Theorem mpfpf1 22394

Description: Convert a multivariate polynomial function to univariate. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pf1rcl.q	⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
pf1f.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mpfpf1.q	⊢ 𝐸 = ran (1o eval 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mpfpf1	⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐸   𝑦,𝐹   𝑦,𝑅

Allowed substitution hint:   𝑄(𝑦)

Proof of Theorem mpfpf1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpfpf1.q	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ran (1o eval 𝑅)
2		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
3		pf1f.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	evlval 22133	. . . . . 6 ⊢ (1o eval 𝑅) = ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
5	4	rneqi 5911	. . . . 5 ⊢ ran (1o eval 𝑅) = ran ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
6	1, 5	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ran ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
7	6	mpfrcl 22118	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → (1o ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅)))
8	7	simp2d 1155	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → 𝑅 ∈ CRing)
9		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → 𝐹 ∈ 𝐸)
10	9, 1	eleqtrdi 2871	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → 𝐹 ∈ ran (1o eval 𝑅))
11		1on 8445	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
12		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
13		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) = (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))
14	2, 3, 12, 13	evlrhm 22134	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
15	11, 8, 14	sylancr 596	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → (1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
16		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
17		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
18	16, 17	ply1bas 22237	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
19		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))
20	18, 19	rhmf 20512	. . . 4 ⊢ ((1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) → (1o eval 𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
21		ffn 6687	. . . 4 ⊢ ((1o eval 𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) → (1o eval 𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)))
22		fvelrnb 6923	. . . 4 ⊢ ((1o eval 𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)) → (𝐹 ∈ ran (1o eval 𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹))
23	15, 20, 21, 22	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → (𝐹 ∈ ran (1o eval 𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹))
24	10, 23	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → ∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹)
25		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (eval1‘𝑅) = (eval1‘𝑅)
26	25, 2, 3, 12, 18	evl1val 22372	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((eval1‘𝑅)‘𝑥) = (((1o eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
27		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
28	25, 16, 27, 3	evl1rhm 22375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
29		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
30	17, 29	rhmf 20512	. . . . . . . 8 ⊢ ((eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → (eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
31		ffn 6687	. . . . . . . 8 ⊢ ((eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) → (eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)))
32	28, 30, 31	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)))
33		fnfvelrn 7057	. . . . . . 7 ⊢ (((eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((eval1‘𝑅)‘𝑥) ∈ ran (eval1‘𝑅))
34	32, 33	sylan 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((eval1‘𝑅)‘𝑥) ∈ ran (eval1‘𝑅))
35		pf1rcl.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
36	34, 35	eleqtrrdi 2872	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((eval1‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑄)
37	26, 36	eqeltrrd 2862	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (((1o eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄)
38		coeq1 5827	. . . . 5 ⊢ (((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → (((1o eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
39	38	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → ((((1o eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄 ↔ (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄))
40	37, 39	syl5ibcom 247	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄))
41	40	rexlimdva 3162	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄))
42	8, 24, 41	sylc 65	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085  Vcvv 3453  {csn 4581   ↦ cmpt 5180   × cxp 5643  ran crn 5646   ∘ ccom 5649  Oncon0 6342   Fn wfn 6512  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  1_oc1o 8425   ↑_m cmap 8803  Basecbs 17228   ↑_s cpws 17458  CRingccrg 20263   RingHom crh 20497  SubRingcsubrg 20598   mPoly cmpl 21938   evalSub ces 22105   eval cevl 22106  Poly₁cpl1 22219  eval₁ce1 22357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-sup 9385  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-hash 14341  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-hom 17293  df-cco 17294  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-prds 17459  df-pws 17461  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-mhm 18800  df-submnd 18801  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-mulg 19093  df-subg 19148  df-ghm 19237  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-srg 20216  df-ring 20264  df-cring 20265  df-rhm 20500  df-subrng 20575  df-subrg 20599  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-lsp 21019  df-assa 21885  df-asp 21886  df-ascl 21887  df-psr 21941  df-mvr 21942  df-mpl 21943  df-opsr 21945  df-evls 22107  df-evl 22108  df-psr1 22222  df-ply1 22224  df-evl1 22359

This theorem is referenced by:  pf1ind  22398