Theorem wallispi2 46519

Description: An alternative version of Wallis' formula for π ; this second formula uses factorials and it is later used to prove Stirling's approximation formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
wallispi2.1	⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))

Assertion

Ref	Expression
wallispi2	⊢ 𝑉 ⇝ (π / 2)

Proof of Theorem wallispi2

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
2		1cnd 11130	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3		2cnd 12250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
4		nncn 12173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulcld 11156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
6	5, 2	addcld 11155	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
7		elnnuz 12819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
8	7	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
9		eqidd 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))
10		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → 𝑘 = 𝑚)
11	10	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑚))
12	11	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → ((2 · 𝑘)↑4) = ((2 · 𝑚)↑4))
13	11	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑚) − 1))
14	11, 13	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → ((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1)) = ((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1)))
15	14	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2) = (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2))
16	12, 15	oveq12d 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)) = (((2 · 𝑚)↑4) / (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2)))
17		elfznn 13498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℕ)
18		2cnd 12250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℂ)
19	17	nncnd 12181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℂ)
20	18, 19	mulcld 11156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ∈ ℂ)
21		4nn0 12447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℕ0
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 4 ∈ ℕ0)
23	20, 22	expcld 14099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚)↑4) ∈ ℂ)
24		1cnd 11130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 ∈ ℂ)
25	20, 24	subcld 11496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) − 1) ∈ ℂ)
26	20, 25	mulcld 11156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
27	26	sqcld 14097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2) ∈ ℂ)
28		2ne0 12276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ≠ 0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ≠ 0)
30	17	nnne0d 12218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ≠ 0)
31	18, 19, 29, 30	mulne0d 11793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ≠ 0)
32		1red 11136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 ∈ ℝ)
33		2re 12246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℝ)
35	34, 32	remulcld 11166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 1) ∈ ℝ)
36	17	nnred 12180	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℝ)
37	34, 36	remulcld 11166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ∈ ℝ)
38		1lt2 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 < 2
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 < 2)
40		2t1e2 12330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · 1) = 2
41	39, 40	breqtrrdi 5128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 < (2 · 1))
42		0le2 12274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≤ 2
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ 2)
44		elfzle1 13472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 ≤ 𝑚)
45	32, 36, 34, 43, 44	lemul2ad 12087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑚))
46	32, 35, 37, 41, 45	ltletrd 11297	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 < (2 · 𝑚))
47	32, 46	gtned 11272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ≠ 1)
48	20, 24, 47	subne0d 11505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) − 1) ≠ 0)
49	20, 25, 31, 48	mulne0d 11793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1)) ≠ 0)
50		2z 12550	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℤ)
52	26, 49, 51	expne0d 14105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2) ≠ 0)
53	23, 27, 52	divcld 11922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑚)↑4) / (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2)) ∈ ℂ)
54	9, 16, 17, 53	fvmptd 6949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘𝑚) = (((2 · 𝑚)↑4) / (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2)))
55	54, 53	eqeltrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘𝑚) ∈ ℂ)
56	55	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘𝑚) ∈ ℂ)
57		mulcl 11113	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑤) ∈ ℂ)
58	57	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑚 · 𝑤) ∈ ℂ)
59	8, 56, 58	seqcl 13975	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) ∈ ℂ)
60		2nn 12245	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
61	60	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
62		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
63	61, 62	nnmulcld 12221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
64	63	peano2nnd 12182	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
65	64	nnne0d 12218	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
66	2, 6, 59, 65	div32d 11945	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)) = (1 · ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1))))
67	59, 6, 65	divcld 11922	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
68	67	mullidd 11154	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 · ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1))) = ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
69		wallispi2lem2 46518	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) = (((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)))
70	69	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
71	66, 68, 70	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)) = ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
72	71	mpteq2ia 5181	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
73		wallispi2lem1 46517	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))‘𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)))
74	73	mpteq2ia 5181	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))‘𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)))
75		wallispi2.1	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
76	72, 74, 75	3eqtr4ri 2771	. 2 ⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))‘𝑛))
77	1, 76	wallispi 46516	1 ⊢ 𝑉 ⇝ (π / 2)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  4c4 12229  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452  seqcseq 13954  ↑cexp 14014  !cfa 14226   ⇝ cli 15437  πcpi 16022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cc 10348  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-symdif 4194  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-omul 8403  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-cmp 23362  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-ovol 25441  df-vol 25442  df-mbf 25596  df-itg1 25597  df-itg2 25598  df-ibl 25599  df-itg 25600  df-0p 25647  df-limc 25843  df-dv 25844

This theorem is referenced by:  stirlinglem15  46534