Theorem hhxmet 31557

Description: The induced metric of Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhnv.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhims2.2	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hhxmet	⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ)

Proof of Theorem hhxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhnv.1	. . 3 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
2		hhims2.2	. . 3 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
3	1, 2	hhmet 31556	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘ ℋ)
4		metxmet 24521	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘ ℋ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ))
5	3, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4600  ‘cfv 6543  ∞Metcxmet 21537  Metcmet 21538  IndMetcims 30973   ℋchba 31301   +_ℎ cva 31302   ·_ℎ csm 31303  norm_ℎcno 31305

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197  ax-mulf 11198  ax-hilex 31381  ax-hfvadd 31382  ax-hvcom 31383  ax-hvass 31384  ax-hv0cl 31385  ax-hvaddid 31386  ax-hfvmul 31387  ax-hvmulid 31388  ax-hvmulass 31389  ax-hvdistr1 31390  ax-hvdistr2 31391  ax-hvmul0 31392  ax-hfi 31461  ax-his1 31464  ax-his2 31465  ax-his3 31466  ax-his4 31467

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-xadd 13156  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-xmet 21545  df-met 21546  df-grpo 30875  df-gid 30876  df-ginv 30877  df-gdiv 30878  df-ablo 30927  df-vc 30941  df-nv 30974  df-va 30977  df-ba 30978  df-sm 30979  df-0v 30980  df-vs 30981  df-nmcv 30982  df-ims 30983  df-hnorm 31350  df-hvsub 31353

This theorem is used by:  hlimadd  31575  hlim0  31617  hlimcaui  31618  hlimf  31619