Theorem evlsvval 42533

Description: Give a formula for the evaluation of a polynomial. (Contributed by SN, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsvval.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsvval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsvval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsvval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsvval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsvval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsvval.t	⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsvval.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑇)
evlsvval.w	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsvval.x	⊢ · = (.r‘𝑇)
evlsvval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
evlsvval.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))
evlsvval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsvval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsvval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsvval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evlsvval	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑎,𝑥   𝜑,𝑏   𝑃,𝑏   𝐵,𝑏   𝐷,𝑏   𝐾,𝑎,𝑥   𝑈,𝑏,ℎ   𝑇,𝑏   𝑥,𝑇   𝑀,𝑏   ↑ ,𝑏   · ,𝑏   𝐹,𝑏   𝐺,𝑏   𝐼,𝑎,𝑥   𝐼,𝑏,ℎ   𝑆,𝑎,𝑥   𝑥,𝑅   𝐴,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐵(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐷(𝑥,ℎ,𝑎)   𝑃(𝑥,ℎ,𝑎)   𝑄(𝑥,ℎ,𝑎,𝑏)   𝑅(ℎ,𝑎,𝑏)   𝑆(ℎ,𝑏)   𝑇(ℎ,𝑎)   · (𝑥,ℎ,𝑎)   𝑈(𝑥,𝑎)   ↑ (𝑥,ℎ,𝑎)   𝐹(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐺(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐾(ℎ,𝑏)   𝑀(𝑥,ℎ,𝑎)   𝑉(𝑥,ℎ,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem evlsvval

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6825	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (𝑝‘𝑏) = (𝐴‘𝑏))
2	1	fveq2d 6830	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (𝐹‘(𝑝‘𝑏)) = (𝐹‘(𝐴‘𝑏)))
3	2	oveq1d 7368	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
4	3	mpteq2dv 5189	. . 3 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
5	4	oveq2d 7369	. 2 ⊢ (𝑝 = 𝐴 → (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
6		evlsvval.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
7		evlsvval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
8		evlsvval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		evlsvval.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
10		evlsvval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
11		evlsvval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
12		evlsvval.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
13		evlsvval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑇)
14		evlsvval.w	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
15		evlsvval.x	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑇)
16		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))) = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
17		evlsvval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
18		evlsvval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))
19		evlsvval.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
20		evlsvval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
21		evlsvval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
22	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	evlsval3 42532	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))))
23		evlsvval.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
24		ovexd 7388	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) ∈ V)
25	5, 22, 23, 24	fvmptd4 6958	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐴) = (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝐴‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3396  Vcvv 3438  {csn 4579   ↦ cmpt 5176   × cxp 5621  ^◡ccnv 5622   “ cima 5626  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∘_f cof 7615   ↑_m cmap 8760  Fincfn 8879  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  ._rcmulr 17180   Σ_g cgsu 17362   ↑_s cpws 17368  ._gcmg 18964  mulGrpcmgp 20043  CRingccrg 20137  SubRingcsubrg 20472   mPoly cmpl 21831   evalSub ces 21995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-mulg 18965  df-subg 19020  df-ghm 19110  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-srg 20090  df-ring 20138  df-cring 20139  df-rhm 20375  df-subrng 20449  df-subrg 20473  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-lsp 20893  df-assa 21778  df-asp 21779  df-ascl 21780  df-psr 21834  df-mvr 21835  df-mpl 21836  df-evls 21997

This theorem is referenced by:  evlsvvval  42536  evlsevl  42544