Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islininds2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islininds2 47663
Description: Implication of being a linearly independent subset of a (left) module over a nonzero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islindeps2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
islindeps2.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
islindeps2.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
islindeps2.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
islindeps2.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
islininds2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ (𝑆 linIndS 𝑀 β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑓 finSupp 0 ∨ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) β‰  𝑠)))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓,𝑠   𝑓,𝐸,𝑠   𝑓,𝑀,𝑠   𝑅,𝑓,𝑠   𝑆,𝑓,𝑠   𝑓,𝑍,𝑠   0 ,𝑓,𝑠

Proof of Theorem islininds2
StepHypRef Expression
1 lindepsnlininds 47631 . . . . 5 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ Β¬ 𝑆 linIndS 𝑀))
21ancoms 457 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ Β¬ 𝑆 linIndS 𝑀))
323adant3 1129 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ Β¬ 𝑆 linIndS 𝑀))
43con2bid 353 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ Β¬ 𝑆 linDepS 𝑀))
5 notnotb 314 . . . . . . . . . 10 (𝑓 finSupp 0 ↔ Β¬ Β¬ 𝑓 finSupp 0 )
6 nne 2934 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) β‰  𝑠 ↔ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)
76bicomi 223 . . . . . . . . . 10 ((𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠 ↔ Β¬ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) β‰  𝑠)
85, 7anbi12i 626 . . . . . . . . 9 ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠) ↔ (Β¬ Β¬ 𝑓 finSupp 0 ∧ Β¬ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) β‰  𝑠))
9 pm4.56 986 . . . . . . . . 9 ((Β¬ Β¬ 𝑓 finSupp 0 ∧ Β¬ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) β‰  𝑠) ↔ Β¬ (Β¬ 𝑓 finSupp 0 ∨ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) β‰  𝑠))
108, 9bitri 274 . . . . . . . 8 ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠) ↔ Β¬ (Β¬ 𝑓 finSupp 0 ∨ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) β‰  𝑠))
1110rexbii 3084 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) Β¬ (Β¬ 𝑓 finSupp 0 ∨ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) β‰  𝑠))
12 rexnal 3090 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) Β¬ (Β¬ 𝑓 finSupp 0 ∨ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) β‰  𝑠) ↔ Β¬ βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑓 finSupp 0 ∨ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) β‰  𝑠))
1311, 12bitri 274 . . . . . 6 (βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠) ↔ Β¬ βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑓 finSupp 0 ∨ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) β‰  𝑠))
1413rexbii 3084 . . . . 5 (βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 Β¬ βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑓 finSupp 0 ∨ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) β‰  𝑠))
15 rexnal 3090 . . . . 5 (βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 Β¬ βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑓 finSupp 0 ∨ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) β‰  𝑠) ↔ Β¬ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑓 finSupp 0 ∨ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) β‰  𝑠))
1614, 15bitri 274 . . . 4 (βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠) ↔ Β¬ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑓 finSupp 0 ∨ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) β‰  𝑠))
17 islindeps2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
18 islindeps2.z . . . . 5 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
19 islindeps2.r . . . . 5 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
20 islindeps2.e . . . . 5 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
21 islindeps2.0 . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘…)
2217, 18, 19, 20, 21islindeps2 47662 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠) β†’ 𝑆 linDepS 𝑀))
2316, 22biimtrrid 242 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ (Β¬ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑓 finSupp 0 ∨ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) β‰  𝑠) β†’ 𝑆 linDepS 𝑀))
2423con1d 145 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ (Β¬ 𝑆 linDepS 𝑀 β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑓 finSupp 0 ∨ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) β‰  𝑠)))
254, 24sylbid 239 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ (𝑆 linIndS 𝑀 β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑓 finSupp 0 ∨ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) β‰  𝑠)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   βˆ– cdif 3937  π’« cpw 4598  {csn 4624   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ↑m cmap 8841   finSupp cfsupp 9383  Basecbs 17177  Scalarcsca 17233  0gc0g 17418  NzRingcnzr 20453  LModclmod 20745   linC clinc 47583   linIndS clininds 47619   linDepS clindeps 47620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-hash 14320  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-nzr 20454  df-lmod 20747  df-linc 47585  df-lininds 47621  df-lindeps 47623
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator