Theorem dimlssid 33604

Description: If the dimension of a linear subspace 𝐿 is the dimension of the whole vector space 𝐸, then 𝐿 is the whole space. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dimlssid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
dimlssid.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LVec)
dimlssid.1	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
dimlssid.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸))
dimlssid.2	⊢ (𝜑 → (dim‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (dim‘𝐸))

Assertion

Ref	Expression
dimlssid	⊢ (𝜑 → 𝐿 = 𝐵)

Proof of Theorem dimlssid

Dummy variables 𝑠 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dimlssid.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LVec)
2		dimlssid.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸))
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐿) = (𝐸 ↾s 𝐿)
4		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝐸) = (LSubSp‘𝐸)
5	3, 4	lsslvec 21031	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸)) → (𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LVec)
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LVec)
7		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))
8	7	lbsex 21090	. . 3 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LVec → (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) ≠ ∅)
9	6, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) ≠ ∅)
10		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸))
11		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LBasis‘𝐸) = (LBasis‘𝐸)
12	11	dimval 33572	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) → (dim‘𝐸) = (♯‘𝑠))
13	1, 12	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) → (dim‘𝐸) = (♯‘𝑠))
14	13	ad4ant13 751	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (dim‘𝐸) = (♯‘𝑠))
15		dimlssid.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
16	15	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (dim‘𝐸) ∈ ℕ0)
17	14, 16	eqeltrrd 2829	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
18		hashclb 14283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸) → (𝑠 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑠) ∈ ℕ0))
19	18	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸) ∧ (♯‘𝑠) ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ Fin)
20	10, 17, 19	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑠 ∈ Fin)
21		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑡 ⊆ 𝑠)
22		dimlssid.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (dim‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (dim‘𝐸))
23	22	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (dim‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (dim‘𝐸))
24	6	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LVec)
25		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
26	7	dimval 33572	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LVec ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → (dim‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (♯‘𝑡))
27	24, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (dim‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (♯‘𝑡))
28	23, 27, 14	3eqtr3d 2772	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → (♯‘𝑡) = (♯‘𝑠))
29	20, 21, 28	phphashrd 14392	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑡 = 𝑠)
30	29	fveq2d 6830	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → ((LSpan‘𝐸)‘𝑡) = ((LSpan‘𝐸)‘𝑠))
31		dimlssid.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
32	31, 4	lssss 20857	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸) → 𝐿 ⊆ 𝐵)
33	3, 31	ressbas2 17167	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ⊆ 𝐵 → 𝐿 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
34	2, 32, 33	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
35	34	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝐿 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
36		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿))
37		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))
38	36, 7, 37	lbssp 21001	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘𝑡) = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
39	25, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘𝑡) = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
40	1	lveclmodd 21029	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LMod)
41	40	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝐸 ∈ LMod)
42	2	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸))
43	36, 7	lbsss 20999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) → 𝑡 ⊆ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
44	25, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑡 ⊆ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
45	44, 35	sseqtrrd 3975	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝑡 ⊆ 𝐿)
46		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝐸) = (LSpan‘𝐸)
47	3, 46, 37, 4	lsslsp 20936	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸) ∧ 𝑡 ⊆ 𝐿) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘𝑡) = ((LSpan‘𝐸)‘𝑡))
48	41, 42, 45, 47	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘𝑡) = ((LSpan‘𝐸)‘𝑡))
49	35, 39, 48	3eqtr2rd 2771	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → ((LSpan‘𝐸)‘𝑡) = 𝐿)
50	31, 11, 46	lbssp 21001	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸) → ((LSpan‘𝐸)‘𝑠) = 𝐵)
51	10, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → ((LSpan‘𝐸)‘𝑠) = 𝐵)
52	30, 49, 51	3eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)) ∧ 𝑡 ⊆ 𝑠) → 𝐿 = 𝐵)
53	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝐸 ∈ LVec)
