Theorem lnopcon 32007

Description: A condition equivalent to "𝑇 is continuous" when 𝑇 is linear. Theorem 3.5(iii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnopcon	⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem lnopcon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2819	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (𝑇 ∈ ContOp ↔ if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp))
2		fveq1 6816	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (𝑇‘𝑦) = (if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦))
3	2	fveq2d 6821	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) = (normℎ‘(if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)))
4	3	breq1d 5096	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) ↔ (normℎ‘(if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))
5	4	rexralbidv 3198	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))
6	1, 5	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((𝑇 ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))) ↔ (if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))))
7		idlnop 31964	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℋ) ∈ LinOp
8	7	elimel 4540	. . 3 ⊢ if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp
9	8	lnopconi 32006	. 2 ⊢ (if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(if(𝑇 ∈ LinOp, 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))
10	6, 9	dedth 4529	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ ContOp ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  ifcif 4470   class class class wbr 5086   I cid 5505   ↾ cres 5613  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℝcr 11000   · cmul 11006   ≤ cle 11142   ℋchba 30891  norm_ℎcno 30895  ContOpccop 30918  LinOpclo 30919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079  ax-hilex 30971  ax-hfvadd 30972  ax-hvcom 30973  ax-hvass 30974  ax-hv0cl 30975  ax-hvaddid 30976  ax-hfvmul 30977  ax-hvmulid 30978  ax-hvmulass 30979  ax-hvdistr1 30980  ax-hvdistr2 30981  ax-hvmul0 30982  ax-hfi 31051  ax-his1 31054  ax-his2 31055  ax-his3 31056  ax-his4 31057

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-seq 13904  df-exp 13964  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-grpo 30465  df-gid 30466  df-ablo 30517  df-vc 30531  df-nv 30564  df-va 30567  df-ba 30568  df-sm 30569  df-0v 30570  df-nmcv 30572  df-hnorm 30940  df-hba 30941  df-hvsub 30943  df-nmop 31811  df-cnop 31812  df-lnop 31813  df-unop 31815

This theorem is referenced by:  lnopcnbd  32008