Theorem ubth 30809

Description: Uniform Boundedness Theorem, also called the Banach-Steinhaus Theorem. Let 𝑇 be a collection of bounded linear operators on a Banach space. If, for every vector 𝑥, the norms of the operators' values are bounded, then the operators' norms are also bounded. Theorem 4.7-3 of [Kreyszig] p. 249. See also http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness_principle. (Contributed by NM, 7-Nov-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ubth.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ubth.2	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
ubth.3	⊢ 𝑀 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ubth	⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑀‘𝑡) ≤ 𝑑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝑡,𝑑,𝑁   𝑇,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑈,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑊,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑋,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑡,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem ubth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7397	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑈 BLnOp 𝑊) = (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊))
2	1	sseq2d 3982	. . . 4 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊) ↔ 𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊)))
3		ubth.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		fveq2 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
5	3, 4	eqtrid 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑋 = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
6	5	raleqdv 3301	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
7		ubth.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
8		oveq1 7397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊))
9	7, 8	eqtrid 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑀 = (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊))
10	9	fveq1d 6863	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑀‘𝑡) = ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡))
11	10	breq1d 5120	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝑀‘𝑡) ≤ 𝑑 ↔ ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
12	11	rexralbidv 3204	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑀‘𝑡) ≤ 𝑑 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
13	6, 12	bibi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑀‘𝑡) ≤ 𝑑) ↔ (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)))
14	2, 13	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑀‘𝑡) ≤ 𝑑)) ↔ (𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊) → (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))))
15		oveq2 7398	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊) = (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
16	15	sseq2d 3982	. . . 4 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊) ↔ 𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
17		ubth.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
18		fveq2 6861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (normCV‘𝑊) = (normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
19	17, 18	eqtrid 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑁 = (normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
20	19	fveq1d 6863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) = ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡‘𝑥)))
21	20	breq1d 5120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
22	21	rexralbidv 3204	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
23	22	ralbidv 3157	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
24		oveq2 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊) = (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
25	24	fveq1d 6863	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) = ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡))
26	25	breq1d 5120	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 ↔ ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡) ≤ 𝑑))
27	26	rexralbidv 3204	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡) ≤ 𝑑))
28	23, 27	bibi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑) ↔ (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡) ≤ 𝑑)))
29	16, 28	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊) → (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) ↔ (𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) → (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡) ≤ 𝑑))))
30		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
31		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
32		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (IndMet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (IndMet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
33		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))) = (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
34		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
35	34	cnbn 30805	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ CBan
36	35	elimel 4561	. . . 4 ⊢ if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) ∈ CBan
37		elimnvu 30620	. . . 4 ⊢ if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) ∈ NrmCVec
38		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) → 𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
39	30, 31, 32, 33, 36, 37, 38	ubthlem3 30808	. . 3 ⊢ (𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) → (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡) ≤ 𝑑))
40	14, 29, 39	dedth2h 4551	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑀‘𝑡) ≤ 𝑑)))
41	40	3impia 1117	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑀‘𝑡) ≤ 𝑑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917  ifcif 4491  ⟨cop 4598   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074   + caddc 11078   · cmul 11080   ≤ cle 11216  abscabs 15207  MetOpencmopn 21261  NrmCVeccnv 30520  BaseSetcba 30522  norm_CVcnmcv 30526  IndMetcims 30527   normOp_OLD cnmoo 30677   BLnOp cblo 30678  CBanccbn 30798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-dc 10406  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-lm 23123  df-haus 23209  df-cmp 23281  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-fcls 23835  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-cfil 25162  df-cau 25163  df-cmet 25164  df-grpo 30429  df-gid 30430  df-ginv 30431  df-gdiv 30432  df-ablo 30481  df-vc 30495  df-nv 30528  df-va 30531  df-ba 30532  df-sm 30533  df-0v 30534  df-vs 30535  df-nmcv 30536  df-ims 30537  df-lno 30680  df-nmoo 30681  df-blo 30682  df-0o 30683  df-cbn 30799

This theorem is referenced by:  htthlem  30853