MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ubth 30902
Description: Uniform Boundedness Theorem, also called the Banach-Steinhaus Theorem. Let 𝑇 be a collection of bounded linear operators on a Banach space. If, for every vector 𝑥, the norms of the operators' values are bounded, then the operators' norms are also bounded. Theorem 4.7-3 of [Kreyszig] p. 249. See also http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness_principle. (Contributed by NM, 7-Nov-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ubth.2 𝑁 = (normCV𝑊)
ubth.3 𝑀 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
Assertion
Ref Expression
ubth ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → (∀𝑥𝑋𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑀𝑡) ≤ 𝑑))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝑡,𝑑,𝑁   𝑇,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑈,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑊,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑋,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑡,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem ubth
StepHypRef Expression
1 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑈 BLnOp 𝑊) = (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊))
21sseq2d 4028 . . . 4 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊) ↔ 𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊)))
3 ubth.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
53, 4eqtrid 2787 . . . . . 6 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑋 = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
65raleqdv 3324 . . . . 5 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (∀𝑥𝑋𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐))
7 ubth.3 . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
8 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊))
97, 8eqtrid 2787 . . . . . . . 8 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑀 = (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊))
109fveq1d 6909 . . . . . . 7 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑀𝑡) = ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡))
1110breq1d 5158 . . . . . 6 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝑀𝑡) ≤ 𝑑 ↔ ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
1211rexralbidv 3221 . . . . 5 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑀𝑡) ≤ 𝑑 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
136, 12bibi12d 345 . . . 4 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((∀𝑥𝑋𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑀𝑡) ≤ 𝑑) ↔ (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)))
142, 13imbi12d 344 . . 3 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (∀𝑥𝑋𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑀𝑡) ≤ 𝑑)) ↔ (𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊) → (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))))
15 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊) = (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
1615sseq2d 4028 . . . 4 (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊) ↔ 𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
17 ubth.2 . . . . . . . . . 10 𝑁 = (normCV𝑊)
18 fveq2 6907 . . . . . . . . . 10 (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (normCV𝑊) = (normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
1917, 18eqtrid 2787 . . . . . . . . 9 (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑁 = (normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
2019fveq1d 6909 . . . . . . . 8 (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑁‘(𝑡𝑥)) = ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡𝑥)))
2120breq1d 5158 . . . . . . 7 (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐))
2221rexralbidv 3221 . . . . . 6 (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐))
2322ralbidv 3176 . . . . 5 (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐))
24 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊) = (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
2524fveq1d 6909 . . . . . . 7 (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) = ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡))
2625breq1d 5158 . . . . . 6 (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 ↔ ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡) ≤ 𝑑))
2726rexralbidv 3221 . . . . 5 (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡) ≤ 𝑑))
2823, 27bibi12d 345 . . . 4 (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑) ↔ (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡) ≤ 𝑑)))
2916, 28imbi12d 344 . . 3 (𝑊 = if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp 𝑊) → (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) ↔ (𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) → (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡) ≤ 𝑑))))
30 eqid 2735 . . . 4 (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
31 eqid 2735 . . . 4 (normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
32 eqid 2735 . . . 4 (IndMet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (IndMet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
33 eqid 2735 . . . 4 (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))) = (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
34 eqid 2735 . . . . . 6 ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
3534cnbn 30898 . . . . 5 ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ CBan
3635elimel 4600 . . . 4 if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) ∈ CBan
37 elimnvu 30713 . . . 4 if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) ∈ NrmCVec
38 id 22 . . . 4 (𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) → 𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
3930, 31, 32, 33, 36, 37, 38ubthlem3 30901 . . 3 (𝑇 ⊆ (if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) BLnOp if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) → (∀𝑥 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((normCV‘if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((if(𝑈 ∈ CBan, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) normOpOLD if(𝑊 ∈ NrmCVec, 𝑊, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑡) ≤ 𝑑))
4014, 29, 39dedth2h 4590 . 2 ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (∀𝑥𝑋𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑀𝑡) ≤ 𝑑)))
41403impia 1116 1 ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → (∀𝑥𝑋𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑀𝑡) ≤ 𝑑))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  wss 3963  ifcif 4531  cop 4637   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152   + caddc 11156   · cmul 11158  cle 11294  abscabs 15270  MetOpencmopn 21372  NrmCVeccnv 30613  BaseSetcba 30615  normCVcnmcv 30619  IndMetcims 30620   normOpOLD cnmoo 30770   BLnOp cblo 30771  CBanccbn 30891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-dc 10484  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-lm 23253  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-fcls 23965  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-cfil 25303  df-cau 25304  df-cmet 25305  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-lno 30773  df-nmoo 30774  df-blo 30775  df-0o 30776  df-cbn 30892
This theorem is referenced by:  htthlem  30946
  Copyright terms: Public domain W3C validator