wallispi2 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem wallispi2 44789

Description: An alternative version of Wallis' formula for π ; this second formula uses factorials and it is later used to prove Stirling's approximation formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
wallispi2.1	⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))

**Assertion**
Ref	Expression
wallispi2	⊢ 𝑉 ⇝ (π / 2)

Proof of Theorem wallispi2 Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
2		1cnd 11209	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3		2cnd 12290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
4		nncn 12220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulcld 11234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
6	5, 2	addcld 11233	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
7		elnnuz 12866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1))
8	7	biimpi 215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘1))
9		eqidd 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))
10		simpr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → 𝑘 = 𝑚)
11	10	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑚))
12	11	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → ((2 · 𝑘)↑4) = ((2 · 𝑚)↑4))
13	11	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑚) − 1))
14	11, 13	oveq12d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → ((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1)) = ((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1)))
15	14	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2) = (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2))
16	12, 15	oveq12d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)) = (((2 · 𝑚)↑4) / (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2)))
17		elfznn 13530	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℕ)
18		2cnd 12290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℂ)
19	17	nncnd 12228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℂ)
20	18, 19	mulcld 11234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ∈ ℂ)
21		4nn0 12491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 4 ∈ ℕ₀)
23	20, 22	expcld 14111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚)↑4) ∈ ℂ)
24		1cnd 11209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 ∈ ℂ)
25	20, 24	subcld 11571	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) − 1) ∈ ℂ)
26	20, 25	mulcld 11234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
27	26	sqcld 14109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2) ∈ ℂ)
28		2ne0 12316	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ≠ 0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ≠ 0)
30	17	nnne0d 12262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ≠ 0)
31	18, 19, 29, 30	mulne0d 11866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ≠ 0)
32		1red 11215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 ∈ ℝ)
33		2re 12286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℝ)
35	34, 32	remulcld 11244	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 1) ∈ ℝ)
36	17	nnred 12227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℝ)
37	34, 36	remulcld 11244	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ∈ ℝ)
38		1lt2 12383	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 < 2
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 < 2)
40		2t1e2 12375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · 1) = 2
41	39, 40	breqtrrdi 5191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 < (2 · 1))
42		0le2 12314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≤ 2
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ 2)
44		elfzle1 13504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 ≤ 𝑚)
45	32, 36, 34, 43, 44	lemul2ad 12154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑚))
46	32, 35, 37, 41, 45	ltletrd 11374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 < (2 · 𝑚))
47	32, 46	gtned 11349	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ≠ 1)
48	20, 24, 47	subne0d 11580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) − 1) ≠ 0)
49	20, 25, 31, 48	mulne0d 11866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1)) ≠ 0)
50		2z 12594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℤ)
52	26, 49, 51	expne0d 14117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2) ≠ 0)
53	23, 27, 52	divcld 11990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑚)↑4) / (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2)) ∈ ℂ)
54	9, 16, 17, 53	fvmptd 7006	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘𝑚) = (((2 · 𝑚)↑4) / (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2)))
55	54, 53	eqeltrd 2834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘𝑚) ∈ ℂ)
56	55	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘𝑚) ∈ ℂ)
57		mulcl 11194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑤) ∈ ℂ)
58	57	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑚 · 𝑤) ∈ ℂ)
59	8, 56, 58	seqcl 13988	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) ∈ ℂ)
60		2nn 12285	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
61	60	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
62		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
63	61, 62	nnmulcld 12265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
64	63	peano2nnd 12229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
65	64	nnne0d 12262	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
66	2, 6, 59, 65	div32d 12013	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)) = (1 · ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1))))
67	59, 6, 65	divcld 11990	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
68	67	mullidd 11232	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 · ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1))) = ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
69		wallispi2lem2 44788	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) = (((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)))
70	69	oveq1d 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
71	66, 68, 70	3eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)) = ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
72	71	mpteq2ia 5252	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
73		wallispi2lem1 44787	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))‘𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)))
74	73	mpteq2ia 5252	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))‘𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)))
75		wallispi2.1	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
76	72, 74, 75	3eqtr4ri 2772	. 2 ⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))‘𝑛))
77	1, 76	wallispi 44786	1 ⊢ 𝑉 ⇝ (π / 2)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ∧ wa 397 = wceq 1542 ∈ wcel 2107 ≠ wne 2941 class class class wbr 5149 ↦ cmpt 5232 ‘cfv 6544 (class class class)co 7409 ℂcc 11108 ℝcr 11109 0cc0 11110 1c1 11111 + caddc 11113 · cmul 11115 < clt 11248 ≤ cle 11249 − cmin 11444 / cdiv 11871 ℕcn 12212 2c2 12267 4c4 12269 ℕ₀cn0 12472 ℤcz 12558 ℤ_≥cuz 12822 ...cfz 13484 seqcseq 13966 ↑cexp 14027 !cfa 14233 ⇝ cli 15428 πcpi 16010

