Theorem mpfpf1 22670

Description: Convert a multivariate polynomial function to univariate. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pf1rcl.q	⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
pf1f.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mpfpf1.q	⊢ 𝐸 = ran (1o eval 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mpfpf1	⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐸   𝑦,𝐹   𝑦,𝑅

Allowed substitution hint:   𝑄(𝑦)

Proof of Theorem mpfpf1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpfpf1.q	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ran (1o eval 𝑅)
2		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
3		pf1f.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	evlval 22410	. . . . . 6 ⊢ (1o eval 𝑅) = ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
5	4	rneqi 5918	. . . . 5 ⊢ ran (1o eval 𝑅) = ran ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
6	1, 5	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ran ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
7	6	mpfrcl 22395	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → (1o ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅)))
8	7	simp2d 1161	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → 𝑅 ∈ CRing)
9		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → 𝐹 ∈ 𝐸)
10	9, 1	eleqtrdi 2870	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → 𝐹 ∈ ran (1o eval 𝑅))
11		1on 8490	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
12		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
13		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) = (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))
14	2, 3, 12, 13	evlrhm 22411	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
15	11, 8, 14	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → (1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
16		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
17		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
18	16, 17	ply1bas 22514	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
19		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))
20	18, 19	rhmf 20716	. . . 4 ⊢ ((1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) → (1o eval 𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
21		ffn 6709	. . . 4 ⊢ ((1o eval 𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) → (1o eval 𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)))
22		fvelrnb 6945	. . . 4 ⊢ ((1o eval 𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)) → (𝐹 ∈ ran (1o eval 𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹))
23	15, 20, 21, 22	4syl 20	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → (𝐹 ∈ ran (1o eval 𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹))
24	10, 23	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → ∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹)
25		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (eval1‘𝑅) = (eval1‘𝑅)
26	25, 2, 3, 12, 18	evl1val 22648	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((eval1‘𝑅)‘𝑥) = (((1o eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
27		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
28	25, 16, 27, 3	evl1rhm 22651	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
29		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
30	17, 29	rhmf 20716	. . . . . . . 8 ⊢ ((eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → (eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
31		ffn 6709	. . . . . . . 8 ⊢ ((eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) → (eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)))
32	28, 30, 31	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)))
33		fnfvelrn 7080	. . . . . . 7 ⊢ (((eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((eval1‘𝑅)‘𝑥) ∈ ran (eval1‘𝑅))
34	32, 33	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((eval1‘𝑅)‘𝑥) ∈ ran (eval1‘𝑅))
35		pf1rcl.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
36	34, 35	eleqtrrdi 2871	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((eval1‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑄)
37	26, 36	eqeltrrd 2861	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (((1o eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄)
38		coeq1 5834	. . . . 5 ⊢ (((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → (((1o eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
39	38	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → ((((1o eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄 ↔ (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄))
40	37, 39	syl5ibcom 248	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄))
41	40	rexlimdva 3163	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄))
42	8, 24, 41	sylc 66	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  Vcvv 3450  {csn 4583   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648  ran crn 5651   ∘ ccom 5654  Oncon0 6362   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1_oc1o 8470   ↑_m cmap 8848  Basecbs 17388   ↑_s cpws 17618  CRingccrg 20461   RingHom crh 20700  SubRingcsubrg 20822   mPoly cmpl 22215   evalSub ces 22382   eval cevl 22383  Poly₁cpl1 22496  eval₁ce1 22633

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-sup 9435  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-hash 14476  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-hom 17453  df-cco 17454  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-prds 17619  df-pws 17621  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-acs 17760  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-mhm 18979  df-submnd 18980  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-sbg 19150  df-mulg 19279  df-subg 19334  df-ghm 19429  df-cntz 19532  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-srg 20414  df-ring 20462  df-cring 20463  df-rhm 20703  df-subrng 20799  df-subrg 20823  df-lmod 21138  df-lss 21208  df-lsp 21248  df-assa 22162  df-asp 22163  df-ascl 22164  df-psr 22218  df-mvr 22219  df-mpl 22220  df-opsr 22222  df-evls 22384  df-evl 22385  df-psr1 22499  df-ply1 22501  df-evl1 22635

This theorem is used by:  pf1ind  22674