Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dimlssid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dimlssid 33660
Description: If the dimension of a linear subspace 𝐿 is the dimension of the whole vector space 𝐸, then 𝐿 is the whole space. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
dimlssid.b 𝐵 = (Base‘𝐸)
dimlssid.e (𝜑𝐸 ∈ LVec)
dimlssid.1 (𝜑 → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
dimlssid.l (𝜑𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸))
dimlssid.2 (𝜑 → (dim‘(𝐸s 𝐿)) = (dim‘𝐸))
Assertion
Ref Expression
dimlssid (𝜑𝐿 = 𝐵)

Proof of Theorem dimlssid
Dummy variables 𝑠 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dimlssid.e . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ LVec)
2 dimlssid.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸))
3 eqid 2735 . . . . 5 (𝐸s 𝐿) = (𝐸s 𝐿)
4 eqid 2735 . . . . 5 (LSubSp‘𝐸) = (LSubSp‘𝐸)
53, 4lsslvec 21126 . . . 4 ((𝐸 ∈ LVec ∧ 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸)) → (𝐸s 𝐿) ∈ LVec)
61, 2, 5syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐸s 𝐿) ∈ LVec)
7 eqid 2735 . . . 4 (LBasis‘(𝐸s 𝐿)) = (LBasis‘(𝐸s 𝐿))
87lbsex 21185 . . 3 ((𝐸s 𝐿) ∈ LVec → (LBasis‘(𝐸s 𝐿)) ≠ ∅)
96, 8syl 17 . 2 (𝜑 → (LBasis‘(𝐸s 𝐿)) ≠ ∅)
10 simplr 769 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡𝑠) → 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸))
11 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (LBasis‘𝐸) = (LBasis‘𝐸)
1211dimval 33628 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) → (dim‘𝐸) = (♯‘𝑠))
131, 12sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) → (dim‘𝐸) = (♯‘𝑠))
1413ad4ant13 751 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡𝑠) → (dim‘𝐸) = (♯‘𝑠))
15 dimlssid.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
1615ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡𝑠) → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
1714, 16eqeltrrd 2840 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡𝑠) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
18 hashclb 14394 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸) → (𝑠 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑠) ∈ ℕ0))
1918biimpar 477 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸) ∧ (♯‘𝑠) ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ Fin)
2010, 17, 19syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡𝑠) → 𝑠 ∈ Fin)
21 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡𝑠) → 𝑡𝑠)
22 dimlssid.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → (dim‘(𝐸s 𝐿)) = (dim‘𝐸))
2322ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡𝑠) → (dim‘(𝐸s 𝐿)) = (dim‘𝐸))
246ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡𝑠) → (𝐸s 𝐿) ∈ LVec)
25 simpllr 776 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡𝑠) → 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿)))
267dimval 33628 . . . . . . . 8 (((𝐸s 𝐿) ∈ LVec ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) → (dim‘(𝐸s 𝐿)) = (♯‘𝑡))
2724, 25, 26syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡𝑠) → (dim‘(𝐸s 𝐿)) = (♯‘𝑡))
2823, 27, 143eqtr3d 2783 . . . . . 6 ((((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡𝑠) → (♯‘𝑡) = (♯‘𝑠))
2920, 21, 28phphashrd 14503 . . . . 5 ((((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡𝑠) → 𝑡 = 𝑠)
3029fveq2d 6911 . . . 4 ((((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡𝑠) → ((LSpan‘𝐸)‘𝑡) = ((LSpan‘𝐸)‘𝑠))
31 dimlssid.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐸)
3231, 4lssss 20952 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸) → 𝐿𝐵)
333, 31ressbas2 17283 . . . . . . 7 (𝐿𝐵𝐿 = (Base‘(𝐸s 𝐿)))
342, 32, 333syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐿 = (Base‘(𝐸s 𝐿)))