54	43	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝑡 ⊆ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
55	34	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝐿 = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
56	54, 55	sseqtrrd 3975	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝑡 ⊆ 𝐿)
57	2, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ 𝐵)
58	57	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝐿 ⊆ 𝐵)
59	56, 58	sstrd 3948	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝑡 ⊆ 𝐵)
60	6	lveclmodd 21029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LMod)
61	60	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → (𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LMod)
62		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Scalar‘𝐸) = (Scalar‘𝐸)
63	62	lvecdrng 21027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ LVec → (Scalar‘𝐸) ∈ DivRing)
64		drngnzr 20651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Scalar‘𝐸) ∈ DivRing → (Scalar‘𝐸) ∈ NzRing)
65	1, 63, 64	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐸) ∈ NzRing)
66		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐸)) = (1r‘(Scalar‘𝐸))
67		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐸)) = (0g‘(Scalar‘𝐸))
68	66, 67	nzrnz 20418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Scalar‘𝐸) ∈ NzRing → (1r‘(Scalar‘𝐸)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐸)))
69	65, 68	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐸)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐸)))
70	3, 62	resssca 17265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸) → (Scalar‘𝐸) = (Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
71	2, 70	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐸) = (Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
72	71	fveq2d 6830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐸)) = (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))))
73	71	fveq2d 6830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐸)) = (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))))
74	69, 72, 73	3netr3d 3001	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ≠ (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))))
75	74	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ≠ (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))))
76		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
77		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → 𝑢 ∈ 𝑡)
78		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)) = (Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))
79		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))) = (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
80		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))) = (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)))
81	7, 37, 78, 79, 80	lbsind2 21003	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸 ↾s 𝐿) ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ≠ (0g‘(Scalar‘(𝐸 ↾s 𝐿)))) ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
82	61, 75, 76, 77, 81	syl211anc 1378	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
83	40	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → 𝐸 ∈ LMod)
84	2	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸))
85	56	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → 𝑡 ⊆ 𝐿)
86	85	ssdifssd 4100	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → (𝑡 ∖ {𝑢}) ⊆ 𝐿)
87	3, 46, 37, 4	lsslsp 20936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ (LSubSp‘𝐸) ∧ (𝑡 ∖ {𝑢}) ⊆ 𝐿) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘(𝑡 ∖ {𝑢})) = ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
88	83, 84, 86, 87	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → ((LSpan‘(𝐸 ↾s 𝐿))‘(𝑡 ∖ {𝑢})) = ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
89	82, 88	neleqtrd 2850	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) ∧ 𝑢 ∈ 𝑡) → ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
90	89	ralrimiva 3121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → ∀𝑢 ∈ 𝑡 ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢})))
91	11, 31, 46	lbsext 21088	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ 𝑡 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑡 ¬ 𝑢 ∈ ((LSpan‘𝐸)‘(𝑡 ∖ {𝑢}))) → ∃𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)𝑡 ⊆ 𝑠)
92	53, 59, 90, 91	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → ∃𝑠 ∈ (LBasis‘𝐸)𝑡 ⊆ 𝑠)
93	52, 92	r19.29a 3137	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (LBasis‘(𝐸 ↾s 𝐿))) → 𝐿 = 𝐵)
94	9, 93	n0limd 32434	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4579  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  ℕ₀cn0 12402  ♯chash 14255  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  Scalarcsca 17182  0_gc0g 17361  1_rcur 20084  NzRingcnzr 20415  DivRingcdr 20632  LModclmod 20781  LSubSpclss 20852  LSpanclspn 20892  LBasisclbs 20996  LVecclvec 21024  dimcldim 33570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-reg 9503  ax-inf2 9556  ax-ac2 10376  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-rpss 7663  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-oi 9421  df-r1 9679  df-rank 9680  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ocomp 17200  df-0g 17363  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-mri 17508  df-acs 17509  df-proset 18218  df-drs 18219  df-poset 18237  df-ipo 18452  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-subg 19020  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-invr 20291  df-nzr 20416  df-drng 20634  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-lsp 20893  df-lbs 20997  df-lvec 21025  df-dim 33571

This theorem is referenced by:  lvecendof1f1o  33605