Theorem evlsvval 22201

Description: Give a formula for the evaluation of a polynomial. (Contributed by SN, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsvval.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsvval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsvval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsvval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsvval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsvval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsvval.t	⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsvval.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑇)
evlsvval.w	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsvval.x	⊢ · = (.r‘𝑇)
evlsvval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
evlsvval.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))
evlsvval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsvval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsvval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsvval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evlsvval	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑎,𝑥   𝜑,𝑏   𝑃,𝑏   𝐵,𝑏   𝐷,𝑏   𝐾,𝑎,𝑥   𝑈,𝑏,ℎ   𝑇,𝑏   𝑥,𝑇   𝑀,𝑏   ↑ ,𝑏   · ,𝑏   𝐹,𝑏   𝐺,𝑏   𝐼,𝑎,𝑥   𝐼,𝑏,ℎ   𝑆,𝑎,𝑥   𝑥,𝑅   𝐴,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐵(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐷(𝑥,ℎ,𝑎)   𝑃(𝑥,ℎ,𝑎)   𝑄(𝑥,ℎ,𝑎,𝑏)   𝑅(ℎ,𝑎,𝑏)   𝑆(ℎ,𝑏)   𝑇(ℎ,𝑎)   · (𝑥,ℎ,𝑎)   𝑈(𝑥,𝑎)   ↑ (𝑥,ℎ,𝑎)   𝐹(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐺(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐾(ℎ,𝑏)   𝑀(𝑥,ℎ,𝑎)   𝑉(𝑥,ℎ,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem evlsvval

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6870	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (𝑝‘𝑏) = (𝐴‘𝑏))
2	1	fveq2d 6875	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (𝐹‘(𝑝‘𝑏)) = (𝐹‘(𝐴‘𝑏)))
3	2	oveq1d 7415	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
4	3	mpteq2dv 5199	. . 3 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
5	4	oveq2d 7416	. 2 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
6		evlsvval.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
7		evlsvval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
8		evlsvval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		evlsvval.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
10		evlsvval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
11		evlsvval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
12		evlsvval.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
13		evlsvval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑇)
14		evlsvval.w	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
15		evlsvval.x	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑇)
16		eqid 2765	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))) = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
17		evlsvval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
18		evlsvval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))
19		evlsvval.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
20		evlsvval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
21		evlsvval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
22	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	evlsval3 22200	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))))
23		evlsvval.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
24		ovexd 7435	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) ∈ V)
25	5, 22, 23, 24	fvmptd4 7004	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {crab 3417  Vcvv 3457  {csn 4585   ↦ cmpt 5186   × cxp 5650  ^◡ccnv 5651   “ cima 5655  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∘_f cof 7662   ↑_m cmap 8812  Fincfn 8931  ℕcn 12224  ℕ₀cn0 12495  Basecbs 17259   ↾_s cress 17280  ._rcmulr 17301   Σ_g cgsu 17483   ↑_s cpws 17489  ._gcmg 19124  mulGrpcmgp 20207  CRingccrg 20307  SubRingcsubrg 20645   mPoly cmpl 22016   evalSub ces 22183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-hash 14358  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-hom 17324  df-cco 17325  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-prds 17490  df-pws 17492  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-mhm 18831  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-mulg 19125  df-subg 19180  df-ghm 19275  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-srg 20260  df-ring 20308  df-cring 20309  df-rhm 20545  df-subrng 20622  df-subrg 20646  df-lmod 20952  df-lss 21022  df-lsp 21062  df-assa 21963  df-asp 21964  df-ascl 21965  df-psr 22019  df-mvr 22020  df-mpl 22021  df-evls 22185

This theorem is referenced by:  evlsvvval  22204  evlsevl  22243