝐸) ∈ NzRing → (1r‘(Scalar‘𝐸)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐸)))
69	65, 68	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐸)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐸)))
70	3, 62	resssca 17357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸) → (Scalar‘𝐸) = (Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
71	2, 70	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐸) = (Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
72	71	fveq2d 6880	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐸)) = (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))))
73	71	fveq2d 6880	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐸)) = (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))))
74	69, 72, 73	3netr3d 3008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ≠ (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))))
75	74	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ≠ (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))))
76		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
77		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → 𝑢 ∈ 𝑡)
78		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))
79		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))) = (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
80		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))) = (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
81	7, 37, 78, 79, 80	lbsind2 21039	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ≠ (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)))) ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
82	61, 75, 76, 77, 81	syl211anc 1378	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
83	40	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → 𝐸 ∈ LMod)
84	2	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸))
85	56	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → 𝑡 ⊆ 𝐿)
86	85	ssdifssd 4122	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → (𝑡 ∖ {𝑢}) ⊆ 𝐿)
87	3, 46, 37, 4	lsslsp 20972	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸) ∧ (𝑡 ∖ {𝑢}) ⊆ 𝐿) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘(𝑡 ∖ {𝑢})) = ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
88	83, 84, 86, 87	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘(𝑡 ∖ {𝑢})) = ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
89	82, 88	neleqtrd 2856	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
90	89	ralrimiva 3132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → ∀𝑢 ∈ 𝑡 ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
91	11, 31, 46	lbsext 21124	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ 𝑡 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑡 ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢}))) → ∃𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)𝑡 ⊆ 𝑠)
92	53, 59, 90, 91	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → ∃𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)𝑡 ⊆ 𝑠)
93	52, 92	r19.29a 3148	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝐿 = 𝐵)
94	9, 93	n0limd 32453	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  {csn 4601  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Fincfn 8959  ℕ₀cn0 12501  ♯chash 14348  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  Scalarcsca 17274  0_gc0g 17453  1_rcur 20141  NzRingcnzr 20472  DivRingcdr 20689  LModclmod 20817  LSubSpclss 20888  LSpanclspn 20928  LBasisclbs 21032  LVecclvec 21060  dimcldim 33638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-reg 9606  ax-inf2 9655  ax-ac2 10477  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-rpss 7717  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-oi 9524  df-r1 9778  df-rank 9779  df-dju 9915  df-card 9953  df-acn 9956  df-ac 10130  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-hash 14349  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ocomp 17292  df-0g 17455  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-mri 17600  df-acs 17601  df-proset 18306  df-drs 18307  df-poset 18325  df-ipo 18538  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-nzr 20473  df-drng 20691  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-lbs 21033  df-lvec 21061  df-dim 33639

This theorem is referenced by:  lvecendof1f1o  33673