Theorem mpfpf1 22326

Description: Convert a multivariate polynomial function to univariate. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pf1rcl.q	⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
pf1f.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mpfpf1.q	⊢ 𝐸 = ran (1o eval 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mpfpf1	⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐸   𝑦,𝐹   𝑦,𝑅

Allowed substitution hint:   𝑄(𝑦)

Proof of Theorem mpfpf1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpfpf1.q	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ran (1o eval 𝑅)
2		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
3		pf1f.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	evlval 22088	. . . . . 6 ⊢ (1o eval 𝑅) = ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
5	4	rneqi 5886	. . . . 5 ⊢ ran (1o eval 𝑅) = ran ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
6	1, 5	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ran ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
7	6	mpfrcl 22073	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → (1o ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅)))
8	7	simp2d 1144	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → 𝑅 ∈ CRing)
9		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → 𝐹 ∈ 𝐸)
10	9, 1	eleqtrdi 2847	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → 𝐹 ∈ ran (1o eval 𝑅))
11		1on 8410	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
12		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
13		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) = (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))
14	2, 3, 12, 13	evlrhm 22089	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
15	11, 8, 14	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → (1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
16		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
17		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
18	16, 17	ply1bas 22168	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
19		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))
20	18, 19	rhmf 20455	. . . 4 ⊢ ((1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) → (1o eval 𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
21		ffn 6662	. . . 4 ⊢ ((1o eval 𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) → (1o eval 𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)))
22		fvelrnb 6894	. . . 4 ⊢ ((1o eval 𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)) → (𝐹 ∈ ran (1o eval 𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹))
23	15, 20, 21, 22	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → (𝐹 ∈ ran (1o eval 𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹))
24	10, 23	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → ∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹)
25		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (eval1‘𝑅) = (eval1‘𝑅)
26	25, 2, 3, 12, 18	evl1val 22304	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((eval1‘𝑅)‘𝑥) = (((1o eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
27		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
28	25, 16, 27, 3	evl1rhm 22307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
29		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
30	17, 29	rhmf 20455	. . . . . . . 8 ⊢ ((eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → (eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
31		ffn 6662	. . . . . . . 8 ⊢ ((eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) → (eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)))
32	28, 30, 31	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)))
33		fnfvelrn 7026	. . . . . . 7 ⊢ (((eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((eval1‘𝑅)‘𝑥) ∈ ran (eval1‘𝑅))
34	32, 33	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((eval1‘𝑅)‘𝑥) ∈ ran (eval1‘𝑅))
35		pf1rcl.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
36	34, 35	eleqtrrdi 2848	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((eval1‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑄)
37	26, 36	eqeltrrd 2838	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (((1o eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄)
38		coeq1 5806	. . . . 5 ⊢ (((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → (((1o eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
39	38	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → ((((1o eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄 ↔ (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄))
40	37, 39	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄))
41	40	rexlimdva 3139	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄))
42	8, 24, 41	sylc 65	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  Vcvv 3430  {csn 4568   ↦ cmpt 5167   × cxp 5622  ran crn 5625   ∘ ccom 5628  Oncon0 6317   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1_oc1o 8391   ↑_m cmap 8766  Basecbs 17170   ↑_s cpws 17400  CRingccrg 20206   RingHom crh 20440  SubRingcsubrg 20537   mPoly cmpl 21896   evalSub ces 22060   eval cevl 22061  Poly₁cpl1 22150  eval₁ce1 22289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-srg 20159  df-ring 20207  df-cring 20208  df-rhm 20443  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958  df-assa 21843  df-asp 21844  df-ascl 21845  df-psr 21899  df-mvr 21900  df-mpl 21901  df-opsr 21903  df-evls 22062  df-evl 22063  df-psr1 22153  df-ply1 22155  df-evl1 22291

This theorem is referenced by:  pf1ind  22330