wallispi2 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem wallispi2 45524

Description: An alternative version of Wallis' formula for π ; this second formula uses factorials and it is later used to prove Stirling's approximation formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
wallispi2.1	⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))

**Assertion**
Ref	Expression
wallispi2	⊢ 𝑉 ⇝ (π / 2)

Proof of Theorem wallispi2 Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
2		1cnd 11239	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3		2cnd 12320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
4		nncn 12250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulcld 11264	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
6	5, 2	addcld 11263	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
7		elnnuz 12896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1))
8	7	biimpi 215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1))
9		eqidd 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))
10		simpr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → 𝑘 = 𝑚)
11	10	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑚))
12	11	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → ((2 · 𝑘)↑4) = ((2 · 𝑚)↑4))
13	11	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑚) − 1))
14	11, 13	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → ((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1)) = ((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1)))
15	14	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2) = (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2))
16	12, 15	oveq12d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)) = (((2 · 𝑚)↑4) / (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2)))
17		elfznn 13562	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℕ)
18		2cnd 12320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℂ)
19	17	nncnd 12258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℂ)
20	18, 19	mulcld 11264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ∈ ℂ)
21		4nn0 12521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 4 ∈ ℕ₀)
23	20, 22	expcld 14142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚)↑4) ∈ ℂ)
24		1cnd 11239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 ∈ ℂ)
25	20, 24	subcld 11601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) − 1) ∈ ℂ)
26	20, 25	mulcld 11264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
27	26	sqcld 14140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2) ∈ ℂ)
28		2ne0 12346	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ≠ 0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ≠ 0)
30	17	nnne0d 12292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ≠ 0)
31	18, 19, 29, 30	mulne0d 11896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ≠ 0)
32		1red 11245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 ∈ ℝ)
33		2re 12316	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℝ)
35	34, 32	remulcld 11274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 1) ∈ ℝ)
36	17	nnred 12257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℝ)
37	34, 36	remulcld 11274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ∈ ℝ)
38		1lt2 12413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 < 2
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 < 2)
40		2t1e2 12405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · 1) = 2
41	39, 40	breqtrrdi 5185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 < (2 · 1))
42		0le2 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≤ 2
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ 2)
44		elfzle1 13536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 ≤ 𝑚)
45	32, 36, 34, 43, 44	lemul2ad 12184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑚))
46	32, 35, 37, 41, 45	ltletrd 11404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 < (2 · 𝑚))
47	32, 46	gtned 11379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ≠ 1)
48	20, 24, 47	subne0d 11610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) − 1) ≠ 0)
49	20, 25, 31, 48	mulne0d 11896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1)) ≠ 0)
50		2z 12624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℤ)
52	26, 49, 51	expne0d 14148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2) ≠ 0)
53	23, 27, 52	divcld 12020	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑚)↑4) / (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2)) ∈ ℂ)
54	9, 16, 17, 53	fvmptd 7007	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘𝑚) = (((2 · 𝑚)↑4) / (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2)))
55	54, 53	eqeltrd 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘𝑚) ∈ ℂ)
56	55	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘𝑚) ∈ ℂ)
57		mulcl 11222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑤) ∈ ℂ)
58	57	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑚 · 𝑤) ∈ ℂ)
59	8, 56, 58	seqcl 14019	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) ∈ ℂ)
60		2nn 12315	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
61	60	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
62		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
63	61, 62	nnmulcld 12295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
64	63	peano2nnd 12259	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
65	64	nnne0d 12292	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
66	2, 6, 59, 65	div32d 12043	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)) = (1 · ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1))))
67	59, 6, 65	divcld 12020	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
68	67	mullidd 11262	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 · ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1))) = ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
69		wallispi2lem2 45523	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) = (((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)))
70	69	oveq1d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
71	66, 68, 70	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)) = ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
72	71	mpteq2ia 5246	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
73		wallispi2lem1 45522	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))‘𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)))
74	73	mpteq2ia 5246	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))‘𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)))
75		wallispi2.1	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
76	72, 74, 75	3eqtr4ri 2764	. 2 ⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))‘𝑛))
77	1, 76	wallispi 45521	1 ⊢ 𝑉 ⇝ (π / 2)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ∧ wa 394 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ≠ wne 2930 class class class wbr 5143 ↦ cmpt 5226 ‘cfv 6543 (class class class)co 7416 ℂcc 11136 ℝcr 11137 0cc0 11138 1c1 11139 + caddc 11141 · cmul 11143 < clt 11278 ≤ cle 11279 − cmin 11474 / cdiv 11901 ℕcn 12242 2c2 12297 4c4 12299 ℕ₀cn0 12502 ℤcz 12588 ℤ_≥cuz 12852 ...cfz 13516 seqcseq 13998 ↑cexp 14058 !cfa 14264 ⇝ cli 15460 πcpi 16042

