Theorem lnopcon 32182

Description: A condition equivalent to "𝑇 is continuous" when 𝑇 is linear. Theorem 3.5(iii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnopcon	⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem lnopcon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2849	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (𝑇 ∈ ContOp ↔ if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp))
2		fveq1 6860	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (𝑇‘𝑦) = (if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦))
3	2	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) = (normℎ‘(if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)))
4	3	breq1d 5109	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) ↔ (normℎ‘(if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))
5	4	rexralbidv 3227	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))
6	1, 5	bibi12d 347	. 2 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((𝑇 ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))) ↔ (if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))))
7		idlnop 32139	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℋ) ∈ LinOp
8	7	elimel 4549	. . 3 ⊢ if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp
9	8	lnopconi 32181	. 2 ⊢ (if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))
10	6, 9	dedth 4538	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  ifcif 4479   class class class wbr 5099   I cid 5539   ↾ cres 5647  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  ℝcr 11067   · cmul 11073   ≤ cle 11212   ℋchba 31066  norm_ℎcno 31070  ContOpccop 31093  LinOpclo 31094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-hilex 31146  ax-hfvadd 31147  ax-hvcom 31148  ax-hvass 31149  ax-hv0cl 31150  ax-hvaddid 31151  ax-hfvmul 31152  ax-hvmulid 31153  ax-hvmulass 31154  ax-hvdistr1 31155  ax-hvdistr2 31156  ax-hvmul0 31157  ax-hfi 31226  ax-his1 31229  ax-his2 31230  ax-his3 31231  ax-his4 31232

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-map 8803  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9383  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11840  df-nn 12206  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12477  df-z 12564  df-uz 12835  df-rp 12989  df-seq 14010  df-exp 14070  df-cj 15107  df-re 15108  df-im 15109  df-sqrt 15243  df-abs 15244  df-grpo 30640  df-gid 30641  df-ablo 30692  df-vc 30706  df-nv 30739  df-va 30742  df-ba 30743  df-sm 30744  df-0v 30745  df-nmcv 30747  df-hnorm 31115  df-hba 31116  df-hvsub 31118  df-nmop 31986  df-cnop 31987  df-lnop 31988  df-unop 31990

This theorem is referenced by:  lnopcnbd  32183