Theorem ubth 29235

Description: Uniform Boundedness Theorem, also called the Banach-Steinhaus Theorem. Let 𝑇 be a collection of bounded linear operators on a Banach space. If, for every vector 𝑥, the norms of the operators' values are bounded, then the operators' norms are also bounded. Theorem 4.7-3 of [Kreyszig] p. 249. See also http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness_principle. (Contributed by NM, 7-Nov-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ubth.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ubth.2	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
ubth.3	⊢ 𝑀 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ubth	⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑀‘𝑡) ≤ 𝑑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝑡,𝑑,𝑁   𝑇,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑈,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑊,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑋,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑡,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem ubth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7282	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑈 BLnOp 𝑊) = (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊))
2	1	sseq2d 3953	. . . 4 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊) ↔ 𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊)))
3		ubth.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
5	3, 4	eqtrid 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑋 = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
6	5	raleqdv 3348	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
7		ubth.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
8		oveq1 7282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊))
9	7, 8	eqtrid 2790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑀 = (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊))
10	9	fveq1d 6776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑀‘𝑡) = ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡))
11	10	breq1d 5084	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝑀‘𝑡) ≤ 𝑑 ↔ ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
12	11	rexralbidv 3230	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑀‘𝑡) ≤ 𝑑 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
13	6, 12	bibi12d 346	. . . 4 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑀‘𝑡) ≤ 𝑑) ↔ (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)))
14	2, 13	imbi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑀‘𝑡) ≤ 𝑑)) ↔ (𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊) → (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))))
15		oveq2 7283	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊) = (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
16	15	sseq2d 3953	. . . 4 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊) ↔ 𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
17		ubth.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
18		fveq2 6774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (normCV‘𝑊) = (normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
19	17, 18	eqtrid 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑁 = (normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
20	19	fveq1d 6776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) = ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡‘𝑥)))
21	20	breq1d 5084	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
22	21	rexralbidv 3230	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
23	22	ralbidv 3112	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
24		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊) = (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
25	24	fveq1d 6776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) = ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡))
26	25	breq1d 5084	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 ↔ ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡) ≤ 𝑑))
27	26	rexralbidv 3230	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡) ≤ 𝑑))
28	23, 27	bibi12d 346	. . . 4 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑) ↔ (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡) ≤ 𝑑)))
29	16, 28	imbi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊) → (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) ↔ (𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) → (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡) ≤ 𝑑))))
30		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
31		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
32		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (IndMet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (IndMet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
33		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))) = (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
34		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
35	34	cnbn 29231	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ CBan
36	35	elimel 4528	. . . 4 ⊢ if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) ∈ CBan
37		elimnvu 29046	. . . 4 ⊢ if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) ∈ NrmCVec
38		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) → 𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
39	30, 31, 32, 33, 36, 37, 38	ubthlem3 29234	. . 3 ⊢ (𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) → (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡) ≤ 𝑑))
40	14, 29, 39	dedth2h 4518	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑀‘𝑡) ≤ 𝑑)))
41	40	3impia 1116	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑀‘𝑡) ≤ 𝑑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887  ifcif 4459  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870   + caddc 10874   · cmul 10876   ≤ cle 11010  abscabs 14945  MetOpencmopn 20587  NrmCVeccnv 28946  BaseSetcba 28948  norm_CVcnmcv 28952  IndMetcims 28953   normOp_OLD cnmoo 29103   BLnOp cblo 29104  CBanccbn 29224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-dc 10202  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-lm 22380  df-haus 22466  df-cmp 22538  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-fcls 23092  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-cfil 24419  df-cau 24420  df-cmet 24421  df-grpo 28855  df-gid 28856  df-ginv 28857  df-gdiv 28858  df-ablo 28907  df-vc 28921  df-nv 28954  df-va 28957  df-ba 28958  df-sm 28959  df-0v 28960  df-vs 28961  df-nmcv 28962  df-ims 28963  df-lno 29106  df-nmoo 29107  df-blo 29108  df-0o 29109  df-cbn 29225

This theorem is referenced by:  htthlem  29279