Theorem evlsvval 42548

Description: Give a formula for the evaluation of a polynomial. (Contributed by SN, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsvval.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsvval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsvval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsvval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsvval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsvval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsvval.t	⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsvval.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑇)
evlsvval.w	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsvval.x	⊢ · = (.r‘𝑇)
evlsvval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
evlsvval.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))
evlsvval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsvval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsvval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsvval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evlsvval	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑎,𝑥   𝜑,𝑏   𝑃,𝑏   𝐵,𝑏   𝐷,𝑏   𝐾,𝑎,𝑥   𝑈,𝑏,ℎ   𝑇,𝑏   𝑥,𝑇   𝑀,𝑏   ↑ ,𝑏   · ,𝑏   𝐹,𝑏   𝐺,𝑏   𝐼,𝑎,𝑥   𝐼,𝑏,ℎ   𝑆,𝑎,𝑥   𝑥,𝑅   𝐴,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐵(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐷(𝑥,ℎ,𝑎)   𝑃(𝑥,ℎ,𝑎)   𝑄(𝑥,ℎ,𝑎,𝑏)   𝑅(ℎ,𝑎,𝑏)   𝑆(ℎ,𝑏)   𝑇(ℎ,𝑎)   · (𝑥,ℎ,𝑎)   𝑈(𝑥,𝑎)   ↑ (𝑥,ℎ,𝑎)   𝐹(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐺(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐾(ℎ,𝑏)   𝑀(𝑥,ℎ,𝑎)   𝑉(𝑥,ℎ,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem evlsvval

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6857	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (𝑝‘𝑏) = (𝐴‘𝑏))
2	1	fveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (𝐹‘(𝑝‘𝑏)) = (𝐹‘(𝐴‘𝑏)))
3	2	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
4	3	mpteq2dv 5201	. . 3 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
5	4	oveq2d 7403	. 2 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
6		evlsvval.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
7		evlsvval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
8		evlsvval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		evlsvval.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
10		evlsvval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
11		evlsvval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
12		evlsvval.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
13		evlsvval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑇)
14		evlsvval.w	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
15		evlsvval.x	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑇)
16		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))) = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
17		evlsvval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
18		evlsvval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))
19		evlsvval.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
20		evlsvval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
21		evlsvval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
22	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	evlsval3 42547	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))))
23		evlsvval.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
24		ovexd 7422	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) ∈ V)
25	5, 22, 23, 24	fvmptd4 6992	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3405  Vcvv 3447  {csn 4589   ↦ cmpt 5188   × cxp 5636  ^◡ccnv 5637   “ cima 5641  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∘_f cof 7651   ↑_m cmap 8799  Fincfn 8918  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  ._rcmulr 17221   Σ_g cgsu 17403   ↑_s cpws 17409  ._gcmg 18999  mulGrpcmgp 20049  CRingccrg 20143  SubRingcsubrg 20478   mPoly cmpl 21815   evalSub ces 21979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-srg 20096  df-ring 20144  df-cring 20145  df-rhm 20381  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-assa 21762  df-asp 21763  df-ascl 21764  df-psr 21818  df-mvr 21819  df-mpl 21820  df-evls 21981

This theorem is referenced by:  evlsvvval  42551  evlsevl  42559