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5286 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-inf2 9636 ax-cc 10430 ax-cnex 11166 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186 ax-pre-mulgt0 11187 ax-pre-sup 11188 ax-addf 11189 ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-symdif 4243 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-tp 4634 df-op 4636 df-uni 4910 df-int 4952 df-iun 5000 df-iin 5001 df-disj 5115 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-se 5633 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-isom 6553 df-riota 7365 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-of 7670 df-ofr 7671 df-om 7856 df-1st 7975 df-2nd 7976 df-supp 8147 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8371 df-rdg 8410 df-1o 8466 df-2o 8467 df-oadd 8470 df-omul 8471 df-er 8703 df-map 8822 df-pm 8823 df-ixp 8892 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-fin 8943 df-fsupp 9362 df-fi 9406 df-sup 9437 df-inf 9438 df-oi 9505 df-dju 9896 df-card 9934 df-acn 9937 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-xr 11252 df-ltxr 11253 df-le 11254 df-sub 11446 df-neg 11447 df-div 11872 df-nn 12213 df-2 12275 df-3 12276 df-4 12277 df-5 12278 df-6 12279 df-7 12280 df-8 12281 df-9 12282 df-n0 12473 df-z 12559 df-dec 12678 df-uz 12823 df-q 12933 df-rp 12975 df-xneg 13092 df-xadd 13093 df-xmul 13094 df-ioo 13328 df-ioc 13329 df-ico 13330 df-icc 13331 df-fz 13485 df-fzo 13628 df-fl 13757 df-mod 13835 df-seq 13967 df-exp 14028 df-fac 14234 df-bc 14263 df-hash 14291 df-shft 15014 df-cj 15046 df-re 15047 df-im 15048 df-sqrt 15182 df-abs 15183 df-limsup 15415 df-clim 15432 df-rlim 15433 df-sum 15633 df-ef 16011 df-sin 16013 df-cos 16014 df-pi 16016 df-struct 17080 df-sets 17097 df-slot 17115 df-ndx 17127 df-base 17145 df-ress 17174 df-plusg 17210 df-mulr 17211 df-starv 17212 df-sca 17213 df-vsca 17214 df-ip 17215 df-tset 17216 df-ple 17217 df-ds 17219 df-unif 17220 df-hom 17221 df-cco 17222 df-rest 17368 df-topn 17369 df-0g 17387 df-gsum 17388 df-topgen 17389 df-pt 17390 df-prds 17393 df-xrs 17448 df-qtop 17453 df-imas 17454 df-xps 17456 df-mre 17530 df-mrc 17531 df-acs 17533 df-mgm 18561 df-sgrp 18610 df-mnd 18626 df-submnd 18672 df-mulg 18951 df-cntz 19181 df-cmn 19650 df-psmet 20936 df-xmet 20937 df-met 20938 df-bl 20939 df-mopn 20940 df-fbas 20941 df-fg 20942 df-cnfld 20945 df-top 22396 df-topon 22413 df-topsp 22435 df-bases 22449 df-cld 22523 df-ntr 22524 df-cls 22525 df-nei 22602 df-lp 22640 df-perf 22641 df-cn 22731 df-cnp 22732 df-haus 22819 df-cmp 22891 df-tx 23066 df-hmeo 23259 df-fil 23350 df-fm 23442 df-flim 23443 df-flf 23444 df-xms 23826 df-ms 23827 df-tms 23828 df-cncf 24394 df-ovol 24981 df-vol 24982 df-mbf 25136 df-itg1 25137 df-itg2 25138 df-ibl 25139 df-itg 25140 df-0p 25187 df-limc 25383 df-dv 25384

This theorem is referenced by: stirlinglem15 44804

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