Theorem hhims 31375

Description: The induced metric of Hilbert space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhnv.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhims.2	⊢ 𝐷 = (normℎ ∘ −ℎ )

Assertion

Ref	Expression
hhims	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Proof of Theorem hhims

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhims.2	. 2 ⊢ 𝐷 = (normℎ ∘ −ℎ )
2		hhnv.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
3	2	hhnv 31368	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4	2	hhvs 31373	. . . 4 ⊢ −ℎ = ( −𝑣 ‘𝑈)
5	2	hhnm 31374	. . . 4 ⊢ normℎ = (normCV‘𝑈)
6		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (IndMet‘𝑈) = (IndMet‘𝑈)
7	4, 5, 6	imsval 30888	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (IndMet‘𝑈) = (normℎ ∘ −ℎ ))
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (IndMet‘𝑈) = (normℎ ∘ −ℎ )
9	1, 8	eqtr4i 2788	1 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ⟨cop 4588   ∘ ccom 5651  ‘cfv 6521  NrmCVeccnv 30787  IndMetcims 30794   +_ℎ cva 31123   ·_ℎ csm 31124  norm_ℎcno 31126   −_ℎ cmv 31128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-hilex 31202  ax-hfvadd 31203  ax-hvcom 31204  ax-hvass 31205  ax-hv0cl 31206  ax-hvaddid 31207  ax-hfvmul 31208  ax-hvmulid 31209  ax-hvmulass 31210  ax-hvdistr1 31211  ax-hvdistr2 31212  ax-hvmul0 31213  ax-hfi 31282  ax-his1 31285  ax-his2 31286  ax-his3 31287  ax-his4 31288

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-grpo 30696  df-gid 30697  df-ginv 30698  df-gdiv 30699  df-ablo 30748  df-vc 30762  df-nv 30795  df-va 30798  df-ba 30799  df-sm 30800  df-0v 30801  df-vs 30802  df-nmcv 30803  df-ims 30804  df-hnorm 31171  df-hvsub 31174

This theorem is referenced by:  hhims2  31376  hlimadd  31396  hilmet  31397  hilmetdval  31399  hilcms  31408  hhsscms  31481  occllem  31506  nlelchi  32264  hmopidmchi  32354