MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpfpf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpfpf1 21715
Description: Convert a multivariate polynomial function to univariate. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1rcl.q 𝑄 = ran (eval1𝑅)
pf1f.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mpfpf1.q 𝐸 = ran (1o eval 𝑅)
Assertion
Ref Expression
mpfpf1 (𝐹𝐸 → (𝐹 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐸   𝑦,𝐹   𝑦,𝑅
Allowed substitution hint:   𝑄(𝑦)

Proof of Theorem mpfpf1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpfpf1.q . . . . 5 𝐸 = ran (1o eval 𝑅)
2 eqid 2736 . . . . . . 7 (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
3 pf1f.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
42, 3evlval 21503 . . . . . 6 (1o eval 𝑅) = ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
54rneqi 5892 . . . . 5 ran (1o eval 𝑅) = ran ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
61, 5eqtri 2764 . . . 4 𝐸 = ran ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
76mpfrcl 21493 . . 3 (𝐹𝐸 → (1o ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅)))
87simp2d 1143 . 2 (𝐹𝐸𝑅 ∈ CRing)
9 id 22 . . . 4 (𝐹𝐸𝐹𝐸)
109, 1eleqtrdi 2848 . . 3 (𝐹𝐸𝐹 ∈ ran (1o eval 𝑅))
11 1on 8423 . . . . 5 1o ∈ On
12 eqid 2736 . . . . . 6 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
13 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑅s (𝐵m 1o)) = (𝑅s (𝐵m 1o))
142, 3, 12, 13evlrhm 21504 . . . . 5 ((1o ∈ On ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅s (𝐵m 1o))))
1511, 8, 14sylancr 587 . . . 4 (𝐹𝐸 → (1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅s (𝐵m 1o))))
16 eqid 2736 . . . . . 6 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
17 eqid 2736 . . . . . 6 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
18 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
1916, 17, 18ply1bas 21564 . . . . 5 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
20 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))) = (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o)))
2119, 20rhmf 20156 . . . 4 ((1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅s (𝐵m 1o))) → (1o eval 𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))))
22 ffn 6668 . . . 4 ((1o eval 𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))) → (1o eval 𝑅) Fn (Base‘(Poly1𝑅)))
23 fvelrnb 6903 . . . 4 ((1o eval 𝑅) Fn (Base‘(Poly1𝑅)) → (𝐹 ∈ ran (1o eval 𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹))
2415, 21, 22, 234syl 19 . . 3 (𝐹𝐸 → (𝐹 ∈ ran (1o eval 𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹))
2510, 24mpbid 231 . 2 (𝐹𝐸 → ∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹)
26 eqid 2736 . . . . . 6 (eval1𝑅) = (eval1𝑅)
2726, 2, 3, 12, 19evl1val 21693 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → ((eval1𝑅)‘𝑥) = (((1o eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
28 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
2926, 16, 28, 3evl1rhm 21696 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → (eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)))
30 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(𝑅s 𝐵))
3118, 30rhmf 20156 . . . . . . . 8 ((eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)) → (eval1𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
32 ffn 6668 . . . . . . . 8 ((eval1𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)) → (eval1𝑅) Fn (Base‘(Poly1𝑅)))
3329, 31, 323syl 18 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → (eval1𝑅) Fn (Base‘(Poly1𝑅)))
34 fnfvelrn 7031 . . . . . . 7 (((eval1𝑅) Fn (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → ((eval1𝑅)‘𝑥) ∈ ran (eval1𝑅))
3533, 34sylan 580 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → ((eval1𝑅)‘𝑥) ∈ ran (eval1𝑅))
36 pf1rcl.q . . . . . 6 𝑄 = ran (eval1𝑅)
3735, 36eleqtrrdi 2849 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → ((eval1𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑄)
3827, 37eqeltrrd 2839 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → (((1o eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄)
39 coeq1 5813 . . . . 5 (((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → (((1o eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝐹 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
4039eleq1d 2822 . . . 4 (((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → ((((1o eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄 ↔ (𝐹 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄))
4138, 40syl5ibcom 244 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → (((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → (𝐹 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄))
4241rexlimdva 3152 . 2 (𝑅 ∈ CRing → (∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → (𝐹 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄))
438, 25, 42sylc 65 1 (𝐹𝐸 → (𝐹 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  Vcvv 3445  {csn 4586  cmpt 5188   × cxp 5631  ran crn 5634  ccom 5637  Oncon0 6317   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7356  1oc1o 8404  m cmap 8764  Basecbs 17082  s cpws 17327  CRingccrg 19963   RingHom crh 20141  SubRingcsubrg 20216   mPoly cmpl 21306   evalSub ces 21478   eval cevl 21479  PwSer1cps1 21544  Poly1cpl1 21546  eval1ce1 21678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7616  df-ofr 7617  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-supp 8092  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8647  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9305  df-sup 9377  df-oi 9445  df-card 9874  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-7 12220  df-8 12221  df-9 12222  df-n0 12413  df-z 12499  df-dec 12618  df-uz 12763  df-fz 13424  df-fzo 13567  df-seq 13906  df-hash 14230  df-struct 17018  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-ress 17112  df-plusg 17145  df-mulr 17146  df-sca 17148  df-vsca 17149  df-ip 17150  df-tset 17151  df-ple 17152  df-ds 17154  df-hom 17156  df-cco 17157  df-0g 17322  df-gsum 17323  df-prds 17328  df-pws 17330  df-mre 17465  df-mrc 17466  df-acs 17468  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-mhm 18600  df-submnd 18601  df-grp 18750  df-minusg 18751  df-sbg 18752  df-mulg 18871  df-subg 18923  df-ghm 19004  df-cntz 19095  df-cmn 19562  df-abl 19563  df-mgp 19895  df-ur 19912  df-srg 19916  df-ring 19964  df-cring 19965  df-rnghom 20144  df-subrg 20218  df-lmod 20322  df-lss 20391  df-lsp 20431  df-assa 21257  df-asp 21258  df-ascl 21259  df-psr 21309  df-mvr 21310  df-mpl 21311  df-opsr 21313  df-evls 21480  df-evl 21481  df-psr1 21549  df-ply1 21551  df-evl1 21680
This theorem is referenced by:  pf1ind  21719
  Copyright terms: Public domain W3C validator