MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ubth 29857
Description: Uniform Boundedness Theorem, also called the Banach-Steinhaus Theorem. Let 𝑇 be a collection of bounded linear operators on a Banach space. If, for every vector π‘₯, the norms of the operators' values are bounded, then the operators' norms are also bounded. Theorem 4.7-3 of [Kreyszig] p. 249. See also http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness_principle. (Contributed by NM, 7-Nov-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ubth.2 𝑁 = (normCVβ€˜π‘Š)
ubth.3 𝑀 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ubth ((π‘ˆ ∈ CBan ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 βŠ† (π‘ˆ BLnOp π‘Š)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘€β€˜π‘‘) ≀ 𝑑))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑐,𝑑,𝑑,𝑁   𝑇,𝑐,𝑑,𝑑,π‘₯   π‘ˆ,𝑐,𝑑,𝑑,π‘₯   π‘Š,𝑐,𝑑,𝑑,π‘₯   𝑋,𝑐,𝑑,𝑑,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑀(π‘₯,𝑑,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem ubth
StepHypRef Expression
1 oveq1 7365 . . . . 5 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (π‘ˆ BLnOp π‘Š) = (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp π‘Š))
21sseq2d 3977 . . . 4 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (𝑇 βŠ† (π‘ˆ BLnOp π‘Š) ↔ 𝑇 βŠ† (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp π‘Š)))
3 ubth.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
4 fveq2 6843 . . . . . . 7 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
53, 4eqtrid 2785 . . . . . 6 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ 𝑋 = (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
65raleqdv 3312 . . . . 5 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐))
7 ubth.3 . . . . . . . . 9 𝑀 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
8 oveq1 7365 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (π‘ˆ normOpOLD π‘Š) = (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š))
97, 8eqtrid 2785 . . . . . . . 8 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ 𝑀 = (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š))
109fveq1d 6845 . . . . . . 7 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (π‘€β€˜π‘‘) = ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘))
1110breq1d 5116 . . . . . 6 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ ((π‘€β€˜π‘‘) ≀ 𝑑 ↔ ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘) ≀ 𝑑))
1211rexralbidv 3211 . . . . 5 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘€β€˜π‘‘) ≀ 𝑑 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘) ≀ 𝑑))
136, 12bibi12d 346 . . . 4 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘€β€˜π‘‘) ≀ 𝑑) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘) ≀ 𝑑)))
142, 13imbi12d 345 . . 3 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ ((𝑇 βŠ† (π‘ˆ BLnOp π‘Š) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘€β€˜π‘‘) ≀ 𝑑)) ↔ (𝑇 βŠ† (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp π‘Š) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘) ≀ 𝑑))))
15 oveq2 7366 . . . . 5 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp π‘Š) = (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
1615sseq2d 3977 . . . 4 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (𝑇 βŠ† (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp π‘Š) ↔ 𝑇 βŠ† (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))))
17 ubth.2 . . . . . . . . . 10 𝑁 = (normCVβ€˜π‘Š)
18 fveq2 6843 . . . . . . . . . 10 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (normCVβ€˜π‘Š) = (normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
1917, 18eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ 𝑁 = (normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
2019fveq1d 6845 . . . . . . . 8 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) = ((normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)))
2120breq1d 5116 . . . . . . 7 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ ((π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ ((normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐))
2221rexralbidv 3211 . . . . . 6 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐))
2322ralbidv 3171 . . . . 5 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐))
24 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š) = (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
2524fveq1d 6845 . . . . . . 7 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘) = ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜π‘‘))
2625breq1d 5116 . . . . . 6 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘) ≀ 𝑑 ↔ ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜π‘‘) ≀ 𝑑))
2726rexralbidv 3211 . . . . 5 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘) ≀ 𝑑 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜π‘‘) ≀ 𝑑))
2823, 27bibi12d 346 . . . 4 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘) ≀ 𝑑) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜π‘‘) ≀ 𝑑)))
2916, 28imbi12d 345 . . 3 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ ((𝑇 βŠ† (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp π‘Š) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘) ≀ 𝑑)) ↔ (𝑇 βŠ† (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜π‘‘) ≀ 𝑑))))
30 eqid 2733 . . . 4 (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)) = (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))
31 eqid 2733 . . . 4 (normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)) = (normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))
32 eqid 2733 . . . 4 (IndMetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)) = (IndMetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))
33 eqid 2733 . . . 4 (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))) = (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
34 eqid 2733 . . . . . 6 ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩ = ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩
3534cnbn 29853 . . . . 5 ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩ ∈ CBan
3635elimel 4556 . . . 4 if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) ∈ CBan
37 elimnvu 29668 . . . 4 if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) ∈ NrmCVec
38 id 22 . . . 4 (𝑇 βŠ† (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)) β†’ 𝑇 βŠ† (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
3930, 31, 32, 33, 36, 37, 38ubthlem3 29856 . . 3 (𝑇 βŠ† (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜π‘‘) ≀ 𝑑))
4014, 29, 39dedth2h 4546 . 2 ((π‘ˆ ∈ CBan ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ (𝑇 βŠ† (π‘ˆ BLnOp π‘Š) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘€β€˜π‘‘) ≀ 𝑑)))
41403impia 1118 1 ((π‘ˆ ∈ CBan ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 βŠ† (π‘ˆ BLnOp π‘Š)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘€β€˜π‘‘) ≀ 𝑑))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3911  ifcif 4487  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055   + caddc 11059   Β· cmul 11061   ≀ cle 11195  abscabs 15125  MetOpencmopn 20802  NrmCVeccnv 29568  BaseSetcba 29570  normCVcnmcv 29574  IndMetcims 29575   normOpOLD cnmoo 29725   BLnOp cblo 29726  CBanccbn 29846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-dc 10387  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-lm 22596  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-fcls 23308  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-cfil 24635  df-cau 24636  df-cmet 24637  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-ims 29585  df-lno 29728  df-nmoo 29729  df-blo 29730  df-0o 29731  df-cbn 29847
This theorem is referenced by:  htthlem  29901
  Copyright terms: Public domain W3C validator