Theorem lnopcon 31555

Description: A condition equivalent to "𝑇 is continuous" when 𝑇 is linear. Theorem 3.5(iii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnopcon	⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem lnopcon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2819	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (𝑇 ∈ ContOp ↔ if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp))
2		fveq1 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (𝑇‘𝑦) = (if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦))
3	2	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) = (normℎ‘(if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)))
4	3	breq1d 5157	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) ↔ (normℎ‘(if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))
5	4	rexralbidv 3218	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))
6	1, 5	bibi12d 344	. 2 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((𝑇 ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))) ↔ (if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))))
7		idlnop 31512	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℋ) ∈ LinOp
8	7	elimel 4596	. . 3 ⊢ if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp
9	8	lnopconi 31554	. 2 ⊢ (if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))
10	6, 9	dedth 4585	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  ifcif 4527   class class class wbr 5147   I cid 5572   ↾ cres 5677  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ℝcr 11111   · cmul 11117   ≤ cle 11253   ℋchba 30439  norm_ℎcno 30443  ContOpccop 30466  LinOpclo 30467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-hilex 30519  ax-hfvadd 30520  ax-hvcom 30521  ax-hvass 30522  ax-hv0cl 30523  ax-hvaddid 30524  ax-hfvmul 30525  ax-hvmulid 30526  ax-hvmulass 30527  ax-hvdistr1 30528  ax-hvdistr2 30529  ax-hvmul0 30530  ax-hfi 30599  ax-his1 30602  ax-his2 30603  ax-his3 30604  ax-his4 30605

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-grpo 30013  df-gid 30014  df-ablo 30065  df-vc 30079  df-nv 30112  df-va 30115  df-ba 30116  df-sm 30117  df-0v 30118  df-nmcv 30120  df-hnorm 30488  df-hba 30489  df-hvsub 30491  df-nmop 31359  df-cnop 31360  df-lnop 31361  df-unop 31363

This theorem is referenced by:  lnopcnbd  31556