Theorem evlsvval 41621

Description: Give a formula for the evaluation of a polynomial. (Contributed by SN, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsvval.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsvval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsvval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsvval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsvval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsvval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsvval.t	⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsvval.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑇)
evlsvval.w	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsvval.x	⊢ · = (.r‘𝑇)
evlsvval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
evlsvval.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))
evlsvval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsvval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsvval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsvval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evlsvval	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑎,𝑥   𝜑,𝑏   𝑃,𝑏   𝐵,𝑏   𝐷,𝑏   𝐾,𝑎,𝑥   𝑈,𝑏,ℎ   𝑇,𝑏   𝑥,𝑇   𝑀,𝑏   ↑ ,𝑏   · ,𝑏   𝐹,𝑏   𝐺,𝑏   𝐼,𝑎,𝑥   𝐼,𝑏,ℎ   𝑆,𝑎,𝑥   𝑥,𝑅   𝐴,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐵(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐷(𝑥,ℎ,𝑎)   𝑃(𝑥,ℎ,𝑎)   𝑄(𝑥,ℎ,𝑎,𝑏)   𝑅(ℎ,𝑎,𝑏)   𝑆(ℎ,𝑏)   𝑇(ℎ,𝑎)   · (𝑥,ℎ,𝑎)   𝑈(𝑥,𝑎)   ↑ (𝑥,ℎ,𝑎)   𝐹(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐺(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐾(ℎ,𝑏)   𝑀(𝑥,ℎ,𝑎)   𝑉(𝑥,ℎ,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem evlsvval

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6880	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (𝑝‘𝑏) = (𝐴‘𝑏))
2	1	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (𝐹‘(𝑝‘𝑏)) = (𝐹‘(𝐴‘𝑏)))
3	2	oveq1d 7416	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
4	3	mpteq2dv 5240	. . 3 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
5	4	oveq2d 7417	. 2 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
6		evlsvval.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
7		evlsvval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
8		evlsvval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		evlsvval.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
10		evlsvval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
11		evlsvval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
12		evlsvval.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
13		evlsvval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑇)
14		evlsvval.w	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
15		evlsvval.x	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑇)
16		eqid 2724	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))) = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
17		evlsvval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
18		evlsvval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))
19		evlsvval.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
20		evlsvval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
21		evlsvval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
22	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	evlsval3 41620	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))))
23		evlsvval.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
24		ovexd 7436	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) ∈ V)
25	5, 22, 23, 24	fvmptd4 41546	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3424  Vcvv 3466  {csn 4620   ↦ cmpt 5221   × cxp 5664  ^◡ccnv 5665   “ cima 5669  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401   ∘_f cof 7661   ↑_m cmap 8816  Fincfn 8935  ℕcn 12209  ℕ₀cn0 12469  Basecbs 17143   ↾_s cress 17172  ._rcmulr 17197   Σ_g cgsu 17385   ↑_s cpws 17391  ._gcmg 18985  mulGrpcmgp 20029  CRingccrg 20129  SubRingcsubrg 20459   mPoly cmpl 21768   evalSub ces 21943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-srg 20082  df-ring 20130  df-cring 20131  df-rhm 20364  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-lsp 20809  df-assa 21716  df-asp 21717  df-ascl 21718  df-psr 21771  df-mvr 21772  df-mpl 21773  df-evls 21945

This theorem is referenced by:  evlsvvval  41624  evlsevl  41632