Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wallispi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wallispi2 44388
Description: An alternative version of Wallis' formula for ฯ€ ; this second formula uses factorials and it is later used to prove Stirling's approximation formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wallispi2.1 ๐‘‰ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((((2โ†‘(4 ยท ๐‘›)) ยท ((!โ€˜๐‘›)โ†‘4)) / ((!โ€˜(2 ยท ๐‘›))โ†‘2)) / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
Assertion
Ref Expression
wallispi2 ๐‘‰ โ‡ (ฯ€ / 2)

Proof of Theorem wallispi2
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘š ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . 2 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜) / ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1)) ยท ((2 ยท ๐‘˜) / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜) / ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1)) ยท ((2 ยท ๐‘˜) / ((2 ยท ๐‘˜) + 1))))
2 1cnd 11157 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3 2cnd 12238 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
4 nncn 12168 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
53, 4mulcld 11182 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
65, 2addcld 11181 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„‚)
7 elnnuz 12814 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†” ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
87biimpi 215 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
9 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2))))
10 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โˆง ๐‘˜ = ๐‘š) โ†’ ๐‘˜ = ๐‘š)
1110oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โˆง ๐‘˜ = ๐‘š) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) = (2 ยท ๐‘š))
1211oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โˆง ๐‘˜ = ๐‘š) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) = ((2 ยท ๐‘š)โ†‘4))
1311oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โˆง ๐‘˜ = ๐‘š) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1) = ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1))
1411, 13oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โˆง ๐‘˜ = ๐‘š) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1)) = ((2 ยท ๐‘š) ยท ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1)))
1514oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โˆง ๐‘˜ = ๐‘š) โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2) = (((2 ยท ๐‘š) ยท ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1))โ†‘2))
1612, 15oveq12d 7380 . . . . . . . . . 10 ((๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โˆง ๐‘˜ = ๐‘š) โ†’ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2)) = (((2 ยท ๐‘š)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘š) ยท ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1))โ†‘2)))
17 elfznn 13477 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
18 2cnd 12238 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
1917nncnd 12176 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
2018, 19mulcld 11182 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ (2 ยท ๐‘š) โˆˆ โ„‚)
21 4nn0 12439 . . . . . . . . . . . . 13 4 โˆˆ โ„•0
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ 4 โˆˆ โ„•0)
2320, 22expcld 14058 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ ((2 ยท ๐‘š)โ†‘4) โˆˆ โ„‚)
24 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
2520, 24subcld 11519 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
2620, 25mulcld 11182 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ ((2 ยท ๐‘š) ยท ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
2726sqcld 14056 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ (((2 ยท ๐‘š) ยท ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
28 2ne0 12264 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 โ‰  0
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ 2 โ‰  0)
3017nnne0d 12210 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ ๐‘š โ‰  0)
3118, 19, 29, 30mulne0d 11814 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ (2 ยท ๐‘š) โ‰  0)
32 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
33 2re 12234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 โˆˆ โ„
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
3534, 32remulcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ (2 ยท 1) โˆˆ โ„)
3617nnred 12175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
3734, 36remulcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ (2 ยท ๐‘š) โˆˆ โ„)
38 1lt2 12331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 < 2
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ 1 < 2)
40 2t1e2 12323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ยท 1) = 2
4139, 40breqtrrdi 5152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ 1 < (2 ยท 1))
42 0le2 12262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 โ‰ค 2
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ 0 โ‰ค 2)
44 elfzle1 13451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘š)
4532, 36, 34, 43, 44lemul2ad 12102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ (2 ยท 1) โ‰ค (2 ยท ๐‘š))
