Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wallispi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wallispi2 45087
Description: An alternative version of Wallis' formula for ฯ€ ; this second formula uses factorials and it is later used to prove Stirling's approximation formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wallispi2.1 ๐‘‰ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((((2โ†‘(4 ยท ๐‘›)) ยท ((!โ€˜๐‘›)โ†‘4)) / ((!โ€˜(2 ยท ๐‘›))โ†‘2)) / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
Assertion
Ref Expression
wallispi2 ๐‘‰ โ‡ (ฯ€ / 2)

Proof of Theorem wallispi2
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘š ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . 2 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜) / ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1)) ยท ((2 ยท ๐‘˜) / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜) / ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1)) ยท ((2 ยท ๐‘˜) / ((2 ยท ๐‘˜) + 1))))
2 1cnd 11213 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3 2cnd 12294 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
4 nncn 12224 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
53, 4mulcld 11238 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
65, 2addcld 11237 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„‚)
7 elnnuz 12870 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†” ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
87biimpi 215 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
9 eqidd 2731 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2))))
10 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โˆง ๐‘˜ = ๐‘š) โ†’ ๐‘˜ = ๐‘š)
1110oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โˆง ๐‘˜ = ๐‘š) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) = (2 ยท ๐‘š))
1211oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โˆง ๐‘˜ = ๐‘š) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) = ((2 ยท ๐‘š)โ†‘4))
1311oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โˆง ๐‘˜ = ๐‘š) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1) = ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1))
1411, 13oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โˆง ๐‘˜ = ๐‘š) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1)) = ((2 ยท ๐‘š) ยท ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1)))
1514oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โˆง ๐‘˜ = ๐‘š) โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2) = (((2 ยท ๐‘š) ยท ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1))โ†‘2))
1612, 15oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 ((๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โˆง ๐‘˜ = ๐‘š) โ†’ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2)) = (((2 ยท ๐‘š)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘š) ยท ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1))โ†‘2)))
17 elfznn 13534 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
18 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
1917nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
2018, 19mulcld 11238 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ (2 ยท ๐‘š) โˆˆ โ„‚)
21 4nn0 12495 . . . . . . . . . . . . 13 4 โˆˆ โ„•0
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ 4 โˆˆ โ„•0)
2320, 22expcld 14115 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ ((2 ยท ๐‘š)โ†‘4) โˆˆ โ„‚)
24 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
2520, 24subcld 11575 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
2620, 25mulcld 11238 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ ((2 ยท ๐‘š) ยท ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
2726sqcld 14113 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ (((2 ยท ๐‘š) ยท ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
28 2ne0 12320 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 โ‰  0
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ 2 โ‰  0)
3017nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ ๐‘š โ‰  0)
3118, 19, 29, 30mulne0d 11870 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ (2 ยท ๐‘š) โ‰  0)
32 1red 11219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
33 2re 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 โˆˆ โ„
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
3534, 32remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ (2 ยท 1) โˆˆ โ„)
3617nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
3734, 36remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ (2 ยท ๐‘š) โˆˆ โ„)
38 1lt2 12387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 < 2
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ 1 < 2)
40 2t1e2 12379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ยท 1) = 2
4139, 40breqtrrdi 5189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ 1 < (2 ยท 1))
42 0le2 12318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 โ‰ค 2
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ 0 โ‰ค 2)
44 elfzle1 13508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘š)
4532, 36, 34, 43, 44lemul2ad 12158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ (2 ยท 1) โ‰ค (2 ยท ๐‘š))
