Theorem evlsvval 42555

Description: Give a formula for the evaluation of a polynomial. (Contributed by SN, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsvval.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsvval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsvval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsvval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsvval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsvval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsvval.t	⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsvval.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑇)
evlsvval.w	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsvval.x	⊢ · = (.r‘𝑇)
evlsvval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
evlsvval.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))
evlsvval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsvval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsvval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsvval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evlsvval	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑎,𝑥   𝜑,𝑏   𝑃,𝑏   𝐵,𝑏   𝐷,𝑏   𝐾,𝑎,𝑥   𝑈,𝑏,ℎ   𝑇,𝑏   𝑥,𝑇   𝑀,𝑏   ↑ ,𝑏   · ,𝑏   𝐹,𝑏   𝐺,𝑏   𝐼,𝑎,𝑥   𝐼,𝑏,ℎ   𝑆,𝑎,𝑥   𝑥,𝑅   𝐴,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐵(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐷(𝑥,ℎ,𝑎)   𝑃(𝑥,ℎ,𝑎)   𝑄(𝑥,ℎ,𝑎,𝑏)   𝑅(ℎ,𝑎,𝑏)   𝑆(ℎ,𝑏)   𝑇(ℎ,𝑎)   · (𝑥,ℎ,𝑎)   𝑈(𝑥,𝑎)   ↑ (𝑥,ℎ,𝑎)   𝐹(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐺(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐾(ℎ,𝑏)   𝑀(𝑥,ℎ,𝑎)   𝑉(𝑥,ℎ,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem evlsvval

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6860	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (𝑝‘𝑏) = (𝐴‘𝑏))
2	1	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (𝐹‘(𝑝‘𝑏)) = (𝐹‘(𝐴‘𝑏)))
3	2	oveq1d 7405	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
4	3	mpteq2dv 5204	. . 3 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
5	4	oveq2d 7406	. 2 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
6		evlsvval.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
7		evlsvval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
8		evlsvval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		evlsvval.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
10		evlsvval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
11		evlsvval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
12		evlsvval.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
13		evlsvval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑇)
14		evlsvval.w	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
15		evlsvval.x	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑇)
16		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))) = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
17		evlsvval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
18		evlsvval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))
19		evlsvval.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
20		evlsvval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
21		evlsvval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
22	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	evlsval3 42554	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))))
23		evlsvval.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
24		ovexd 7425	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) ∈ V)
25	5, 22, 23, 24	fvmptd4 6995	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408  Vcvv 3450  {csn 4592   ↦ cmpt 5191   × cxp 5639  ^◡ccnv 5640   “ cima 5644  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∘_f cof 7654   ↑_m cmap 8802  Fincfn 8921  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  ._rcmulr 17228   Σ_g cgsu 17410   ↑_s cpws 17416  ._gcmg 19006  mulGrpcmgp 20056  CRingccrg 20150  SubRingcsubrg 20485   mPoly cmpl 21822   evalSub ces 21986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-srg 20103  df-ring 20151  df-cring 20152  df-rhm 20388  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-assa 21769  df-asp 21770  df-ascl 21771  df-psr 21825  df-mvr 21826  df-mpl 21827  df-evls 21988

This theorem is referenced by:  evlsvvval  42558  evlsevl  42566