Theorem ubth 30775

Description: Uniform Boundedness Theorem, also called the Banach-Steinhaus Theorem. Let 𝑇 be a collection of bounded linear operators on a Banach space. If, for every vector 𝑥, the norms of the operators' values are bounded, then the operators' norms are also bounded. Theorem 4.7-3 of [Kreyszig] p. 249. See also http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness_principle. (Contributed by NM, 7-Nov-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ubth.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ubth.2	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
ubth.3	⊢ 𝑀 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ubth	⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑀‘𝑡) ≤ 𝑑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝑡,𝑑,𝑁   𝑇,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑈,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑊,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑋,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑡,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem ubth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑈 BLnOp 𝑊) = (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊))
2	1	sseq2d 3976	. . . 4 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊) ↔ 𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊)))
3		ubth.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
5	3, 4	eqtrid 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑋 = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
6	5	raleqdv 3296	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
7		ubth.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
8		oveq1 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊))
9	7, 8	eqtrid 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑀 = (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊))
10	9	fveq1d 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑀‘𝑡) = ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡))
11	10	breq1d 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝑀‘𝑡) ≤ 𝑑 ↔ ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
12	11	rexralbidv 3201	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑀‘𝑡) ≤ 𝑑 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
13	6, 12	bibi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑀‘𝑡) ≤ 𝑑) ↔ (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)))
14	2, 13	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑀‘𝑡) ≤ 𝑑)) ↔ (𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊) → (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))))
15		oveq2 7377	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊) = (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
16	15	sseq2d 3976	. . . 4 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊) ↔ 𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
17		ubth.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
18		fveq2 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (normCV‘𝑊) = (normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
19	17, 18	eqtrid 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑁 = (normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
20	19	fveq1d 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) = ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡‘𝑥)))
21	20	breq1d 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
22	21	rexralbidv 3201	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
23	22	ralbidv 3156	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐))
24		oveq2 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊) = (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
25	24	fveq1d 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) = ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡))
26	25	breq1d 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 ↔ ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡) ≤ 𝑑))
27	26	rexralbidv 3201	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡) ≤ 𝑑))
28	23, 27	bibi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑) ↔ (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡) ≤ 𝑑)))
29	16, 28	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊) → (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) ↔ (𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) → (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡) ≤ 𝑑))))
30		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
31		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
32		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (IndMet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (IndMet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
33		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))) = (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
34		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
35	34	cnbn 30771	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ CBan
36	35	elimel 4554	. . . 4 ⊢ if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) ∈ CBan
37		elimnvu 30586	. . . 4 ⊢ if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) ∈ NrmCVec
38		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) → 𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
39	30, 31, 32, 33, 36, 37, 38	ubthlem3 30774	. . 3 ⊢ (𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) → (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡) ≤ 𝑑))
40	14, 29, 39	dedth2h 4544	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑀‘𝑡) ≤ 𝑑)))
41	40	3impia 1117	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑀‘𝑡) ≤ 𝑑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3911  ifcif 4484  ⟨cop 4591   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043   + caddc 11047   · cmul 11049   ≤ cle 11185  abscabs 15176  MetOpencmopn 21230  NrmCVeccnv 30486  BaseSetcba 30488  norm_CVcnmcv 30492  IndMetcims 30493   normOp_OLD cnmoo 30643   BLnOp cblo 30644  CBanccbn 30764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-dc 10375  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123  ax-mulf 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-mulg 18976  df-cntz 19225  df-cmn 19688  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22757  df-topon 22774  df-topsp 22796  df-bases 22809  df-cld 22882  df-ntr 22883  df-cls 22884  df-nei 22961  df-cn 23090  df-cnp 23091  df-lm 23092  df-haus 23178  df-cmp 23250  df-tx 23425  df-hmeo 23618  df-fil 23709  df-fm 23801  df-flim 23802  df-flf 23803  df-fcls 23804  df-xms 24184  df-ms 24185  df-tms 24186  df-cncf 24747  df-cfil 25131  df-cau 25132  df-cmet 25133  df-grpo 30395  df-gid 30396  df-ginv 30397  df-gdiv 30398  df-ablo 30447  df-vc 30461  df-nv 30494  df-va 30497  df-ba 30498  df-sm 30499  df-0v 30500  df-vs 30501  df-nmcv 30502  df-ims 30503  df-lno 30646  df-nmoo 30647  df-blo 30648  df-0o 30649  df-cbn 30765

This theorem is referenced by:  htthlem  30819