Theorem hhims 29735

Description: The induced metric of Hilbert space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhnv.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhims.2	⊢ 𝐷 = (normℎ ∘ −ℎ )

Assertion

Ref	Expression
hhims	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Proof of Theorem hhims

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhims.2	. 2 ⊢ 𝐷 = (normℎ ∘ −ℎ )
2		hhnv.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
3	2	hhnv 29728	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4	2	hhvs 29733	. . . 4 ⊢ −ℎ = ( −𝑣 ‘𝑈)
5	2	hhnm 29734	. . . 4 ⊢ normℎ = (normCV‘𝑈)
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (IndMet‘𝑈) = (IndMet‘𝑈)
7	4, 5, 6	imsval 29248	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (IndMet‘𝑈) = (normℎ ∘ −ℎ ))
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (IndMet‘𝑈) = (normℎ ∘ −ℎ )
9	1, 8	eqtr4i 2767	1 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ⟨cop 4578   ∘ ccom 5618  ‘cfv 6473  NrmCVeccnv 29147  IndMetcims 29154   +_ℎ cva 29483   ·_ℎ csm 29484  norm_ℎcno 29486   −_ℎ cmv 29488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042  ax-hilex 29562  ax-hfvadd 29563  ax-hvcom 29564  ax-hvass 29565  ax-hv0cl 29566  ax-hvaddid 29567  ax-hfvmul 29568  ax-hvmulid 29569  ax-hvmulass 29570  ax-hvdistr1 29571  ax-hvdistr2 29572  ax-hvmul0 29573  ax-hfi 29642  ax-his1 29645  ax-his2 29646  ax-his3 29647  ax-his4 29648

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-sup 9291  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-rp 12824  df-seq 13815  df-exp 13876  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-grpo 29056  df-gid 29057  df-ginv 29058  df-gdiv 29059  df-ablo 29108  df-vc 29122  df-nv 29155  df-va 29158  df-ba 29159  df-sm 29160  df-0v 29161  df-vs 29162  df-nmcv 29163  df-ims 29164  df-hnorm 29531  df-hvsub 29534

This theorem is referenced by:  hhims2  29736  hlimadd  29756  hilmet  29757  hilmetdval  29759  hilcms  29768  hhsscms  29841  occllem  29866  nlelchi  30624  hmopidmchi  30714