MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ubth 30113
Description: Uniform Boundedness Theorem, also called the Banach-Steinhaus Theorem. Let 𝑇 be a collection of bounded linear operators on a Banach space. If, for every vector π‘₯, the norms of the operators' values are bounded, then the operators' norms are also bounded. Theorem 4.7-3 of [Kreyszig] p. 249. See also http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness_principle. (Contributed by NM, 7-Nov-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ubth.2 𝑁 = (normCVβ€˜π‘Š)
ubth.3 𝑀 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ubth ((π‘ˆ ∈ CBan ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 βŠ† (π‘ˆ BLnOp π‘Š)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘€β€˜π‘‘) ≀ 𝑑))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑐,𝑑,𝑑,𝑁   𝑇,𝑐,𝑑,𝑑,π‘₯   π‘ˆ,𝑐,𝑑,𝑑,π‘₯   π‘Š,𝑐,𝑑,𝑑,π‘₯   𝑋,𝑐,𝑑,𝑑,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑀(π‘₯,𝑑,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem ubth
StepHypRef Expression
1 oveq1 7412 . . . . 5 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (π‘ˆ BLnOp π‘Š) = (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp π‘Š))
21sseq2d 4013 . . . 4 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (𝑇 βŠ† (π‘ˆ BLnOp π‘Š) ↔ 𝑇 βŠ† (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp π‘Š)))
3 ubth.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
4 fveq2 6888 . . . . . . 7 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
53, 4eqtrid 2784 . . . . . 6 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ 𝑋 = (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
65raleqdv 3325 . . . . 5 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐))
7 ubth.3 . . . . . . . . 9 𝑀 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
8 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (π‘ˆ normOpOLD π‘Š) = (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š))
97, 8eqtrid 2784 . . . . . . . 8 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ 𝑀 = (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š))
109fveq1d 6890 . . . . . . 7 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (π‘€β€˜π‘‘) = ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘))
1110breq1d 5157 . . . . . 6 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ ((π‘€β€˜π‘‘) ≀ 𝑑 ↔ ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘) ≀ 𝑑))
1211rexralbidv 3220 . . . . 5 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘€β€˜π‘‘) ≀ 𝑑 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘) ≀ 𝑑))
136, 12bibi12d 345 . . . 4 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘€β€˜π‘‘) ≀ 𝑑) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘) ≀ 𝑑)))
142, 13imbi12d 344 . . 3 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ ((𝑇 βŠ† (π‘ˆ BLnOp π‘Š) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘€β€˜π‘‘) ≀ 𝑑)) ↔ (𝑇 βŠ† (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp π‘Š) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘) ≀ 𝑑))))
15 oveq2 7413 . . . . 5 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp π‘Š) = (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
1615sseq2d 4013 . . . 4 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (𝑇 βŠ† (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp π‘Š) ↔ 𝑇 βŠ† (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))))
17 ubth.2 . . . . . . . . . 10 𝑁 = (normCVβ€˜π‘Š)
18 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (normCVβ€˜π‘Š) = (normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
1917, 18eqtrid 2784 . . . . . . . . 9 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ 𝑁 = (normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
2019fveq1d 6890 . . . . . . . 8 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) = ((normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)))
2120breq1d 5157 . . . . . . 7 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ ((π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ ((normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐))
2221rexralbidv 3220 . . . . . 6 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐))
2322ralbidv 3177 . . . . 5 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐))
24 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š) = (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
2524fveq1d 6890 . . . . . . 7 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘) = ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜π‘‘))
2625breq1d 5157 . . . . . 6 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘) ≀ 𝑑 ↔ ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜π‘‘) ≀ 𝑑))
2726rexralbidv 3220 . . . . 5 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘) ≀ 𝑑 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜π‘‘) ≀ 𝑑))
2823, 27bibi12d 345 . . . 4 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘) ≀ 𝑑) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜π‘‘) ≀ 𝑑)))
2916, 28imbi12d 344 . . 3 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ ((𝑇 βŠ† (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp π‘Š) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘) ≀ 𝑑)) ↔ (𝑇 βŠ† (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜π‘‘) ≀ 𝑑))))
30 eqid 2732 . . . 4 (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)) = (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))
31 eqid 2732 . . . 4 (normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)) = (normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))
32 eqid 2732 . . . 4 (IndMetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)) = (IndMetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))
33 eqid 2732 . . . 4 (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))) = (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
34 eqid 2732 . . . . . 6 ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩ = ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩
3534cnbn 30109 . . . . 5 ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩ ∈ CBan
3635elimel 4596 . . . 4 if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) ∈ CBan
37 elimnvu 29924 . . . 4 if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) ∈ NrmCVec
38 id 22 . . . 4 (𝑇 βŠ† (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)) β†’ 𝑇 βŠ† (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
3930, 31, 32, 33, 36, 37, 38ubthlem3 30112 . . 3 (𝑇 βŠ† (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜π‘‘) ≀ 𝑑))
4014, 29, 39dedth2h 4586 . 2 ((π‘ˆ ∈ CBan ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ (𝑇 βŠ† (π‘ˆ BLnOp π‘Š) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘€β€˜π‘‘) ≀ 𝑑)))
41403impia 1117 1 ((π‘ˆ ∈ CBan ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 βŠ† (π‘ˆ BLnOp π‘Š)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘€β€˜π‘‘) ≀ 𝑑))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105   + caddc 11109   Β· cmul 11111   ≀ cle 11245  abscabs 15177  MetOpencmopn 20926  NrmCVeccnv 29824  BaseSetcba 29826  normCVcnmcv 29830  IndMetcims 29831   normOpOLD cnmoo 29981   BLnOp cblo 29982  CBanccbn 30102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-dc 10437  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-lm 22724  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-fcls 23436  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-cfil 24763  df-cau 24764  df-cmet 24765  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ims 29841  df-lno 29984  df-nmoo 29985  df-blo 29986  df-0o 29987  df-cbn 30103
This theorem is referenced by:  htthlem  30157
  Copyright terms: Public domain W3C validator