MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpfpf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpfpf1 20232
Description: Convert a multivariate polynomial function to univariate. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1rcl.q 𝑄 = ran (eval1𝑅)
pf1f.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mpfpf1.q 𝐸 = ran (1o eval 𝑅)
Assertion
Ref Expression
mpfpf1 (𝐹𝐸 → (𝐹 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐸   𝑦,𝐹   𝑦,𝑅
Allowed substitution hint:   𝑄(𝑦)

Proof of Theorem mpfpf1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpfpf1.q . . . . 5 𝐸 = ran (1o eval 𝑅)
2 eqid 2773 . . . . . . 7 (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
3 pf1f.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
42, 3evlval 20030 . . . . . 6 (1o eval 𝑅) = ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
54rneqi 5648 . . . . 5 ran (1o eval 𝑅) = ran ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
61, 5eqtri 2797 . . . 4 𝐸 = ran ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
76mpfrcl 20024 . . 3 (𝐹𝐸 → (1o ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅)))
87simp2d 1124 . 2 (𝐹𝐸𝑅 ∈ CRing)
9 id 22 . . . 4 (𝐹𝐸𝐹𝐸)
109, 1syl6eleq 2871 . . 3 (𝐹𝐸𝐹 ∈ ran (1o eval 𝑅))
11 1on 7911 . . . . 5 1o ∈ On
12 eqid 2773 . . . . . 6 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
13 eqid 2773 . . . . . 6 (𝑅s (𝐵𝑚 1o)) = (𝑅s (𝐵𝑚 1o))
142, 3, 12, 13evlrhm 20031 . . . . 5 ((1o ∈ On ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅s (𝐵𝑚 1o))))
1511, 8, 14sylancr 579 . . . 4 (𝐹𝐸 → (1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅s (𝐵𝑚 1o))))
16 eqid 2773 . . . . . 6 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
17 eqid 2773 . . . . . 6 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
18 eqid 2773 . . . . . 6 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
1916, 17, 18ply1bas 20082 . . . . 5 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
20 eqid 2773 . . . . 5 (Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1o))) = (Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1o)))
2119, 20rhmf 19214 . . . 4 ((1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅s (𝐵𝑚 1o))) → (1o eval 𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1o))))
22 ffn 6342 . . . 4 ((1o eval 𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1o))) → (1o eval 𝑅) Fn (Base‘(Poly1𝑅)))
23 fvelrnb 6554 . . . 4 ((1o eval 𝑅) Fn (Base‘(Poly1𝑅)) → (𝐹 ∈ ran (1o eval 𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹))
2415, 21, 22, 234syl 19 . . 3 (𝐹𝐸 → (𝐹 ∈ ran (1o eval 𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹))
2510, 24mpbid 224 . 2 (𝐹𝐸 → ∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹)
26 eqid 2773 . . . . . 6 (eval1𝑅) = (eval1𝑅)
2726, 2, 3, 12, 19evl1val 20210 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → ((eval1𝑅)‘𝑥) = (((1o eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
28 eqid 2773 . . . . . . . . 9 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
2926, 16, 28, 3evl1rhm 20213 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → (eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)))
30 eqid 2773 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(𝑅s 𝐵))
3118, 30rhmf 19214 . . . . . . . 8 ((eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)) → (eval1𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
32 ffn 6342 . . . . . . . 8 ((eval1𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)) → (eval1𝑅) Fn (Base‘(Poly1𝑅)))
3329, 31, 323syl 18 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → (eval1𝑅) Fn (Base‘(Poly1𝑅)))
34 fnfvelrn 6672 . . . . . . 7 (((eval1𝑅) Fn (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → ((eval1𝑅)‘𝑥) ∈ ran (eval1𝑅))
3533, 34sylan 572 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → ((eval1𝑅)‘𝑥) ∈ ran (eval1𝑅))
36 pf1rcl.q . . . . . 6 𝑄 = ran (eval1𝑅)
3735, 36syl6eleqr 2872 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → ((eval1𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑄)
3827, 37eqeltrrd 2862 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → (((1o eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄)
39 coeq1 5575 . . . . 5 (((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → (((1o eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝐹 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
4039eleq1d 2845 . . . 4 (((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → ((((1o eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄 ↔ (𝐹 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄))
4138, 40syl5ibcom 237 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → (((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → (𝐹 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄))
4241rexlimdva 3224 . 2 (𝑅 ∈ CRing → (∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → (𝐹 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄))
438, 25, 42sylc 65 1 (𝐹𝐸 → (𝐹 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  wrex 3084  Vcvv 3410  {csn 4436  cmpt 5005   × cxp 5402  ran crn 5405  ccom 5408  Oncon0 6027   Fn wfn 6181  wf 6182  cfv 6186  (class class class)co 6975  1oc1o 7897  𝑚 cmap 8205  Basecbs 16338  s cpws 16575  CRingccrg 19034   RingHom crh 19200  SubRingcsubrg 19267   mPoly cmpl 19860   evalSub ces 20010   eval cevl 20011  PwSer1cps1 20062  Poly1cpl1 20064  eval1ce1 20196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-iin 4792  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-se 5364  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-isom 6195  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-of 7226  df-ofr 7227  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-supp 7633  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-2o 7905  df-oadd 7908  df-er 8088  df-map 8207  df-pm 8208  df-ixp 8259  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-fin 8309  df-fsupp 8628  df-sup 8700  df-oi 8768  df-card 9161  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-4 11504  df-5 11505  df-6 11506  df-7 11507  df-8 11508  df-9 11509  df-n0 11707  df-z 11793  df-dec 11911  df-uz 12058  df-fz 12708  df-fzo 12849  df-seq 13184  df-hash 13505  df-struct 16340  df-ndx 16341  df-slot 16342  df-base 16344  df-sets 16345  df-ress 16346  df-plusg 16433  df-mulr 16434  df-sca 16436  df-vsca 16437  df-ip 16438  df-tset 16439  df-ple 16440  df-ds 16442  df-hom 16444  df-cco 16445  df-0g 16570  df-gsum 16571  df-prds 16576  df-pws 16578  df-mre 16728  df-mrc 16729  df-acs 16731  df-mgm 17723  df-sgrp 17765  df-mnd 17776  df-mhm 17816  df-submnd 17817  df-grp 17907  df-minusg 17908  df-sbg 17909  df-mulg 18025  df-subg 18073  df-ghm 18140  df-cntz 18231  df-cmn 18681  df-abl 18682  df-mgp 18976  df-ur 18988  df-srg 18992  df-ring 19035  df-cring 19036  df-rnghom 19203  df-subrg 19269  df-lmod 19371  df-lss 19439  df-lsp 19479  df-assa 19819  df-asp 19820  df-ascl 19821  df-psr 19863  df-mvr 19864  df-mpl 19865  df-opsr 19867  df-evls 20012  df-evl 20013  df-psr1 20067  df-ply1 20069  df-evl1 20198
This theorem is referenced by:  pf1ind  20236
  Copyright terms: Public domain W3C validator