Theorem fldlring 33591

Description: A field is a local ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2026.) (Proof modification is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
fldlring.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)

Assertion

Ref	Expression
fldlring	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LRing)

Proof of Theorem fldlring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldlring.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
2	1	fldcrngd 20715	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ CRing)
3	1	flddrngd 20714	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
4		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
5	4	drngmxidl 33561	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝐹) = {{(0g‘𝐹)}})
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (MaxIdeal‘𝐹) = {{(0g‘𝐹)}})
7		snex 5369	. . . 4 ⊢ {(0g‘𝐹)} ∈ V
8	7	ensn1 8959	. . 3 ⊢ {{(0g‘𝐹)}} ≈ 1o
9	6, 8	eqbrtrdi 5112	. 2 ⊢ (𝜑 → (MaxIdeal‘𝐹) ≈ 1o)
10		dflring3 33589	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → (𝐹 ∈ LRing ↔ (MaxIdeal‘𝐹) ≈ 1o))
11	10	biimpar 478	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (MaxIdeal‘𝐹) ≈ 1o) → 𝐹 ∈ LRing)
12	2, 9, 11	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LRing)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {csn 4556   class class class wbr 5073  ‘cfv 6486  1_oc1o 8389   ≈ cen 8881  0_gc0g 17394  CRingccrg 20207  LRingclring 20511  DivRingcdr 20702  Fieldcfield 20703  MaxIdealcmxidl 33543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-ac2 10377  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-rpss 7667  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-oadd 8400  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-dju 9817  df-card 9855  df-ac 10030  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-sca 17228  df-vsca 17229  df-ip 17230  df-0g 17396  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-subg 19091  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20114  df-rng 20126  df-ur 20155  df-ring 20208  df-cring 20209  df-oppr 20309  df-dvdsr 20329  df-unit 20330  df-invr 20360  df-dvr 20373  df-nzr 20486  df-lring 20512  df-subrg 20543  df-drng 20704  df-field 20705  df-lmod 20853  df-lss 20923  df-lsp 20963  df-sra 21164  df-rgmod 21165  df-lidl 21202  df-rsp 21203  df-mxidl 33544

This theorem is referenced by: (None)