Theorem wallispi2 46058

Description: An alternative version of Wallis' formula for π ; this second formula uses factorials and it is later used to prove Stirling's approximation formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
wallispi2.1	⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))

Assertion

Ref	Expression
wallispi2	⊢ 𝑉 ⇝ (π / 2)

Proof of Theorem wallispi2

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
2		1cnd 11129	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3		2cnd 12224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
4		nncn 12154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulcld 11154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
6	5, 2	addcld 11153	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
7		elnnuz 12797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
8	7	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
9		eqidd 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))
10		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → 𝑘 = 𝑚)
11	10	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑚))
12	11	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → ((2 · 𝑘)↑4) = ((2 · 𝑚)↑4))
13	11	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑚) − 1))
14	11, 13	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → ((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1)) = ((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1)))
15	14	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2) = (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2))
16	12, 15	oveq12d 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)) = (((2 · 𝑚)↑4) / (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2)))
17		elfznn 13474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℕ)
18		2cnd 12224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℂ)
19	17	nncnd 12162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℂ)
20	18, 19	mulcld 11154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ∈ ℂ)
21		4nn0 12421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℕ0
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 4 ∈ ℕ0)
23	20, 22	expcld 14071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚)↑4) ∈ ℂ)
24		1cnd 11129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 ∈ ℂ)
25	20, 24	subcld 11493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) − 1) ∈ ℂ)
26	20, 25	mulcld 11154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
27	26	sqcld 14069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2) ∈ ℂ)
28		2ne0 12250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ≠ 0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ≠ 0)
30	17	nnne0d 12196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ≠ 0)
31	18, 19, 29, 30	mulne0d 11790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ≠ 0)
32		1red 11135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 ∈ ℝ)
33		2re 12220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℝ)
35	34, 32	remulcld 11164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 1) ∈ ℝ)
36	17	nnred 12161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℝ)
37	34, 36	remulcld 11164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ∈ ℝ)
38		1lt2 12312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 < 2
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 < 2)
40		2t1e2 12304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · 1) = 2
41	39, 40	breqtrrdi 5137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 < (2 · 1))
42		0le2 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≤ 2
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ 2)
44		elfzle1 13448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 ≤ 𝑚)
45	32, 36, 34, 43, 44	lemul2ad 12083	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑚))
46	32, 35, 37, 41, 45	ltletrd 11294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 < (2 · 𝑚))
47	32, 46	gtned 11269	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ≠ 1)
48	20, 24, 47	subne0d 11502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) − 1) ≠ 0)
49	20, 25, 31, 48	mulne0d 11790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1)) ≠ 0)
50		2z 12525	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℤ)
52	26, 49, 51	expne0d 14077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2) ≠ 0)
53	23, 27, 52	divcld 11918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑚)↑4) / (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2)) ∈ ℂ)
54	9, 16, 17, 53	fvmptd 6941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘𝑚) = (((2 · 𝑚)↑4) / (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2)))
55	54, 53	eqeltrd 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘𝑚) ∈ ℂ)
56	55	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘𝑚) ∈ ℂ)
57		mulcl 11112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑤) ∈ ℂ)
58	57	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑚 · 𝑤) ∈ ℂ)
59	8, 56, 58	seqcl 13947	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) ∈ ℂ)
60		2nn 12219	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
61	60	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
62		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
63	61, 62	nnmulcld 12199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
64	63	peano2nnd 12163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
65	64	nnne0d 12196	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
66	2, 6, 59, 65	div32d 11941	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)) = (1 · ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1))))
67	59, 6, 65	divcld 11918	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
68	67	mullidd 11152	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 · ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1))) = ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
69		wallispi2lem2 46057	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) = (((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)))
70	69	oveq1d 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
71	66, 68, 70	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)) = ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
72	71	mpteq2ia 5190	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
73		wallispi2lem1 46056	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))‘𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)))
74	73	mpteq2ia 5190	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))‘𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)))
75		wallispi2.1	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
76	72, 74, 75	3eqtr4ri 2763	. 2 ⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))‘𝑛))
77	1, 76	wallispi 46055	1 ⊢ 𝑉 ⇝ (π / 2)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11365   / cdiv 11795  ℕcn 12146  2c2 12201  4c4 12203  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12753  ...cfz 13428  seqcseq 13926  ↑cexp 13986  !cfa 14198   ⇝ cli 15409  πcpi 15991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cc 10348  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-ef 15992  df-sin 15994  df-cos 15995  df-pi 15997  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-mulg 18965  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-cmp 23290  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24224  df-ms 24225  df-tms 24226  df-cncf 24787  df-ovol 25381  df-vol 25382  df-mbf 25536  df-itg1 25537  df-itg2 25538  df-ibl 25539  df-itg 25540  df-0p 25587  df-limc 25783  df-dv 25784

This theorem is referenced by:  stirlinglem15  46073