Theorem lnopcon 30116

Description: A condition equivalent to "𝑇 is continuous" when 𝑇 is linear. Theorem 3.5(iii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnopcon	⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem lnopcon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2825	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (𝑇 ∈ ContOp ↔ if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp))
2		fveq1 6716	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (𝑇‘𝑦) = (if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦))
3	2	fveq2d 6721	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) = (normℎ‘(if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)))
4	3	breq1d 5063	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) ↔ (normℎ‘(if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))
5	4	rexralbidv 3220	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))
6	1, 5	bibi12d 349	. 2 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((𝑇 ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))) ↔ (if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))))
7		idlnop 30073	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℋ) ∈ LinOp
8	7	elimel 4508	. . 3 ⊢ if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp
9	8	lnopconi 30115	. 2 ⊢ (if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))
10	6, 9	dedth 4497	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  ifcif 4439   class class class wbr 5053   I cid 5454   ↾ cres 5553  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℝcr 10728   · cmul 10734   ≤ cle 10868   ℋchba 29000  norm_ℎcno 29004  ContOpccop 29027  LinOpclo 29028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-hilex 29080  ax-hfvadd 29081  ax-hvcom 29082  ax-hvass 29083  ax-hv0cl 29084  ax-hvaddid 29085  ax-hfvmul 29086  ax-hvmulid 29087  ax-hvmulass 29088  ax-hvdistr1 29089  ax-hvdistr2 29090  ax-hvmul0 29091  ax-hfi 29160  ax-his1 29163  ax-his2 29164  ax-his3 29165  ax-his4 29166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-grpo 28574  df-gid 28575  df-ablo 28626  df-vc 28640  df-nv 28673  df-va 28676  df-ba 28677  df-sm 28678  df-0v 28679  df-nmcv 28681  df-hnorm 29049  df-hba 29050  df-hvsub 29052  df-nmop 29920  df-cnop 29921  df-lnop 29922  df-unop 29924

This theorem is referenced by:  lnopcnbd  30117