Theorem wallispi2 41231

Description: An alternative version of Wallis' formula for π ; this second formula uses factorials and it is later used to prove Stirling's approximation formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
wallispi2.1	⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))

Assertion

Ref	Expression
wallispi2	⊢ 𝑉 ⇝ (π / 2)

Proof of Theorem wallispi2

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2778	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
2		1cnd 10373	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3		2cnd 11458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
4		nncn 11388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulcld 10399	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
6	5, 2	addcld 10398	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
7		elnnuz 12035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
8	7	biimpi 208	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
9		eqidd 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))
10		simpr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → 𝑘 = 𝑚)
11	10	oveq2d 6940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑚))
12	11	oveq1d 6939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → ((2 · 𝑘)↑4) = ((2 · 𝑚)↑4))
13	11	oveq1d 6939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑚) − 1))
14	11, 13	oveq12d 6942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → ((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1)) = ((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1)))
15	14	oveq1d 6939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2) = (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2))
16	12, 15	oveq12d 6942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)) = (((2 · 𝑚)↑4) / (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2)))
17		elfznn 12692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℕ)
18		2cnd 11458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℂ)
19	17	nncnd 11397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℂ)
20	18, 19	mulcld 10399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ∈ ℂ)
21		4nn0 11668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℕ0
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 4 ∈ ℕ0)
23	20, 22	expcld 13332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚)↑4) ∈ ℂ)
24		1cnd 10373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 ∈ ℂ)
25	20, 24	subcld 10736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) − 1) ∈ ℂ)
26	20, 25	mulcld 10399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
27	26	sqcld 13330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2) ∈ ℂ)
28		2ne0 11491	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ≠ 0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ≠ 0)
30	17	nnne0d 11430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ≠ 0)
31	18, 19, 29, 30	mulne0d 11030	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ≠ 0)
32		1red 10379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 ∈ ℝ)
33		2re 11454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℝ)
35	34, 32	remulcld 10409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 1) ∈ ℝ)
36	17	nnred 11396	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℝ)
37	34, 36	remulcld 10409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ∈ ℝ)
38		1lt2 11558	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 < 2
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 < 2)
40		2t1e2 11550	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · 1) = 2
41	39, 40	syl6breqr 4930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 < (2 · 1))
42		0le2 11489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≤ 2
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ 2)
44		elfzle1 12666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 ≤ 𝑚)
45	32, 36, 34, 43, 44	lemul2ad 11321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑚))
46	32, 35, 37, 41, 45	ltletrd 10538	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 < (2 · 𝑚))
47	32, 46	gtned 10513	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ≠ 1)
48	20, 24, 47	subne0d 10745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) − 1) ≠ 0)
49	20, 25, 31, 48	mulne0d 11030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1)) ≠ 0)
50		2z 11766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℤ)
52	26, 49, 51	expne0d 13338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2) ≠ 0)
53	23, 27, 52	divcld 11154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑚)↑4) / (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2)) ∈ ℂ)
54	9, 16, 17, 53	fvmptd 6550	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘𝑚) = (((2 · 𝑚)↑4) / (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2)))
55	54, 53	eqeltrd 2859	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘𝑚) ∈ ℂ)
56	55	adantl 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘𝑚) ∈ ℂ)
57		mulcl 10358	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑤) ∈ ℂ)
58	57	adantl 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑚 · 𝑤) ∈ ℂ)
59	8, 56, 58	seqcl 13144	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) ∈ ℂ)
60		2nn 11453	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
61	60	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
62		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
63	61, 62	nnmulcld 11433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
64	63	peano2nnd 11398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
65	64	nnne0d 11430	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
66	2, 6, 59, 65	div32d 11177	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)) = (1 · ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1))))
67	59, 6, 65	divcld 11154	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
68	67	mulid2d 10397	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 · ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1))) = ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
69		wallispi2lem2 41230	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) = (((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)))
70	69	oveq1d 6939	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
71	66, 68, 70	3eqtrd 2818	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)) = ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
72	71	mpteq2ia 4977	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
73		wallispi2lem1 41229	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))‘𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)))
74	73	mpteq2ia 4977	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))‘𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)))
75		wallispi2.1	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
76	72, 74, 75	3eqtr4ri 2813	. 2 ⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))‘𝑛))
77	1, 76	wallispi 41228	1 ⊢ 𝑉 ⇝ (π / 2)

Syntax hints:   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969   class class class wbr 4888   ↦ cmpt 4967  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  ℂcc 10272  ℝcr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277   · cmul 10279   < clt 10413   ≤ cle 10414   − cmin 10608   / cdiv 11035  ℕcn 11379  2c2 11435  4c4 11437  ℕ₀cn0 11647  ℤcz 11733  ℤ_≥cuz 11997  ...cfz 12648  seqcseq 13124  ↑cexp 13183  !cfa 13384   ⇝ cli 14632  πcpi 15208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cc 9594  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-symdif 4067  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-disj 4857  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-ofr 7177  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-omul 7850  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-acn 9103  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-q 12101  df-rp 12143  df-xneg 12262  df-xadd 12263  df-xmul 12264  df-ioo 12496  df-ioc 12497  df-ico 12498  df-icc 12499  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-fl 12917  df-mod 12993  df-seq 13125  df-exp 13184  df-fac 13385  df-bc 13414  df-hash 13442  df-shft 14220  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-limsup 14619  df-clim 14636  df-rlim 14637  df-sum 14834  df-ef 15209  df-sin 15211  df-cos 15212  df-pi 15214  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-starv 16364  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-ip 16367  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-unif 16372  df-hom 16373  df-cco 16374  df-rest 16480  df-topn 16481  df-0g 16499  df-gsum 16500  df-topgen 16501  df-pt 16502  df-prds 16505  df-xrs 16559  df-qtop 16564  df-imas 16565  df-xps 16567  df-mre 16643  df-mrc 16644  df-acs 16646  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-submnd 17733  df-mulg 17939  df-cntz 18144  df-cmn 18592  df-psmet 20145  df-xmet 20146  df-met 20147  df-bl 20148  df-mopn 20149  df-fbas 20150  df-fg 20151  df-cnfld 20154  df-top 21117  df-topon 21134  df-topsp 21156  df-bases 21169  df-cld 21242  df-ntr 21243  df-cls 21244  df-nei 21321  df-lp 21359  df-perf 21360  df-cn 21450  df-cnp 21451  df-haus 21538  df-cmp 21610  df-tx 21785  df-hmeo 21978  df-fil 22069  df-fm 22161  df-flim 22162  df-flf 22163  df-xms 22544  df-ms 22545  df-tms 22546  df-cncf 23100  df-ovol 23679  df-vol 23680  df-mbf 23834  df-itg1 23835  df-itg2 23836  df-ibl 23837  df-itg 23838  df-0p 23885  df-limc 24078  df-dv 24079

This theorem is referenced by:  stirlinglem15  41246