Theorem mpfpf1 21221

Description: Convert a multivariate polynomial function to univariate. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pf1rcl.q	⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
pf1f.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mpfpf1.q	⊢ 𝐸 = ran (1o eval 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mpfpf1	⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐸   𝑦,𝐹   𝑦,𝑅

Allowed substitution hint:   𝑄(𝑦)

Proof of Theorem mpfpf1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpfpf1.q	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ran (1o eval 𝑅)
2		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
3		pf1f.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	evlval 21009	. . . . . 6 ⊢ (1o eval 𝑅) = ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
5	4	rneqi 5791	. . . . 5 ⊢ ran (1o eval 𝑅) = ran ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
6	1, 5	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ran ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
7	6	mpfrcl 20999	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → (1o ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅)))
8	7	simp2d 1145	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → 𝑅 ∈ CRing)
9		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → 𝐹 ∈ 𝐸)
10	9, 1	eleqtrdi 2841	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → 𝐹 ∈ ran (1o eval 𝑅))
11		1on 8187	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
12		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
13		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) = (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))
14	2, 3, 12, 13	evlrhm 21010	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
15	11, 8, 14	sylancr 590	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → (1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
16		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
17		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
18		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
19	16, 17, 18	ply1bas 21070	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
20		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))
21	19, 20	rhmf 19700	. . . 4 ⊢ ((1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) → (1o eval 𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
22		ffn 6523	. . . 4 ⊢ ((1o eval 𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) → (1o eval 𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)))
23		fvelrnb 6751	. . . 4 ⊢ ((1o eval 𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)) → (𝐹 ∈ ran (1o eval 𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹))
24	15, 21, 22, 23	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → (𝐹 ∈ ran (1o eval 𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹))
25	10, 24	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → ∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹)
26		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (eval1‘𝑅) = (eval1‘𝑅)
27	26, 2, 3, 12, 19	evl1val 21199	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((eval1‘𝑅)‘𝑥) = (((1o eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
28		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
29	26, 16, 28, 3	evl1rhm 21202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
30		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
31	18, 30	rhmf 19700	. . . . . . . 8 ⊢ ((eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → (eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
32		ffn 6523	. . . . . . . 8 ⊢ ((eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) → (eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)))
33	29, 31, 32	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)))
34		fnfvelrn 6879	. . . . . . 7 ⊢ (((eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((eval1‘𝑅)‘𝑥) ∈ ran (eval1‘𝑅))
35	33, 34	sylan 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((eval1‘𝑅)‘𝑥) ∈ ran (eval1‘𝑅))
36		pf1rcl.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
37	35, 36	eleqtrrdi 2842	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((eval1‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑄)
38	27, 37	eqeltrrd 2832	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (((1o eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄)
39		coeq1 5711	. . . . 5 ⊢ (((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → (((1o eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
40	39	eleq1d 2815	. . . 4 ⊢ (((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → ((((1o eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄 ↔ (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄))
41	38, 40	syl5ibcom 248	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄))
42	41	rexlimdva 3193	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))((1o eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄))
43	8, 25, 42	sylc 65	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3052  Vcvv 3398  {csn 4527   ↦ cmpt 5120   × cxp 5534  ran crn 5537   ∘ ccom 5540  Oncon0 6191   Fn wfn 6353  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  1_oc1o 8173   ↑_m cmap 8486  Basecbs 16666   ↑_s cpws 16905  CRingccrg 19517   RingHom crh 19686  SubRingcsubrg 19750   mPoly cmpl 20819   evalSub ces 20984   eval cevl 20985  PwSer₁cps1 21050  Poly₁cpl1 21052  eval₁ce1 21184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-iin 4893  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-of 7447  df-ofr 7448  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-supp 7882  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-map 8488  df-pm 8489  df-ixp 8557  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-fsupp 8964  df-sup 9036  df-oi 9104  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-n0 12056  df-z 12142  df-dec 12259  df-uz 12404  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-seq 13540  df-hash 13862  df-struct 16668  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-plusg 16762  df-mulr 16763  df-sca 16765  df-vsca 16766  df-ip 16767  df-tset 16768  df-ple 16769  df-ds 16771  df-hom 16773  df-cco 16774  df-0g 16900  df-gsum 16901  df-prds 16906  df-pws 16908  df-mre 17043  df-mrc 17044  df-acs 17046  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-mhm 18172  df-submnd 18173  df-grp 18322  df-minusg 18323  df-sbg 18324  df-mulg 18443  df-subg 18494  df-ghm 18574  df-cntz 18665  df-cmn 19126  df-abl 19127  df-mgp 19459  df-ur 19471  df-srg 19475  df-ring 19518  df-cring 19519  df-rnghom 19689  df-subrg 19752  df-lmod 19855  df-lss 19923  df-lsp 19963  df-assa 20769  df-asp 20770  df-ascl 20771  df-psr 20822  df-mvr 20823  df-mpl 20824  df-opsr 20826  df-evls 20986  df-evl 20987  df-psr1 21055  df-ply1 21057  df-evl1 21186

This theorem is referenced by:  pf1ind  21225