MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpfpf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpfpf1 21733
Description: Convert a multivariate polynomial function to univariate. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1rcl.q 𝑄 = ran (eval1β€˜π‘…)
pf1f.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
mpfpf1.q 𝐸 = ran (1o eval 𝑅)
Assertion
Ref Expression
mpfpf1 (𝐹 ∈ 𝐸 β†’ (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) ∈ 𝑄)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐡   𝑦,𝐸   𝑦,𝐹   𝑦,𝑅
Allowed substitution hint:   𝑄(𝑦)

Proof of Theorem mpfpf1
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpfpf1.q . . . . 5 𝐸 = ran (1o eval 𝑅)
2 eqid 2737 . . . . . . 7 (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
3 pf1f.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
42, 3evlval 21521 . . . . . 6 (1o eval 𝑅) = ((1o evalSub 𝑅)β€˜π΅)
54rneqi 5897 . . . . 5 ran (1o eval 𝑅) = ran ((1o evalSub 𝑅)β€˜π΅)
61, 5eqtri 2765 . . . 4 𝐸 = ran ((1o evalSub 𝑅)β€˜π΅)
76mpfrcl 21511 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐸 β†’ (1o ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)))
87simp2d 1144 . 2 (𝐹 ∈ 𝐸 β†’ 𝑅 ∈ CRing)
9 id 22 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐸 β†’ 𝐹 ∈ 𝐸)
109, 1eleqtrdi 2848 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐸 β†’ 𝐹 ∈ ran (1o eval 𝑅))
11 1on 8429 . . . . 5 1o ∈ On
12 eqid 2737 . . . . . 6 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
13 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑅 ↑s (𝐡 ↑m 1o)) = (𝑅 ↑s (𝐡 ↑m 1o))
142, 3, 12, 13evlrhm 21522 . . . . 5 ((1o ∈ On ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
1511, 8, 14sylancr 588 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐸 β†’ (1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
16 eqid 2737 . . . . . 6 (Poly1β€˜π‘…) = (Poly1β€˜π‘…)
17 eqid 2737 . . . . . 6 (PwSer1β€˜π‘…) = (PwSer1β€˜π‘…)
18 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) = (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))
1916, 17, 18ply1bas 21582 . . . . 5 (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) = (Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅))
20 eqid 2737 . . . . 5 (Baseβ€˜(𝑅 ↑s (𝐡 ↑m 1o))) = (Baseβ€˜(𝑅 ↑s (𝐡 ↑m 1o)))
2119, 20rhmf 20167 . . . 4 ((1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐡 ↑m 1o))) β†’ (1o eval 𝑅):(Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
22 ffn 6673 . . . 4 ((1o eval 𝑅):(Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s (𝐡 ↑m 1o))) β†’ (1o eval 𝑅) Fn (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…)))
23 fvelrnb 6908 . . . 4 ((1o eval 𝑅) Fn (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) β†’ (𝐹 ∈ ran (1o eval 𝑅) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))((1o eval 𝑅)β€˜π‘₯) = 𝐹))
2415, 21, 22, 234syl 19 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐸 β†’ (𝐹 ∈ ran (1o eval 𝑅) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))((1o eval 𝑅)β€˜π‘₯) = 𝐹))
2510, 24mpbid 231 . 2 (𝐹 ∈ 𝐸 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))((1o eval 𝑅)β€˜π‘₯) = 𝐹)
26 eqid 2737 . . . . . 6 (eval1β€˜π‘…) = (eval1β€˜π‘…)
2726, 2, 3, 12, 19evl1val 21711 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))) β†’ ((eval1β€˜π‘…)β€˜π‘₯) = (((1o eval 𝑅)β€˜π‘₯) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
28 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑅 ↑s 𝐡) = (𝑅 ↑s 𝐡)
2926, 16, 28, 3evl1rhm 21714 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing β†’ (eval1β€˜π‘…) ∈ ((Poly1β€˜π‘…) RingHom (𝑅 ↑s 𝐡)))
30 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐡)) = (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐡))
3118, 30rhmf 20167 . . . . . . . 8 ((eval1β€˜π‘…) ∈ ((Poly1β€˜π‘…) RingHom (𝑅 ↑s 𝐡)) β†’ (eval1β€˜π‘…):(Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐡)))
32 ffn 6673 . . . . . . . 8 ((eval1β€˜π‘…):(Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐡)) β†’ (eval1β€˜π‘…) Fn (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…)))
3329, 31, 323syl 18 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing β†’ (eval1β€˜π‘…) Fn (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…)))
34 fnfvelrn 7036 . . . . . . 7 (((eval1β€˜π‘…) Fn (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))) β†’ ((eval1β€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ ran (eval1β€˜π‘…))
3533, 34sylan 581 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))) β†’ ((eval1β€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ ran (eval1β€˜π‘…))
36 pf1rcl.q . . . . . 6 𝑄 = ran (eval1β€˜π‘…)
3735, 36eleqtrrdi 2849 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))) β†’ ((eval1β€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑄)
3827, 37eqeltrrd 2839 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))) β†’ (((1o eval 𝑅)β€˜π‘₯) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) ∈ 𝑄)
39 coeq1 5818 . . . . 5 (((1o eval 𝑅)β€˜π‘₯) = 𝐹 β†’ (((1o eval 𝑅)β€˜π‘₯) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) = (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
4039eleq1d 2823 . . . 4 (((1o eval 𝑅)β€˜π‘₯) = 𝐹 β†’ ((((1o eval 𝑅)β€˜π‘₯) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) ∈ 𝑄 ↔ (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) ∈ 𝑄))
4138, 40syl5ibcom 244 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))) β†’ (((1o eval 𝑅)β€˜π‘₯) = 𝐹 β†’ (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) ∈ 𝑄))
4241rexlimdva 3153 . 2 (𝑅 ∈ CRing β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))((1o eval 𝑅)β€˜π‘₯) = 𝐹 β†’ (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) ∈ 𝑄))
438, 25, 42sylc 65 1 (𝐹 ∈ 𝐸 β†’ (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) ∈ 𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448  {csn 4591   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636  ran crn 5639   ∘ ccom 5642  Oncon0 6322   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1oc1o 8410   ↑m cmap 8772  Basecbs 17090   ↑s cpws 17335  CRingccrg 19972   RingHom crh 20152  SubRingcsubrg 20234   mPoly cmpl 21324   evalSub ces 21496   eval cevl 21497  PwSer1cps1 21562  Poly1cpl1 21564  eval1ce1 21696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-prds 17336  df-pws 17338  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-srg 19925  df-ring 19973  df-cring 19974  df-rnghom 20155  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-assa 21275  df-asp 21276  df-ascl 21277  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-evls 21498  df-evl 21499  df-psr1 21567  df-ply1 21569  df-evl1 21698
This theorem is referenced by:  pf1ind  21737
  Copyright terms: Public domain W3C validator