4632, 35, 37, 41, 45ltletrd 11322 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ 1 < (2 ยท ๐‘š))
4732, 46gtned 11297 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ (2 ยท ๐‘š) โ‰  1)
4820, 24, 47subne0d 11528 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) โ‰  0)
4920, 25, 31, 48mulne0d 11814 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ ((2 ยท ๐‘š) ยท ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1)) โ‰  0)
50 2z 12542 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„ค
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
5226, 49, 51expne0d 14064 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ (((2 ยท ๐‘š) ยท ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1))โ†‘2) โ‰  0)
5323, 27, 52divcld 11938 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ (((2 ยท ๐‘š)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘š) ยท ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1))โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
549, 16, 17, 53fvmptd 6960 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2)))โ€˜๐‘š) = (((2 ยท ๐‘š)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘š) ยท ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1))โ†‘2)))
5554, 53eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2)))โ€˜๐‘š) โˆˆ โ„‚)
5655adantl 483 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ (1...๐‘›)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2)))โ€˜๐‘š) โˆˆ โ„‚)
57 mulcl 11142 . . . . . . . 8 ((๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„‚)
5857adantl 483 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„‚)
598, 56, 58seqcl 13935 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2))))โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
60 2nn 12233 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•
6160a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
62 id 22 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
6361, 62nnmulcld 12213 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•)
6463peano2nnd 12177 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„•)
6564nnne0d 12210 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ‰  0)
662, 6, 59, 65div32d 11961 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2))))โ€˜๐‘›)) = (1 ยท ((seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2))))โ€˜๐‘›) / ((2 ยท ๐‘›) + 1))))
6759, 6, 65divcld 11938 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2))))โ€˜๐‘›) / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„‚)
6867mulid2d 11180 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (1 ยท ((seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2))))โ€˜๐‘›) / ((2 ยท ๐‘›) + 1))) = ((seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2))))โ€˜๐‘›) / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
69 wallispi2lem2 44387 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2))))โ€˜๐‘›) = (((2โ†‘(4 ยท ๐‘›)) ยท ((!โ€˜๐‘›)โ†‘4)) / ((!โ€˜(2 ยท ๐‘›))โ†‘2)))
7069oveq1d 7377 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2))))โ€˜๐‘›) / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) = ((((2โ†‘(4 ยท ๐‘›)) ยท ((!โ€˜๐‘›)โ†‘4)) / ((!โ€˜(2 ยท ๐‘›))โ†‘2)) / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
7166, 68, 703eqtrd 2781 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2))))โ€˜๐‘›)) = ((((2โ†‘(4 ยท ๐‘›)) ยท ((!โ€˜๐‘›)โ†‘4)) / ((!โ€˜(2 ยท ๐‘›))โ†‘2)) / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
7271mpteq2ia 5213 . . 3 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2))))โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((((2โ†‘(4 ยท ๐‘›)) ยท ((!โ€˜๐‘›)โ†‘4)) / ((!โ€˜(2 ยท ๐‘›))โ†‘2)) / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
73 wallispi2lem1 44386 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜) / ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1)) ยท ((2 ยท ๐‘˜) / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))))โ€˜๐‘›) = ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2))))โ€˜๐‘›)))
7473mpteq2ia 5213 . . 3 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜) / ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1)) ยท ((2 ยท ๐‘˜) / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))))โ€˜๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜)โ†‘4) / (((2 ยท ๐‘˜) ยท ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1))โ†‘2))))โ€˜๐‘›)))
75 wallispi2.1 . . 3 ๐‘‰ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((((2โ†‘(4 ยท ๐‘›)) ยท ((!โ€˜๐‘›)โ†‘4)) / ((!โ€˜(2 ยท ๐‘›))โ†‘2)) / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
7672, 74, 753eqtr4ri 2776 . 2 ๐‘‰ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (seq1( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((2 ยท ๐‘˜) / ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1)) ยท ((2 ยท ๐‘˜) / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))))โ€˜๐‘›))
771, 76wallispi 44385 1 ๐‘‰ โ‡ (ฯ€ / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  4c4 12217  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  ...cfz 13431  seqcseq 13913  โ†‘cexp 13974  !cfa 14180   โ‡ cli 15373  ฯ€cpi 15956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  stirlinglem15  44403
  Copyright terms: Public domain W3C validator