Theorem dimlssid 33683

Description: If the dimension of a linear subspace 𝐿 is the dimension of the whole vector space 𝐸, then 𝐿 is the whole space. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dimlssid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
dimlssid.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LVec)
dimlssid.1	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
dimlssid.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸))
dimlssid.2	⊢ (𝜑 → (dim‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (dim‘𝐸))

Assertion

Ref	Expression
dimlssid	⊢ (𝜑 → 𝐿 = 𝐵)

Proof of Theorem dimlssid

Dummy variables 𝑠 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dimlssid.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LVec)
2		dimlssid.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸))
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐿) = (𝐸 ↾s 𝐿)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝐸) = (LSubSp‘𝐸)
5	3, 4	lsslvec 21108	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸)) → (𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LVec)
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LVec)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))
8	7	lbsex 21167	. . 3 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LVec → (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) ≠ ∅)
9	6, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) ≠ ∅)
10		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸))
11		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LBasis‘𝐸) = (LBasis‘𝐸)
12	11	dimval 33651	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) → (dim‘𝐸) = (♯‘𝑠))
13	1, 12	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) → (dim‘𝐸) = (♯‘𝑠))
14	13	ad4ant13 751	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (dim‘𝐸) = (♯‘𝑠))
15		dimlssid.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
16	15	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
17	14, 16	eqeltrrd 2842	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
18		hashclb 14397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸) → (𝑠 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑠) ∈ ℕ0))
19	18	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸) ∧ (♯‘𝑠) ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ Fin)
20	10, 17, 19	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑠 ∈ Fin)
21		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑡 ⊆ 𝑠)
22		dimlssid.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (dim‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (dim‘𝐸))
23	22	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (dim‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (dim‘𝐸))
24	6	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LVec)
25		simpllr 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
26	7	dimval 33651	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LVec ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → (dim‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (♯‘𝑡))
27	24, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (dim‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (♯‘𝑡))
28	23, 27, 14	3eqtr3d 2785	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (♯‘𝑡) = (♯‘𝑠))
29	20, 21, 28	phphashrd 14506	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑡 = 𝑠)
30	29	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → ((LSpan‘𝐸)‘𝑡) = ((LSpan‘𝐸)‘𝑠))
31		dimlssid.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
32	31, 4	lssss 20934	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸) → 𝐿 ⊆ 𝐵)
33	3, 31	ressbas2 17283	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ⊆ 𝐵 → 𝐿 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
34	2, 32, 33	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
35	34	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝐿 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
36		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿))
37		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))
38	36, 7, 37	lbssp 21078	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘𝑡) = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
39	25, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘𝑡) = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
40	1	lveclmodd 21106	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LMod)
41	40	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝐸 ∈ LMod)
42	2	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸))
43	36, 7	lbsss 21076	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) → 𝑡 ⊆ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
44	25, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑡 ⊆ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
45	44, 35	sseqtrrd 4021	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑡 ⊆ 𝐿)
46		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝐸) = (LSpan‘𝐸)
47	3, 46, 37, 4	lsslsp 21013	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸) ∧ 𝑡 ⊆ 𝐿) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘𝑡) = ((LSpan‘𝐸)‘𝑡))
48	41, 42, 45, 47	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘𝑡) = ((LSpan‘𝐸)‘𝑡))
49	35, 39, 48	3eqtr2rd 2784	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → ((LSpan‘𝐸)‘𝑡) = 𝐿)
50	31, 11, 46	lbssp 21078	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸) → ((LSpan‘𝐸)‘𝑠) = 𝐵)
51	10, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → ((LSpan‘𝐸)‘𝑠) = 𝐵)
52	30, 49, 51	3eqtr3d 2785	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝐿 = 𝐵)
53	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝐸 ∈ LVec)
54	43	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝑡 ⊆ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
55	34	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝐿 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
56	54, 55	sseqtrrd 4021	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝑡 ⊆ 𝐿)
57	2, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ 𝐵)
58	57	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝐿 ⊆ 𝐵)
59	56, 58	sstrd 3994	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝑡 ⊆ 𝐵)
60	6	lveclmodd 21106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LMod)
61	60	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → (𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LMod)
62		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Scalar‘𝐸) = (Scalar‘𝐸)
63	62	lvecdrng 21104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ LVec → (Scalar‘𝐸) ∈ DivRing)
64		drngnzr 20748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Scalar‘𝐸) ∈ DivRing → (Scalar‘𝐸) ∈ NzRing)
65	1, 63, 64	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐸) ∈ NzRing)
66		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐸)) = (1r‘(Scalar‘𝐸))
67		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐸)) = (0g‘(Scalar‘𝐸))
68	66, 67	nzrnz 20515	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Scalar‘𝐸) ∈ NzRing → (1r‘(Scalar‘𝐸)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐸)))
69	65, 68	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐸)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐸)))
70	3, 62	resssca 17387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸) → (Scalar‘𝐸) = (Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
71	2, 70	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐸) = (Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
72	71	fveq2d 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐸)) = (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))))
73	71	fveq2d 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐸)) = (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))))
74	69, 72, 73	3netr3d 3017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ≠ (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))))
75	74	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ≠ (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))))
76		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
77		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → 𝑢 ∈ 𝑡)
78		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))
79		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))) = (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
80		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))) = (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
81	7, 37, 78, 79, 80	lbsind2 21080	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ≠ (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)))) ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
82	61, 75, 76, 77, 81	syl211anc 1378	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
83	40	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → 𝐸 ∈ LMod)
84	2	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸))
85	56	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → 𝑡 ⊆ 𝐿)
86	85	ssdifssd 4147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → (𝑡 ∖ {𝑢}) ⊆ 𝐿)
87	3, 46, 37, 4	lsslsp 21013	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸) ∧ (𝑡 ∖ {𝑢}) ⊆ 𝐿) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘(𝑡 ∖ {𝑢})) = ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
88	83, 84, 86, 87	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘(𝑡 ∖ {𝑢})) = ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
89	82, 88	neleqtrd 2863	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
90	89	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → ∀𝑢 ∈ 𝑡 ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
91	11, 31, 46	lbsext 21165	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ 𝑡 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑡 ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢}))) → ∃𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)𝑡 ⊆ 𝑠)
92	53, 59, 90, 91	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → ∃𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)𝑡 ⊆ 𝑠)
93	52, 92	r19.29a 3162	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝐿 = 𝐵)
94	9, 93	n0limd 32491	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  {csn 4626  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  ℕ₀cn0 12526  ♯chash 14369  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  Scalarcsca 17300  0_gc0g 17484  1_rcur 20178  NzRingcnzr 20512  DivRingcdr 20729  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969  LBasisclbs 21073  LVecclvec 21101  dimcldim 33649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-rpss 7743  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-oi 9550  df-r1 9804  df-rank 9805  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ocomp 17318  df-0g 17486  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-mri 17631  df-acs 17632  df-proset 18340  df-drs 18341  df-poset 18359  df-ipo 18573  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-nzr 20513  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lbs 21074  df-lvec 21102  df-dim 33650

This theorem is referenced by:  lvecendof1f1o  33684