MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrecg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrecg 24579
Description: Derivative of the reciprocal of a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrecg.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvrecg.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
dvrecg.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
dvrecg.c ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶𝑉)
dvrecg.db (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐵)) = (𝑥𝑋𝐶))
Assertion
Ref Expression
dvrecg (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵))) = (𝑥𝑋 ↦ -((𝐴 · 𝐶) / (𝐵↑2))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem dvrecg
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvrecg.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 cnelprrecn 10623 . . . 4 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
4 dvrecg.b . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
5 dvrecg.c . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶𝑉)
6 dvrecg.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
76adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
8 eldifi 4057 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℂ)
98adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
10 eldifsni 4686 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
1110adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
127, 9, 11divcld 11409 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐴 / 𝑦) ∈ ℂ)
139sqcld 13508 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑦↑2) ∈ ℂ)
14 2z 12006 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
1514a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 2 ∈ ℤ)
169, 11, 15expne0d 13516 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑦↑2) ≠ 0)
177, 13, 16divcld 11409 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐴 / (𝑦↑2)) ∈ ℂ)
1817negcld 10977 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(𝐴 / (𝑦↑2)) ∈ ℂ)
19 dvrecg.db . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐵)) = (𝑥𝑋𝐶))
20 dvrec 24561 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑦↑2))))
216, 20syl 17 . . 3 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑦↑2))))
22 oveq2 7147 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 / 𝑦) = (𝐴 / 𝐵))
23 oveq1 7146 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦↑2) = (𝐵↑2))
2423oveq2d 7155 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 / (𝑦↑2)) = (𝐴 / (𝐵↑2)))
2524negeqd 10873 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → -(𝐴 / (𝑦↑2)) = -(𝐴 / (𝐵↑2)))
261, 3, 4, 5, 12, 18, 19, 21, 22, 25dvmptco 24578 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵))) = (𝑥𝑋 ↦ (-(𝐴 / (𝐵↑2)) · 𝐶)))
276adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
28 eldifi 4057 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝐵 ∈ ℂ)
294, 28syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
3029sqcld 13508 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
31 eldifsn 4683 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
324, 31sylib 221 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
3332simprd 499 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ≠ 0)
3414a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 2 ∈ ℤ)
3529, 33, 34expne0d 13516 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵↑2) ≠ 0)
3627, 30, 35divcld 11409 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴 / (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
371, 29, 5, 19dvmptcl 24565 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
3836, 37mulneg1d 11086 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (-(𝐴 / (𝐵↑2)) · 𝐶) = -((𝐴 / (𝐵↑2)) · 𝐶))
3927, 37, 30, 35div23d 11446 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵↑2)) = ((𝐴 / (𝐵↑2)) · 𝐶))
4039eqcomd 2807 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐴 / (𝐵↑2)) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵↑2)))
4140negeqd 10873 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → -((𝐴 / (𝐵↑2)) · 𝐶) = -((𝐴 · 𝐶) / (𝐵↑2)))
4238, 41eqtrd 2836 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (-(𝐴 / (𝐵↑2)) · 𝐶) = -((𝐴 · 𝐶) / (𝐵↑2)))
4342mpteq2dva 5128 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (-(𝐴 / (𝐵↑2)) · 𝐶)) = (𝑥𝑋 ↦ -((𝐴 · 𝐶) / (𝐵↑2))))
4426, 43eqtrd 2836 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵))) = (𝑥𝑋 ↦ -((𝐴 · 𝐶) / (𝐵↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  cdif 3881  {csn 4528  {cpr 4530  cmpt 5113  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530   · cmul 10535  -cneg 10864   / cdiv 11290  2c2 11684  cz 11973  cexp 13429   D cdv 24469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18220  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-t1 21922  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24472  df-dv 24473
This theorem is referenced by:  dvmptdiv  24580
  Copyright terms: Public domain W3C validator