HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhhl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhhl 28993
Description: The Hilbert space structure is a complex Hilbert space. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhhl.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
Assertion
Ref Expression
hhhl 𝑈 ∈ CHilOLD

Proof of Theorem hhhl
StepHypRef Expression
1 hhhl.1 . . . 4 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
21hhnv 28954 . . 3 𝑈 ∈ NrmCVec
3 eqid 2824 . . . 4 (IndMet‘𝑈) = (IndMet‘𝑈)
41, 3hhcms 28992 . . 3 (IndMet‘𝑈) ∈ (CMet‘ ℋ)
51hhba 28956 . . . 4 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
65, 3iscbn 28653 . . 3 (𝑈 ∈ CBan ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (IndMet‘𝑈) ∈ (CMet‘ ℋ)))
72, 4, 6mpbir2an 710 . 2 𝑈 ∈ CBan
81hhph 28967 . 2 𝑈 ∈ CPreHilOLD
9 ishlo 28676 . 2 (𝑈 ∈ CHilOLD ↔ (𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑈 ∈ CPreHilOLD))
107, 8, 9mpbir2an 710 1 𝑈 ∈ CHilOLD
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2115  cop 4556  cfv 6343  CMetccmet 23864  NrmCVeccnv 28373  IndMetcims 28380  CPreHilOLDccphlo 28601  CBanccbn 28651  CHilOLDchlo 28674  chba 28708   + cva 28709   · csm 28710  normcno 28712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cc 9855  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615  ax-hilex 28788  ax-hfvadd 28789  ax-hvcom 28790  ax-hvass 28791  ax-hv0cl 28792  ax-hvaddid 28793  ax-hfvmul 28794  ax-hvmulid 28795  ax-hvmulass 28796  ax-hvdistr1 28797  ax-hvdistr2 28798  ax-hvmul0 28799  ax-hfi 28868  ax-his1 28871  ax-his2 28872  ax-his3 28873  ax-his4 28874  ax-hcompl 28991
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-acn 9368  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ico 12741  df-fz 12895  df-fl 13166  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-rest 16696  df-topgen 16717  df-psmet 20090  df-xmet 20091  df-met 20092  df-bl 20093  df-mopn 20094  df-fbas 20095  df-fg 20096  df-top 21505  df-topon 21522  df-bases 21557  df-ntr 21631  df-nei 21709  df-lm 21840  df-fil 22457  df-fm 22549  df-flim 22550  df-flf 22551  df-cfil 23865  df-cau 23866  df-cmet 23867  df-grpo 28282  df-gid 28283  df-ginv 28284  df-gdiv 28285  df-ablo 28334  df-vc 28348  df-nv 28381  df-va 28384  df-ba 28385  df-sm 28386  df-0v 28387  df-vs 28388  df-nmcv 28389  df-ims 28390  df-ph 28602  df-cbn 28652  df-hlo 28675  df-hnorm 28757  df-hvsub 28760  df-hlim 28761  df-hcau 28762
This theorem is referenced by:  hilhl  28995
  Copyright terms: Public domain W3C validator