Theorem coef2 26353

Description: The domain and codomain of the coefficient function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
dgrval.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
coef2	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶𝑆)

Proof of Theorem coef2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgrval.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
2	1	coef 26352	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
3	2	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
4		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → 0 ∈ 𝑆)
5	4	snssd 4754	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → {0} ⊆ 𝑆)
6		ssequn2 4150	. . . 4 ⊢ ({0} ⊆ 𝑆 ↔ (𝑆 ∪ {0}) = 𝑆)
7	5, 6	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∪ {0}) = 𝑆)
8	7	feq3d 6688	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ↔ 𝐴:ℕ0⟶𝑆))
9	3, 8	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913  {csn 4591  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  0cc0 11096  ℕ₀cn0 12500  Polycply 26306  coeffccoe 26308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-0p 25794  df-ply 26310  df-coe 26312

This theorem is referenced by:  coef3  26354  plyrecj  26403  plyn0mulidp  26407  dvply2g  26411  plydivlem4  26422  elqaalem1  26445  elqaalem3  26447  aareccl  26452  aannenlem1  26454  aannenlem2  26455  aalioulem1  26458  signsply0  34879  mpaaeu  43762  cnsrplycl  43779  elaa2lem  46832  etransclem46  46879  etransclem47  46880  etransclem48  46881