Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wallispi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wallispi2 44776
Description: An alternative version of Wallis' formula for π ; this second formula uses factorials and it is later used to prove Stirling's approximation formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wallispi2.1 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
Assertion
Ref Expression
wallispi2 𝑉 ⇝ (π / 2)

Proof of Theorem wallispi2
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . 2 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
2 1cnd 11206 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3 2cnd 12287 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
4 nncn 12217 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
53, 4mulcld 11231 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
65, 2addcld 11230 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
7 elnnuz 12863 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
87biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
9 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))
10 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → 𝑘 = 𝑚)
1110oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑚))
1211oveq1d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → ((2 · 𝑘)↑4) = ((2 · 𝑚)↑4))
1311oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑚) − 1))
1411, 13oveq12d 7424 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → ((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1)) = ((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1)))
1514oveq1d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2) = (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2))
1612, 15oveq12d 7424 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)) = (((2 · 𝑚)↑4) / (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2)))
17 elfznn 13527 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℕ)
18 2cnd 12287 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℂ)
1917nncnd 12225 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℂ)
2018, 19mulcld 11231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ∈ ℂ)
21 4nn0 12488 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℕ0
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 4 ∈ ℕ0)
2320, 22expcld 14108 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚)↑4) ∈ ℂ)
24 1cnd 11206 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 ∈ ℂ)
2520, 24subcld 11568 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) − 1) ∈ ℂ)
2620, 25mulcld 11231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
2726sqcld 14106 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2) ∈ ℂ)
28 2ne0 12313 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ≠ 0)
3017nnne0d 12259 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ≠ 0)
3118, 19, 29, 30mulne0d 11863 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ≠ 0)
32 1red 11212 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 ∈ ℝ)
33 2re 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℝ)
3534, 32remulcld 11241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 1) ∈ ℝ)
3617nnred 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℝ)
3734, 36remulcld 11241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ∈ ℝ)
38 1lt2 12380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 < 2
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 < 2)
40 2t1e2 12372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · 1) = 2
4139, 40breqtrrdi 5190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 < (2 · 1))
42 0le2 12311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ≤ 2
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ 2)
44 elfzle1 13501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 ≤ 𝑚)
4532, 36, 34, 43, 44lemul2ad 12151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑚))
4632, 35, 37, 41, 45ltletrd 11371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 < (2 · 𝑚))
4732, 46gtned 11346 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ≠ 1)
4820, 24, 47subne0d 11577 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) − 1) ≠ 0)
4920, 25, 31, 48mulne0d 11863 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1)) ≠ 0)
50 2z 12591 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℤ)
5226, 49, 51expne0d 14114 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2) ≠ 0)
5323, 27, 52divcld 11987 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑚)↑4) / (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2)) ∈ ℂ)
549, 16, 17, 53fvmptd 7003 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘𝑚) = (((2 · 𝑚)↑4) / (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2)))
5554, 53eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘𝑚) ∈ ℂ)
5655adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘𝑚) ∈ ℂ)
57 mulcl 11191 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑤) ∈ ℂ)
5857adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑚 · 𝑤) ∈ ℂ)
598, 56, 58seqcl 13985 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) ∈ ℂ)
60 2nn 12282 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
6160a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
62 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
6361, 62nnmulcld 12262 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
6463peano2nnd 12226 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
6564nnne0d 12259 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
662, 6, 59, 65div32d 12010 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)) = (1 · ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1))))
6759, 6, 65divcld 11987 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
6867mullidd 11229 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (1 · ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1))) = ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
69 wallispi2lem2 44775 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) = (((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)))
7069oveq1d 7421 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
7166, 68, 703eqtrd 2777 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)) = ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
7271mpteq2ia 5251 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
73 wallispi2lem1 44774 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))‘𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)))
7473mpteq2ia 5251 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))‘𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)))
75 wallispi2.1 . . 3 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
7672, 74, 753eqtr4ri 2772 . 2 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))‘𝑛))
771, 76wallispi 44773 1 𝑉 ⇝ (π / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6541  (class class class)co 7406  cc 11105  cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112   < clt 11245  cle 11246  cmin 11441   / cdiv 11868  cn 12209  2c2 12264  4c4 12266  0cn0 12469  cz 12555  cuz 12819  ...cfz 13481  seqcseq 13963  cexp 14024  !cfa 14230  cli 15425  πcpi 16007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-symdif 4242  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-omul 8468  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-cmp 22883  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-ovol 24973  df-vol 24974  df-mbf 25128  df-itg1 25129  df-itg2 25130  df-ibl 25131  df-itg 25132  df-0p 25179  df-limc 25375  df-dv 25376
This theorem is referenced by:  stirlinglem15  44791
  Copyright terms: Public domain W3C validator