3534ad3antrrr 730 . . . . 5 ((((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡𝑠) → 𝐿 = (Base‘(𝐸s 𝐿)))
36 eqid 2735 . . . . . . 7 (Base‘(𝐸s 𝐿)) = (Base‘(𝐸s 𝐿))
37 eqid 2735 . . . . . . 7 (LSpan‘(𝐸s 𝐿)) = (LSpan‘(𝐸s 𝐿))
3836, 7, 37lbssp 21096 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿)) → ((LSpan‘(𝐸s 𝐿))‘𝑡) = (Base‘(𝐸s 𝐿)))
3925, 38syl 17 . . . . 5 ((((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡𝑠) → ((LSpan‘(𝐸s 𝐿))‘𝑡) = (Base‘(𝐸s 𝐿)))
401lveclmodd 21124 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ LMod)
4140ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡𝑠) → 𝐸 ∈ LMod)
422ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡𝑠) → 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸))
4336, 7lbsss 21094 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿)) → 𝑡 ⊆ (Base‘(𝐸s 𝐿)))
4425, 43syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡𝑠) → 𝑡 ⊆ (Base‘(𝐸s 𝐿)))
4544, 35sseqtrrd 4037 . . . . . 6 ((((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡𝑠) → 𝑡𝐿)
46 eqid 2735 . . . . . . 7 (LSpan‘𝐸) = (LSpan‘𝐸)
473, 46, 37, 4lsslsp 21031 . . . . . 6 ((𝐸 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸) ∧ 𝑡𝐿) → ((LSpan‘(𝐸s 𝐿))‘𝑡) = ((LSpan‘𝐸)‘𝑡))
4841, 42, 45, 47syl3anc 1370 . . . . 5 ((((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡𝑠) → ((LSpan‘(𝐸s 𝐿))‘𝑡) = ((LSpan‘𝐸)‘𝑡))
4935, 39, 483eqtr2rd 2782 . . . 4 ((((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡𝑠) → ((LSpan‘𝐸)‘𝑡) = 𝐿)
5031, 11, 46lbssp 21096 . . . . 5 (𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸) → ((LSpan‘𝐸)‘𝑠) = 𝐵)
5110, 50syl 17 . . . 4 ((((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡𝑠) → ((LSpan‘𝐸)‘𝑠) = 𝐵)
5230, 49, 513eqtr3d 2783 . . 3 ((((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡𝑠) → 𝐿 = 𝐵)
531adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) → 𝐸 ∈ LVec)
5443adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) → 𝑡 ⊆ (Base‘(𝐸s 𝐿)))
5534adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) → 𝐿 = (Base‘(𝐸s 𝐿)))
5654, 55sseqtrrd 4037 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) → 𝑡𝐿)
572, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐿𝐵)
5857adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) → 𝐿𝐵)
5956, 58sstrd 4006 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) → 𝑡𝐵)
606lveclmodd 21124 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸s 𝐿) ∈ LMod)
6160ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑢𝑡) → (𝐸s 𝐿) ∈ LMod)
62 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝐸) = (Scalar‘𝐸)
6362lvecdrng 21122 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ LVec → (Scalar‘𝐸) ∈ DivRing)
64 drngnzr 20765 . . . . . . . . . . 11 ((Scalar‘𝐸) ∈ DivRing → (Scalar‘𝐸) ∈ NzRing)
651, 63, 643syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Scalar‘𝐸) ∈ NzRing)
66 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (1r‘(Scalar‘𝐸)) = (1r‘(Scalar‘𝐸))
67 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (0g‘(Scalar‘𝐸)) = (0g‘(Scalar‘𝐸))
6866, 67nzrnz 20532 . . . . . . . . . 10 ((Scalar‘𝐸) ∈ NzRing → (1r‘(Scalar‘𝐸)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐸)))
6965, 68syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐸)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐸)))
703, 62resssca 17389 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸) → (Scalar‘𝐸) = (Scalar‘(𝐸s 𝐿)))
712, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Scalar‘𝐸) = (Scalar‘(𝐸s 𝐿)))
7271fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐸)) = (1r‘(Scalar‘(𝐸s 𝐿))))
7371fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐸)) = (0g‘(Scalar‘(𝐸s 𝐿))))
