Theorem dimlssid 33823

Description: If the dimension of a linear subspace 𝐿 is the dimension of the whole vector space 𝐸, then 𝐿 is the whole space. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dimlssid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
dimlssid.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LVec)
dimlssid.1	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
dimlssid.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸))
dimlssid.2	⊢ (𝜑 → (dim‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (dim‘𝐸))

Assertion

Ref	Expression
dimlssid	⊢ (𝜑 → 𝐿 = 𝐵)

Proof of Theorem dimlssid

Dummy variables 𝑠 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dimlssid.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LVec)
2		dimlssid.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸))
3		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐿) = (𝐸 ↾s 𝐿)
4		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝐸) = (LSubSp‘𝐸)
5	3, 4	lsslvec 21106	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸)) → (𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LVec)
6	1, 2, 5	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LVec)
7		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))
8	7	lbsex 21165	. . 3 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LVec → (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) ≠ ∅)
9	6, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) ≠ ∅)
10		simplr 774	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸))
11		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LBasis‘𝐸) = (LBasis‘𝐸)
12	11	dimval 33792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) → (dim‘𝐸) = (♯‘𝑠))
13	1, 12	sylan 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) → (dim‘𝐸) = (♯‘𝑠))
14	13	ad4ant13 757	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (dim‘𝐸) = (♯‘𝑠))
15		dimlssid.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
16	15	ad3antrrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
17	14, 16	eqeltrrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
18		hashclb 14318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸) → (𝑠 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑠) ∈ ℕ0))
19	18	biimpar 478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸) ∧ (♯‘𝑠) ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ Fin)
20	10, 17, 19	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑠 ∈ Fin)
21		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑡 ⊆ 𝑠)
22		dimlssid.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (dim‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (dim‘𝐸))
23	22	ad3antrrr 736	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (dim‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (dim‘𝐸))
24	6	ad3antrrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LVec)
25		simpllr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
26	7	dimval 33792	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LVec ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → (dim‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (♯‘𝑡))
27	24, 25, 26	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (dim‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (♯‘𝑡))
28	23, 27, 14	3eqtr3d 2783	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (♯‘𝑡) = (♯‘𝑠))
29	20, 21, 28	phphashrd 14427	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑡 = 𝑠)
30	29	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → ((LSpan‘𝐸)‘𝑡) = ((LSpan‘𝐸)‘𝑠))
31		dimlssid.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
32	31, 4	lssss 20933	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸) → 𝐿 ⊆ 𝐵)
33	3, 31	ressbas2 17206	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ⊆ 𝐵 → 𝐿 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
34	2, 32, 33	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
35	34	ad3antrrr 736	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝐿 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
36		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿))
37		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))
38	36, 7, 37	lbssp 21076	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘𝑡) = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
39	25, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘𝑡) = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
40	1	lveclmodd 21104	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LMod)
41	40	ad3antrrr 736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝐸 ∈ LMod)
42	2	ad3antrrr 736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸))
43	36, 7	lbsss 21074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) → 𝑡 ⊆ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
44	25, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑡 ⊆ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
45	44, 35	sseqtrrd 3959	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑡 ⊆ 𝐿)
46		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝐸) = (LSpan‘𝐸)
47	3, 46, 37, 4	lsslsp 21012	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸) ∧ 𝑡 ⊆ 𝐿) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘𝑡) = ((LSpan‘𝐸)‘𝑡))
48	41, 42, 45, 47	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘𝑡) = ((LSpan‘𝐸)‘𝑡))
49	35, 39, 48	3eqtr2rd 2782	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → ((LSpan‘𝐸)‘𝑡) = 𝐿)
50	31, 11, 46	lbssp 21076	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸) → ((LSpan‘𝐸)‘𝑠) = 𝐵)
51	10, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → ((LSpan‘𝐸)‘𝑠) = 𝐵)
52	30, 49, 51	3eqtr3d 2783	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝐿 = 𝐵)
53	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝐸 ∈ LVec)
