MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ubth 30126
Description: Uniform Boundedness Theorem, also called the Banach-Steinhaus Theorem. Let 𝑇 be a collection of bounded linear operators on a Banach space. If, for every vector π‘₯, the norms of the operators' values are bounded, then the operators' norms are also bounded. Theorem 4.7-3 of [Kreyszig] p. 249. See also http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness_principle. (Contributed by NM, 7-Nov-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ubth.2 𝑁 = (normCVβ€˜π‘Š)
ubth.3 𝑀 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ubth ((π‘ˆ ∈ CBan ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 βŠ† (π‘ˆ BLnOp π‘Š)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘€β€˜π‘‘) ≀ 𝑑))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑐,𝑑,𝑑,𝑁   𝑇,𝑐,𝑑,𝑑,π‘₯   π‘ˆ,𝑐,𝑑,𝑑,π‘₯   π‘Š,𝑐,𝑑,𝑑,π‘₯   𝑋,𝑐,𝑑,𝑑,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑀(π‘₯,𝑑,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem ubth
StepHypRef Expression
1 oveq1 7416 . . . . 5 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (π‘ˆ BLnOp π‘Š) = (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp π‘Š))
21sseq2d 4015 . . . 4 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (𝑇 βŠ† (π‘ˆ BLnOp π‘Š) ↔ 𝑇 βŠ† (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp π‘Š)))
3 ubth.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
4 fveq2 6892 . . . . . . 7 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
53, 4eqtrid 2785 . . . . . 6 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ 𝑋 = (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
65raleqdv 3326 . . . . 5 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐))
7 ubth.3 . . . . . . . . 9 𝑀 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
8 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (π‘ˆ normOpOLD π‘Š) = (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š))
97, 8eqtrid 2785 . . . . . . . 8 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ 𝑀 = (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š))
109fveq1d 6894 . . . . . . 7 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (π‘€β€˜π‘‘) = ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘))
1110breq1d 5159 . . . . . 6 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ ((π‘€β€˜π‘‘) ≀ 𝑑 ↔ ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘) ≀ 𝑑))
1211rexralbidv 3221 . . . . 5 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘€β€˜π‘‘) ≀ 𝑑 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘) ≀ 𝑑))
136, 12bibi12d 346 . . . 4 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘€β€˜π‘‘) ≀ 𝑑) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘) ≀ 𝑑)))
142, 13imbi12d 345 . . 3 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ ((𝑇 βŠ† (π‘ˆ BLnOp π‘Š) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘€β€˜π‘‘) ≀ 𝑑)) ↔ (𝑇 βŠ† (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp π‘Š) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘) ≀ 𝑑))))
15 oveq2 7417 . . . . 5 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp π‘Š) = (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
1615sseq2d 4015 . . . 4 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (𝑇 βŠ† (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp π‘Š) ↔ 𝑇 βŠ† (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))))
17 ubth.2 . . . . . . . . . 10 𝑁 = (normCVβ€˜π‘Š)
18 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (normCVβ€˜π‘Š) = (normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
1917, 18eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ 𝑁 = (normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
2019fveq1d 6894 . . . . . . . 8 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) = ((normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)))
2120breq1d 5159 . . . . . . 7 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ ((π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ ((normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐))
2221rexralbidv 3221 . . . . . 6 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐))
2322ralbidv 3178 . . . . 5 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐))
24 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š) = (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
2524fveq1d 6894 . . . . . . 7 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘) = ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜π‘‘))
2625breq1d 5159 . . . . . 6 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘) ≀ 𝑑 ↔ ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜π‘‘) ≀ 𝑑))
2726rexralbidv 3221 . . . . 5 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘) ≀ 𝑑 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜π‘‘) ≀ 𝑑))
2823, 27bibi12d 346 . . . 4 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘) ≀ 𝑑) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜π‘‘) ≀ 𝑑)))
2916, 28imbi12d 345 . . 3 (π‘Š = if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ ((𝑇 βŠ† (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp π‘Š) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‘) ≀ 𝑑)) ↔ (𝑇 βŠ† (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜π‘‘) ≀ 𝑑))))
30 eqid 2733 . . . 4 (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)) = (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))
31 eqid 2733 . . . 4 (normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)) = (normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))
32 eqid 2733 . . . 4 (IndMetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)) = (IndMetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))
33 eqid 2733 . . . 4 (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))) = (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
34 eqid 2733 . . . . . 6 ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩ = ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩
3534cnbn 30122 . . . . 5 ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩ ∈ CBan
3635elimel 4598 . . . 4 if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) ∈ CBan
37 elimnvu 29937 . . . 4 if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) ∈ NrmCVec
38 id 22 . . . 4 (𝑇 βŠ† (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)) β†’ 𝑇 βŠ† (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
3930, 31, 32, 33, 36, 37, 38ubthlem3 30125 . . 3 (𝑇 βŠ† (if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) BLnOp if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((normCVβ€˜if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((if(π‘ˆ ∈ CBan, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) normOpOLD if(π‘Š ∈ NrmCVec, π‘Š, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))β€˜π‘‘) ≀ 𝑑))
4014, 29, 39dedth2h 4588 . 2 ((π‘ˆ ∈ CBan ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ (𝑇 βŠ† (π‘ˆ BLnOp π‘Š) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘€β€˜π‘‘) ≀ 𝑑)))
41403impia 1118 1 ((π‘ˆ ∈ CBan ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 βŠ† (π‘ˆ BLnOp π‘Š)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘€β€˜π‘‘) ≀ 𝑑))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109   + caddc 11113   Β· cmul 11115   ≀ cle 11249  abscabs 15181  MetOpencmopn 20934  NrmCVeccnv 29837  BaseSetcba 29839  normCVcnmcv 29843  IndMetcims 29844   normOpOLD cnmoo 29994   BLnOp cblo 29995  CBanccbn 30115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-dc 10441  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-lm 22733  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-fcls 23445  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-cfil 24772  df-cau 24773  df-cmet 24774  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854  df-lno 29997  df-nmoo 29998  df-blo 29999  df-0o 30000  df-cbn 30116
This theorem is referenced by:  htthlem  30170
  Copyright terms: Public domain W3C validator