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5280 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7738 ax-inf2 9664 ax-cc 10458 ax-cnex 11194 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 ax-pre-mulgt0 11215 ax-pre-sup 11216 ax-addf 11217

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3769 df-csb 3885 df-dif 3942 df-un 3944 df-in 3946 df-ss 3956 df-pss 3959 df-symdif 4237 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-tp 4629 df-op 4631 df-uni 4904 df-int 4945 df-iun 4993 df-iin 4994 df-disj 5109 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-tr 5261 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-se 5628 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7372 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-of 7682 df-ofr 7683 df-om 7869 df-1st 7991 df-2nd 7992 df-supp 8164 df-frecs 8285 df-wrecs 8316 df-recs 8390 df-rdg 8429 df-1o 8485 df-2o 8486 df-oadd 8489 df-omul 8490 df-er 8723 df-map 8845 df-pm 8846 df-ixp 8915 df-en 8963 df-dom 8964 df-sdom 8965 df-fin 8966 df-fsupp 9386 df-fi 9434 df-sup 9465 df-inf 9466 df-oi 9533 df-dju 9924 df-card 9962 df-acn 9965 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-xr 11282 df-ltxr 11283 df-le 11284 df-sub 11476 df-neg 11477 df-div 11902 df-nn 12243 df-2 12305 df-3 12306 df-4 12307 df-5 12308 df-6 12309 df-7 12310 df-8 12311 df-9 12312 df-n0 12503 df-z 12589 df-dec 12708 df-uz 12853 df-q 12963 df-rp 13007 df-xneg 13124 df-xadd 13125 df-xmul 13126 df-ioo 13360 df-ioc 13361 df-ico 13362 df-icc 13363 df-fz 13517 df-fzo 13660 df-fl 13789 df-mod 13867 df-seq 13999 df-exp 14059 df-fac 14265 df-bc 14294 df-hash 14322 df-shft 15046 df-cj 15078 df-re 15079 df-im 15080 df-sqrt 15214 df-abs 15215 df-limsup 15447 df-clim 15464 df-rlim 15465 df-sum 15665 df-ef 16043 df-sin 16045 df-cos 16046 df-pi 16048 df-struct 17115 df-sets 17132 df-slot 17150 df-ndx 17162 df-base 17180 df-ress 17209 df-plusg 17245 df-mulr 17246 df-starv 17247 df-sca 17248 df-vsca 17249 df-ip 17250 df-tset 17251 df-ple 17252 df-ds 17254 df-unif 17255 df-hom 17256 df-cco 17257 df-rest 17403 df-topn 17404 df-0g 17422 df-gsum 17423 df-topgen 17424 df-pt 17425 df-prds 17428 df-xrs 17483 df-qtop 17488 df-imas 17489 df-xps 17491 df-mre 17565 df-mrc 17566 df-acs 17568 df-mgm 18599 df-sgrp 18678 df-mnd 18694 df-submnd 18740 df-mulg 19028 df-cntz 19272 df-cmn 19741 df-psmet 21275 df-xmet 21276 df-met 21277 df-bl 21278 df-mopn 21279 df-fbas 21280 df-fg 21281 df-cnfld 21284 df-top 22814 df-topon 22831 df-topsp 22853 df-bases 22867 df-cld 22941 df-ntr 22942 df-cls 22943 df-nei 23020 df-lp 23058 df-perf 23059 df-cn 23149 df-cnp 23150 df-haus 23237 df-cmp 23309 df-tx 23484 df-hmeo 23677 df-fil 23768 df-fm 23860 df-flim 23861 df-flf 23862 df-xms 24244 df-ms 24245 df-tms 24246 df-cncf 24816 df-ovol 25411 df-vol 25412 df-mbf 25566 df-itg1 25567 df-itg2 25568 df-ibl 25569 df-itg 25570 df-0p 25617 df-limc 25813 df-dv 25814

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