Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wallispi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wallispi2 42506
Description: An alternative version of Wallis' formula for π ; this second formula uses factorials and it is later used to prove Stirling's approximation formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wallispi2.1 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
Assertion
Ref Expression
wallispi2 𝑉 ⇝ (π / 2)

Proof of Theorem wallispi2
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2820 . 2 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
2 1cnd 10614 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3 2cnd 11694 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
4 nncn 11624 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
53, 4mulcld 10639 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
65, 2addcld 10638 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
7 elnnuz 12261 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
87biimpi 218 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
9 eqidd 2821 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))
10 simpr 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → 𝑘 = 𝑚)
1110oveq2d 7149 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑚))
1211oveq1d 7148 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → ((2 · 𝑘)↑4) = ((2 · 𝑚)↑4))
1311oveq1d 7148 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑚) − 1))
1411, 13oveq12d 7151 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → ((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1)) = ((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1)))
1514oveq1d 7148 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2) = (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2))
1612, 15oveq12d 7151 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)) = (((2 · 𝑚)↑4) / (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2)))
17 elfznn 12920 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℕ)
18 2cnd 11694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℂ)
1917nncnd 11632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℂ)
2018, 19mulcld 10639 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ∈ ℂ)
21 4nn0 11895 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℕ0
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 4 ∈ ℕ0)
2320, 22expcld 13495 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚)↑4) ∈ ℂ)
24 1cnd 10614 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 ∈ ℂ)
2520, 24subcld 10975 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) − 1) ∈ ℂ)
2620, 25mulcld 10639 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
2726sqcld 13493 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2) ∈ ℂ)
28 2ne0 11720 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ≠ 0)
3017nnne0d 11666 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ≠ 0)
3118, 19, 29, 30mulne0d 11270 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ≠ 0)
32 1red 10620 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 ∈ ℝ)
33 2re 11690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℝ)
3534, 32remulcld 10649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 1) ∈ ℝ)
3617nnred 11631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℝ)
3734, 36remulcld 10649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ∈ ℝ)
38 1lt2 11787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 < 2
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 < 2)
40 2t1e2 11779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · 1) = 2
4139, 40breqtrrdi 5084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 < (2 · 1))
42 0le2 11718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ≤ 2
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ 2)
44 elfzle1 12894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 ≤ 𝑚)
4532, 36, 34, 43, 44lemul2ad 11558 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑚))
4632, 35, 37, 41, 45ltletrd 10778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 < (2 · 𝑚))
4732, 46gtned 10753 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ≠ 1)
4820, 24, 47subne0d 10984 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) − 1) ≠ 0)
4920, 25, 31, 48mulne0d 11270 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1)) ≠ 0)
50 2z 11993 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℤ)
5226, 49, 51expne0d 13501 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2) ≠ 0)
5323, 27, 52divcld 11394 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑚)↑4) / (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2)) ∈ ℂ)
549, 16, 17, 53fvmptd 6751 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘𝑚) = (((2 · 𝑚)↑4) / (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2)))
5554, 53eqeltrd 2911 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘𝑚) ∈ ℂ)
5655adantl 484 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘𝑚) ∈ ℂ)
57 mulcl 10599 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑤) ∈ ℂ)
5857adantl 484 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑚 · 𝑤) ∈ ℂ)
598, 56, 58seqcl 13375 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) ∈ ℂ)
60 2nn 11689 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
6160a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
62 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
6361, 62nnmulcld 11669 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
6463peano2nnd 11633 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
6564nnne0d 11666 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
662, 6, 59, 65div32d 11417 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)) = (1 · ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1))))
6759, 6, 65divcld 11394 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
6867mulid2d 10637 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (1 · ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1))) = ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
69 wallispi2lem2 42505 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) = (((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)))
7069oveq1d 7148 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
7166, 68, 703eqtrd 2859 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)) = ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
7271mpteq2ia 5133 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
73 wallispi2lem1 42504 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))‘𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)))
7473mpteq2ia 5133 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))‘𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)))
75 wallispi2.1 . . 3 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
7672, 74, 753eqtr4ri 2854 . 2 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))‘𝑛))
771, 76wallispi 42503 1 𝑉 ⇝ (π / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006   class class class wbr 5042  cmpt 5122  cfv 6331  (class class class)co 7133  cc 10513  cr 10514  0cc0 10515  1c1 10516   + caddc 10518   · cmul 10520   < clt 10653  cle 10654  cmin 10848   / cdiv 11275  cn 11616  2c2 11671  4c4 11673  0cn0 11876  cz 11960  cuz 12222  ...cfz 12876  seqcseq 13353  cexp 13414  !cfa 13618  cli 14821  πcpi 15400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cc 9835  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593  ax-addf 10594  ax-mulf 10595
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-symdif 4197  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-iin 4898  df-disj 5008  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-ofr 7388  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-omul 8085  df-er 8267  df-map 8386  df-pm 8387  df-ixp 8440  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-fsupp 8812  df-fi 8853  df-sup 8884  df-inf 8885  df-oi 8952  df-dju 9308  df-card 9346  df-acn 9349  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-xneg 12486  df-xadd 12487  df-xmul 12488  df-ioo 12721  df-ioc 12722  df-ico 12723  df-icc 12724  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-fl 13146  df-mod 13222  df-seq 13354  df-exp 13415  df-fac 13619  df-bc 13648  df-hash 13676  df-shft 14406  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-limsup 14808  df-clim 14825  df-rlim 14826  df-sum 15023  df-ef 15401  df-sin 15403  df-cos 15404  df-pi 15406  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-prds 16700  df-xrs 16754  df-qtop 16759  df-imas 16760  df-xps 16762  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-mulg 18204  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-fbas 20518  df-fg 20519  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cld 21603  df-ntr 21604  df-cls 21605  df-nei 21682  df-lp 21720  df-perf 21721  df-cn 21811  df-cnp 21812  df-haus 21899  df-cmp 21971  df-tx 22146  df-hmeo 22339  df-fil 22430  df-fm 22522  df-flim 22523  df-flf 22524  df-xms 22906  df-ms 22907  df-tms 22908  df-cncf 23462  df-ovol 24047  df-vol 24048  df-mbf 24202  df-itg1 24203  df-itg2 24204  df-ibl 24205  df-itg 24206  df-0p 24253  df-limc 24448  df-dv 24449
This theorem is referenced by:  stirlinglem15  42521
  Copyright terms: Public domain W3C validator