Theorem hhims 31774

Description: The induced metric of Hilbert space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhnv.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhims.2	⊢ 𝐷 = (normℎ ∘ −ℎ )

Assertion

Ref	Expression
hhims	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Proof of Theorem hhims

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhims.2	. 2 ⊢ 𝐷 = (normℎ ∘ −ℎ )
2		hhnv.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
3	2	hhnv 31767	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4	2	hhvs 31772	. . . 4 ⊢ −ℎ = ( −𝑣 ‘𝑈)
5	2	hhnm 31773	. . . 4 ⊢ normℎ = (normCV‘𝑈)
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (IndMet‘𝑈) = (IndMet‘𝑈)
7	4, 5, 6	imsval 31287	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (IndMet‘𝑈) = (normℎ ∘ −ℎ ))
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (IndMet‘𝑈) = (normℎ ∘ −ℎ )
9	1, 8	eqtr4i 2787	1 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590   ∘ ccom 5655  ‘cfv 6538  NrmCVeccnv 31186  IndMetcims 31193   +_ℎ cva 31522   ·_ℎ csm 31523  norm_ℎcno 31525   −_ℎ cmv 31527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-hilex 31601  ax-hfvadd 31602  ax-hvcom 31603  ax-hvass 31604  ax-hv0cl 31605  ax-hvaddid 31606  ax-hfvmul 31607  ax-hvmulid 31608  ax-hvmulass 31609  ax-hvdistr1 31610  ax-hvdistr2 31611  ax-hvmul0 31612  ax-hfi 31681  ax-his1 31684  ax-his2 31685  ax-his3 31686  ax-his4 31687

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-grpo 31095  df-gid 31096  df-ginv 31097  df-gdiv 31098  df-ablo 31147  df-vc 31161  df-nv 31194  df-va 31197  df-ba 31198  df-sm 31199  df-0v 31200  df-vs 31201  df-nmcv 31202  df-ims 31203  df-hnorm 31570  df-hvsub 31573

This theorem is used by:  hhims2  31775  hlimadd  31795  hilmet  31796  hilmetdval  31798  hilcms  31807  hhsscms  31880  occllem  31905  nlelchi  32663  hmopidmchi  32753