7469, 72, 733netr3d 3015 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘(𝐸s 𝐿))) ≠ (0g‘(Scalar‘(𝐸s 𝐿))))
7574ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑢𝑡) → (1r‘(Scalar‘(𝐸s 𝐿))) ≠ (0g‘(Scalar‘(𝐸s 𝐿))))
76 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑢𝑡) → 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿)))
77 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑢𝑡) → 𝑢𝑡)
78 eqid 2735 . . . . . . . 8 (Scalar‘(𝐸s 𝐿)) = (Scalar‘(𝐸s 𝐿))
79 eqid 2735 . . . . . . . 8 (1r‘(Scalar‘(𝐸s 𝐿))) = (1r‘(Scalar‘(𝐸s 𝐿)))
80 eqid 2735 . . . . . . . 8 (0g‘(Scalar‘(𝐸s 𝐿))) = (0g‘(Scalar‘(𝐸s 𝐿)))
817, 37, 78, 79, 80lbsind2 21098 . . . . . . 7 ((((𝐸s 𝐿) ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘(𝐸s 𝐿))) ≠ (0g‘(Scalar‘(𝐸s 𝐿)))) ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿)) ∧ 𝑢𝑡) → ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘(𝐸s 𝐿))‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
8261, 75, 76, 77, 81syl211anc 1375 . . . . . 6 (((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑢𝑡) → ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘(𝐸s 𝐿))‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
8340ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑢𝑡) → 𝐸 ∈ LMod)
842ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑢𝑡) → 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸))
8556adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑢𝑡) → 𝑡𝐿)
8685ssdifssd 4157 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑢𝑡) → (𝑡 ∖ {𝑢}) ⊆ 𝐿)
873, 46, 37, 4lsslsp 21031 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸) ∧ (𝑡 ∖ {𝑢}) ⊆ 𝐿) → ((LSpan‘(𝐸s 𝐿))‘(𝑡 ∖ {𝑢})) = ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
8883, 84, 86, 87syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑢𝑡) → ((LSpan‘(𝐸s 𝐿))‘(𝑡 ∖ {𝑢})) = ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
8982, 88neleqtrd 2861 . . . . 5 (((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) ∧ 𝑢𝑡) → ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
9089ralrimiva 3144 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) → ∀𝑢𝑡 ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
9111, 31, 46lbsext 21183 . . . 4 ((𝐸 ∈ LVec ∧ 𝑡𝐵 ∧ ∀𝑢𝑡 ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢}))) → ∃𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)𝑡𝑠)
9253, 59, 90, 91syl3anc 1370 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) → ∃𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)𝑡𝑠)
9352, 92r19.29a 3160 . 2 ((𝜑𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸s 𝐿))) → 𝐿 = 𝐵)
949, 93n0limd 32501 1 (𝜑𝐿 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  cdif 3960  wss 3963  c0 4339  {csn 4631  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  0cn0 12524  chash 14366  Basecbs 17245  s cress 17274  Scalarcsca 17301  0gc0g 17486  1rcur 20199  NzRingcnzr 20529  DivRingcdr 20746  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987  LBasisclbs 21091  LVecclvec 21119  dimcldim 33626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-reg 9630  ax-inf2 9679  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-rpss 7742  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-oi 9548  df-r1 9802  df-rank 9803  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ocomp 17319  df-0g 17488  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-mri 17633  df-acs 17634  df-proset 18352  df-drs 18353  df-poset 18371  df-ipo 18586  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-nzr 20530  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lbs 21092  df-lvec 21120  df-dim 33627
This theorem is referenced by:  lvecendof1f1o  33661
  Copyright terms: Public domain W3C validator