4632, 35, 37, 41, 45ltletrd 11378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ 1 < (2 ยท ๐‘š))
4732, 46gtned 11353 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ (2 ยท ๐‘š) โ‰  1)
4820, 24, 47subne0d 11584 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) โ‰  0)
4920, 25, 31, 48mulne0d 11870 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ ((2 ยท ๐‘š) ยท ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1)) โ‰  0)
50 2z 12598 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„ค
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
5226, 49, 51expne0d 14121 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ (((2 ยท ๐‘š) ยท ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1))โ†‘2) โ‰  0)
5323, 27, 52divcld 11994 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ (((2 ยท ๐‘š)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘š) ยท ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1))โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
549, 16, 17, 53fvmptd 7004 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2)))โ€˜๐‘š) = (((2 ยท ๐‘š)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘š) ยท ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1))โ†‘2)))
5554, 53eqeltrd 2831 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2)))โ€˜๐‘š) โˆˆ โ„‚)
5655adantl 480 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ (1...๐‘›)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2)))โ€˜๐‘š) โˆˆ โ„‚)
57 mulcl 11196 . . . . . . . 8 ((๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„‚)
5857adantl 480 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„‚)
598, 56, 58seqcl 13992 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2))))โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
60 2nn 12289 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•
6160a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
62 id 22 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
6361, 62nnmulcld 12269 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•)
6463peano2nnd 12233 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„•)
6564nnne0d 12266 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ‰  0)
662, 6, 59, 65div32d 12017 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2))))โ€˜๐‘›)) = (1 ยท ((seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2))))โ€˜๐‘›) / ((2 ยท ๐‘›) + 1))))
6759, 6, 65divcld 11994 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2))))โ€˜๐‘›) / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„‚)
6867mullidd 11236 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (1 ยท ((seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2))))โ€˜๐‘›) / ((2 ยท ๐‘›) + 1))) = ((seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2))))โ€˜๐‘›) / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
69 wallispi2lem2 45086 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2))))โ€˜๐‘›) = (((2โ†‘(4 ยท ๐‘›)) ยท ((!โ€˜๐‘›)โ†‘4)) / ((!โ€˜(2 ยท ๐‘›))โ†‘2)))
7069oveq1d 7426 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2))))โ€˜๐‘›) / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) = ((((2โ†‘(4 ยท ๐‘›)) ยท ((!โ€˜๐‘›)โ†‘4)) / ((!โ€˜(2 ยท ๐‘›))โ†‘2)) / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
7166, 68, 703eqtrd 2774 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2))))โ€˜๐‘›)) = ((((2โ†‘(4 ยท ๐‘›)) ยท ((!โ€˜๐‘›)โ†‘4)) / ((!โ€˜(2 ยท ๐‘›))โ†‘2)) / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
7271mpteq2ia 5250 . . 3 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2))))โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((((2โ†‘(4 ยท ๐‘›)) ยท ((!โ€˜๐‘›)โ†‘4)) / ((!โ€˜(2 ยท ๐‘›))โ†‘2)) / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
73 wallispi2lem1 45085 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜) / ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1)) ยท ((2 ยท ๐‘˜) / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))))โ€˜๐‘›) = ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2))))โ€˜๐‘›)))
7473mpteq2ia 5250 . . 3 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜) / ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1)) ยท ((2 ยท ๐‘˜) / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))))โ€˜๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2))))โ€˜๐‘›)))
75 wallispi2.1 . . 3 ๐‘‰ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((((2โ†‘(4 ยท ๐‘›)) ยท ((!โ€˜๐‘›)โ†‘4)) / ((!โ€˜(2 ยท ๐‘›))โ†‘2)) / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
7672, 74, 753eqtr4ri 2769 . 2 ๐‘‰ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜) / ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1)) ยท ((2 ยท ๐‘˜) / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))))โ€˜๐‘›))
771, 76wallispi 45084 1 ๐‘‰ โ‡ (ฯ€ / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  4c4 12273  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13488  seqcseq 13970  โ†‘cexp 14031  !cfa 14237   โ‡ cli 15432  ฯ€cpi 16014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-symdif 4241  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-mbf 25368  df-itg1 25369  df-itg2 25370  df-ibl 25371  df-itg 25372  df-0p 25419  df-limc 25615  df-dv 25616
This theorem is referenced by:  stirlinglem15  45102
  Copyright terms: Public domain W3C validator