Theorem ubth 31076

Description: Uniform Boundedness Theorem, also called the Banach-Steinhaus Theorem. Let 𝑇 be a collection of bounded linear operators on a Banach space. If, for every vector 𝑥, the norms of the operators' values are bounded, then the operators' norms are also bounded. Theorem 4.7-3 of [Kreyszig] p. 249. See also http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness_principle. (Contributed by NM, 7-Nov-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ubth.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ubth.2	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
ubth.3	⊢ 𝑀 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ubth	⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑀‘𝑡) ≤ 𝑑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝑡,𝑑,𝑁   𝑇,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑈,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑊,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑋,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑡,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem ubth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7403	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑈 BLnOp 𝑊) = (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊))
2	1	sseq2d 3968	. . . 4 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊) ↔ 𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊)))
3		ubth.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		fveq2 6867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
5	3, 4	eqtrid 2809	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑋 = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
6	5	raleqdv 3320	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
7		ubth.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
8		oveq1 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊))
9	7, 8	eqtrid 2809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑀 = (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊))
10	9	fveq1d 6869	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑀‘𝑡) = ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡))
11	10	breq1d 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝑀‘𝑡) ≤ 𝑑 ↔ ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
12	11	rexralbidv 3228	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑀‘𝑡) ≤ 𝑑 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
13	6, 12	bibi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑀‘𝑡) ≤ 𝑑) ↔ (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)))
14	2, 13	imbi12d 346	. . 3 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑀‘𝑡) ≤ 𝑑)) ↔ (𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊) → (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))))
15		oveq2 7404	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊) = (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
16	15	sseq2d 3968	. . . 4 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊) ↔ 𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
17		ubth.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
18		fveq2 6867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (normCV‘𝑊) = (normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
19	17, 18	eqtrid 2809	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑁 = (normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
20	19	fveq1d 6869	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) = ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡‘𝑥)))
21	20	breq1d 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
22	21	rexralbidv 3228	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
23	22	ralbidv 3185	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
24		oveq2 7404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊) = (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
25	24	fveq1d 6869	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) = ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡))
26	25	breq1d 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 ↔ ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡) ≤ 𝑑))
27	26	rexralbidv 3228	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡) ≤ 𝑑))
28	23, 27	bibi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑) ↔ (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡) ≤ 𝑑)))
29	16, 28	imbi12d 346	. . 3 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊) → (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) ↔ (𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) → (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡) ≤ 𝑑))))
30		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
31		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
32		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (IndMet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (IndMet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
33		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))) = (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
34		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
35	34	cnbn 31072	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ CBan
36	35	elimel 4550	. . . 4 ⊢ if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) ∈ CBan
37		elimnvu 30887	. . . 4 ⊢ if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) ∈ NrmCVec
38		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) → 𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
39	30, 31, 32, 33, 36, 37, 38	ubthlem3 31075	. . 3 ⊢ (𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) → (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡) ≤ 𝑑))
40	14, 29, 39	dedth2h 4540	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑀‘𝑡) ≤ 𝑑)))
41	40	3impia 1130	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑀‘𝑡) ≤ 𝑑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3904  ifcif 4480  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℝcr 11072   + caddc 11076   · cmul 11078   ≤ cle 11217  abscabs 15261  MetOpencmopn 21414  NrmCVeccnv 30787  BaseSetcba 30789  norm_CVcnmcv 30793  IndMetcims 30794   normOp_OLD cnmoo 30944   BLnOp cblo 30945  CBanccbn 31065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-dc 10403  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152  ax-mulf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-mulg 19110  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-psmet 21416  df-xmet 21417  df-met 21418  df-bl 21419  df-mopn 21420  df-fbas 21421  df-fg 21422  df-cnfld 21425  df-top 22954  df-topon 22971  df-topsp 22993  df-bases 23006  df-cld 23079  df-ntr 23080  df-cls 23081  df-nei 23158  df-cn 23287  df-cnp 23288  df-lm 23289  df-haus 23375  df-cmp 23447  df-tx 23622  df-hmeo 23815  df-fil 23906  df-fm 23998  df-flim 23999  df-flf 24000  df-fcls 24001  df-xms 24380  df-ms 24381  df-tms 24382  df-cncf 24940  df-cfil 25317  df-cau 25318  df-cmet 25319  df-grpo 30696  df-gid 30697  df-ginv 30698  df-gdiv 30699  df-ablo 30748  df-vc 30762  df-nv 30795  df-va 30798  df-ba 30799  df-sm 30800  df-0v 30801  df-vs 30802  df-nmcv 30803  df-ims 30804  df-lno 30947  df-nmoo 30948  df-blo 30949  df-0o 30950  df-cbn 31066

This theorem is referenced by:  htthlem  31120