Theorem idcncf 23670

Description: The identity function is a continuous function on ℂ. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Moved into main set.mm as cncfmptid 23665 and may be deleted by mathbox owner, JM. --MC 12-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
idcncf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
idcncf	⊢ 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ)

Proof of Theorem idcncf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idcncf.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)
2		ssid 3899	. . 3 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
3		cncfmptid 23665	. . 3 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
4	2, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
5	1, 4	eqeltri 2829	1 ⊢ 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3843   ↦ cmpt 5110  (class class class)co 7170  ℂcc 10613  –cn→ccncf 23628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-fz 12982  df-seq 13461  df-exp 13522  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-rest 16799  df-topn 16800  df-topgen 16820  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-xms 23073  df-ms 23074  df-cncf 23630

This theorem is referenced by:  sub1cncf  23671  sub2cncf  23672