Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsvval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlsvval 41842
Description: Give a formula for the evaluation of a polynomial. (Contributed by SN, 9-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsvval.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
evlsvval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
evlsvval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
evlsvval.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
evlsvval.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
evlsvval.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evlsvval.t 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsvval.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘‡)
evlsvval.w ↑ = (.gβ€˜π‘€)
evlsvval.x Β· = (.rβ€˜π‘‡)
evlsvval.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))
evlsvval.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)))
evlsvval.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsvval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evlsvval.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
evlsvval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
evlsvval (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π΄) = (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π΄β€˜π‘)) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘Ž,π‘₯   πœ‘,𝑏   𝑃,𝑏   𝐡,𝑏   𝐷,𝑏   𝐾,π‘Ž,π‘₯   π‘ˆ,𝑏,β„Ž   𝑇,𝑏   π‘₯,𝑇   𝑀,𝑏   ↑ ,𝑏   Β· ,𝑏   𝐹,𝑏   𝐺,𝑏   𝐼,π‘Ž,π‘₯   𝐼,𝑏,β„Ž   𝑆,π‘Ž,π‘₯   π‘₯,𝑅   𝐴,𝑏
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž)   𝐴(π‘₯,β„Ž,π‘Ž)   𝐡(π‘₯,β„Ž,π‘Ž)   𝐷(π‘₯,β„Ž,π‘Ž)   𝑃(π‘₯,β„Ž,π‘Ž)   𝑄(π‘₯,β„Ž,π‘Ž,𝑏)   𝑅(β„Ž,π‘Ž,𝑏)   𝑆(β„Ž,𝑏)   𝑇(β„Ž,π‘Ž)   Β· (π‘₯,β„Ž,π‘Ž)   π‘ˆ(π‘₯,π‘Ž)   ↑ (π‘₯,β„Ž,π‘Ž)   𝐹(π‘₯,β„Ž,π‘Ž)   𝐺(π‘₯,β„Ž,π‘Ž)   𝐾(β„Ž,𝑏)   𝑀(π‘₯,β„Ž,π‘Ž)   𝑉(π‘₯,β„Ž,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem evlsvval
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6901 . . . . . 6 (𝑝 = 𝐴 β†’ (π‘β€˜π‘) = (π΄β€˜π‘))
21fveq2d 6906 . . . . 5 (𝑝 = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) = (πΉβ€˜(π΄β€˜π‘)))
32oveq1d 7441 . . . 4 (𝑝 = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = ((πΉβ€˜(π΄β€˜π‘)) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
43mpteq2dv 5254 . . 3 (𝑝 = 𝐴 β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π΄β€˜π‘)) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
54oveq2d 7442 . 2 (𝑝 = 𝐴 β†’ (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π΄β€˜π‘)) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
6 evlsvval.q . . 3 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
7 evlsvval.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
8 evlsvval.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
9 evlsvval.d . . 3 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
10 evlsvval.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
11 evlsvval.u . . 3 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
12 evlsvval.t . . 3 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
13 evlsvval.m . . 3 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘‡)
14 evlsvval.w . . 3 ↑ = (.gβ€˜π‘€)
15 evlsvval.x . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘‡)
16 eqid 2728 . . 3 (𝑝 ∈ 𝐡 ↦ (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))) = (𝑝 ∈ 𝐡 ↦ (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
17 evlsvval.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))
18 evlsvval.g . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)))
19 evlsvval.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
20 evlsvval.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
21 evlsvval.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
226, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21evlsval3 41841 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 = (𝑝 ∈ 𝐡 ↦ (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))))
23 evlsvval.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
24 ovexd 7461 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π΄β€˜π‘)) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) ∈ V)
255, 22, 23, 24fvmptd4 7034 1 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π΄) = (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π΄β€˜π‘)) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430  Vcvv 3473  {csn 4632   ↦ cmpt 5235   Γ— cxp 5680  β—‘ccnv 5681   β€œ cima 5685  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘f cof 7690   ↑m cmap 8853  Fincfn 8972  β„•cn 12252  β„•0cn0 12512  Basecbs 17189   β†Ύs cress 17218  .rcmulr 17243   Ξ£g cgsu 17431   ↑s cpws 17437  .gcmg 19037  mulGrpcmgp 20088  CRingccrg 20188  SubRingcsubrg 20520   mPoly cmpl 21853   evalSub ces 22033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-ofr 7693  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-hash 14332  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-prds 17438  df-pws 17440  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-ghm 19182  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-srg 20141  df-ring 20189  df-cring 20190  df-rhm 20425  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-assa 21801  df-asp 21802  df-ascl 21803  df-psr 21856  df-mvr 21857  df-mpl 21858  df-evls 22035
This theorem is referenced by:  evlsvvval  41845  evlsevl  41853
  Copyright terms: Public domain W3C validator