54	43	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝑡 ⊆ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
55	34	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝐿 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
56	54, 55	sseqtrrd 3959	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝑡 ⊆ 𝐿)
57	2, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ 𝐵)
58	57	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝐿 ⊆ 𝐵)
59	56, 58	sstrd 3932	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝑡 ⊆ 𝐵)
60	6	lveclmodd 21104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LMod)
61	60	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → (𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LMod)
62		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Scalar‘𝐸) = (Scalar‘𝐸)
63	62	lvecdrng 21102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ LVec → (Scalar‘𝐸) ∈ DivRing)
64		drngnzr 20727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Scalar‘𝐸) ∈ DivRing → (Scalar‘𝐸) ∈ NzRing)
65	1, 63, 64	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐸) ∈ NzRing)
66		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐸)) = (1r‘(Scalar‘𝐸))
67		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐸)) = (0g‘(Scalar‘𝐸))
68	66, 67	nzrnz 20494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Scalar‘𝐸) ∈ NzRing → (1r‘(Scalar‘𝐸)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐸)))
69	65, 68	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐸)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐸)))
70	3, 62	resssca 17304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸) → (Scalar‘𝐸) = (Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
71	2, 70	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐸) = (Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
72	71	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐸)) = (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))))
73	71	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐸)) = (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))))
74	69, 72, 73	3netr3d 3011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ≠ (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))))
75	74	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ≠ (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))))
76		simplr 774	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
77		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → 𝑢 ∈ 𝑡)
78		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))
79		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))) = (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
80		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))) = (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
81	7, 37, 78, 79, 80	lbsind2 21078	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ≠ (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)))) ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
82	61, 75, 76, 77, 81	syl211anc 1384	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
83	40	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → 𝐸 ∈ LMod)
84	2	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸))
85	56	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → 𝑡 ⊆ 𝐿)
86	85	ssdifssd 4084	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → (𝑡 ∖ {𝑢}) ⊆ 𝐿)
87	3, 46, 37, 4	lsslsp 21012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸) ∧ (𝑡 ∖ {𝑢}) ⊆ 𝐿) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘(𝑡 ∖ {𝑢})) = ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
88	83, 84, 86, 87	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘(𝑡 ∖ {𝑢})) = ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
89	82, 88	neleqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
90	89	ralrimiva 3132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → ∀𝑢 ∈ 𝑡 ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
91	11, 31, 46	lbsext 21163	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ 𝑡 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑡 ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢}))) → ∃𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)𝑡 ⊆ 𝑠)
92	53, 59, 90, 91	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → ∃𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)𝑡 ⊆ 𝑠)
93	52, 92	r19.29a 3148	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝐿 = 𝐵)
94	9, 93	n0limd 32566	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ∃wrex 3064   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  {csn 4562  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Fincfn 8890  ℕ₀cn0 12435  ♯chash 14290  Basecbs 17177   ↾_s cress 17198  Scalarcsca 17221  0_gc0g 17400  1_rcur 20160  NzRingcnzr 20491  DivRingcdr 20708  LModclmod 20857  LSubSpclss 20928  LSpanclspn 20968  LBasisclbs 21071  LVecclvec 21099  dimcldim 33790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-reg 9504  ax-inf2 9560  ax-ac2 10383  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-rpss 7673  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-oi 9422  df-r1 9686  df-rank 9687  df-dju 9823  df-card 9861  df-acn 9864  df-ac 10036  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-hash 14291  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ocomp 17239  df-0g 17402  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-mri 17548  df-acs 17549  df-proset 18258  df-drs 18259  df-poset 18277  df-ipo 18492  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-subg 19097  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-nzr 20492  df-drng 20710  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-lbs 21072  df-lvec 21100  df-dim 33791

This theorem is referenced by:  lvecendof1f1o  33824