MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slesolex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slesolex 20989
Description: Every system of linear equations represented by a matrix with a unit as determinant has a solution. (Contributed by AV, 11-Feb-2019.) (Revised by AV, 28-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
slesolex.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
slesolex.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
slesolex.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)
slesolex.x · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
slesolex.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
Assertion
Ref Expression
slesolex (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → ∃𝑧𝑉 (𝑋 · 𝑧) = 𝑌)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐷   𝑧,𝑁   𝑧,𝑅   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧, ·

Proof of Theorem slesolex
StepHypRef Expression
1 slesolex.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 slesolex.x . . . . 5 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3 eqid 2772 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 eqid 2772 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5 crngring 19025 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
65adantl 474 . . . . . 6 ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
763ad2ant1 1113 . . . . 5 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
8 slesolex.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
91, 8matrcl 20719 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
109simpld 487 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑁 ∈ Fin)
1110adantr 473 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
12113ad2ant2 1114 . . . . 5 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑁 ∈ Fin)
136, 11anim12ci 604 . . . . . . . 8 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
14133adant3 1112 . . . . . . 7 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
151matring 20750 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
1614, 15syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐴 ∈ Ring)
17 slesolex.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
18 eqid 2772 . . . . . . . . . 10 (Unit‘𝐴) = (Unit‘𝐴)
19 eqid 2772 . . . . . . . . . 10 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
201, 17, 8, 18, 19matunit 20985 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 ∈ (Unit‘𝐴) ↔ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
2120bicomd 215 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)))
2221ad2ant2lr 735 . . . . . . 7 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)))
2322biimp3a 1448 . . . . . 6 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴))
24 eqid 2772 . . . . . . 7 (invr𝐴) = (invr𝐴)
25 eqid 2772 . . . . . . 7 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
2618, 24, 25ringinvcl 19143 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)) → ((invr𝐴)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐴))
2716, 23, 26syl2anc 576 . . . . 5 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr𝐴)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐴))
28 slesolex.v . . . . . . . . 9 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)
2928eleq2i 2851 . . . . . . . 8 (𝑌𝑉𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁))
3029biimpi 208 . . . . . . 7 (𝑌𝑉𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁))
3130adantl 474 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁))
32313ad2ant2 1114 . . . . 5 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁))
331, 2, 3, 4, 7, 12, 27, 32mavmulcl 20854 . . . 4 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr𝐴)‘𝑋) · 𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁))
3433, 28syl6eleqr 2871 . . 3 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr𝐴)‘𝑋) · 𝑌) ∈ 𝑉)
351, 8, 28, 2, 17, 24slesolinvbi 20988 . . . . . 6 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑋 · 𝑧) = 𝑌𝑧 = (((invr𝐴)‘𝑋) · 𝑌)))
3635adantr 473 . . . . 5 ((((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅))) → ((𝑋 · 𝑧) = 𝑌𝑧 = (((invr𝐴)‘𝑋) · 𝑌)))
3736biimprd 240 . . . 4 ((((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅))) → (𝑧 = (((invr𝐴)‘𝑋) · 𝑌) → (𝑋 · 𝑧) = 𝑌))
3837impancom 444 . . 3 ((((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ 𝑧 = (((invr𝐴)‘𝑋) · 𝑌)) → (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋 · 𝑧) = 𝑌))
3934, 38rspcimedv 3531 . 2 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → ∃𝑧𝑉 (𝑋 · 𝑧) = 𝑌))
4039pm2.43i 52 1 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → ∃𝑧𝑉 (𝑋 · 𝑧) = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2961  wrex 3083  Vcvv 3409  c0 4172  cop 4441  cfv 6182  (class class class)co 6970  𝑚 cmap 8200  Fincfn 8300  Basecbs 16333  .rcmulr 16416  Ringcrg 19014  CRingccrg 19015  Unitcui 19106  invrcinvr 19138   Mat cmat 20714   maVecMul cmvmul 20847   maDet cmdat 20891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406  ax-addf 10408  ax-mulf 10409
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-xor 1489  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-ot 4444  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-se 5361  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-supp 7628  df-tpos 7689  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-2o 7900  df-oadd 7903  df-er 8083  df-map 8202  df-pm 8203  df-ixp 8254  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-fsupp 8623  df-sup 8695  df-oi 8763  df-card 9156  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-div 11093  df-nn 11434  df-2 11497  df-3 11498  df-4 11499  df-5 11500  df-6 11501  df-7 11502  df-8 11503  df-9 11504  df-n0 11702  df-xnn0 11774  df-z 11788  df-dec 11906  df-uz 12053  df-rp 12199  df-fz 12703  df-fzo 12844  df-seq 13179  df-exp 13239  df-hash 13500  df-word 13667  df-lsw 13720  df-concat 13728  df-s1 13753  df-substr 13798  df-pfx 13847  df-splice 13954  df-reverse 13972  df-s2 14066  df-struct 16335  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-sets 16340  df-ress 16341  df-plusg 16428  df-mulr 16429  df-starv 16430  df-sca 16431  df-vsca 16432  df-ip 16433  df-tset 16434  df-ple 16435  df-ds 16437  df-unif 16438  df-hom 16439  df-cco 16440  df-0g 16565  df-gsum 16566  df-prds 16571  df-pws 16573  df-mre 16709  df-mrc 16710  df-acs 16712  df-mgm 17704  df-sgrp 17746  df-mnd 17757  df-mhm 17797  df-submnd 17798  df-grp 17888  df-minusg 17889  df-sbg 17890  df-mulg 18006  df-subg 18054  df-ghm 18121  df-gim 18164  df-cntz 18212  df-oppg 18239  df-symg 18261  df-pmtr 18325  df-psgn 18374  df-evpm 18375  df-cmn 18662  df-abl 18663  df-mgp 18957  df-ur 18969  df-srg 18973  df-ring 19016  df-cring 19017  df-oppr 19090  df-dvdsr 19108  df-unit 19109  df-invr 19139  df-dvr 19150  df-rnghom 19184  df-drng 19221  df-subrg 19250  df-lmod 19352  df-lss 19420  df-sra 19660  df-rgmod 19661  df-assa 19800  df-cnfld 20242  df-zring 20314  df-zrh 20347  df-dsmm 20572  df-frlm 20587  df-mamu 20691  df-mat 20715  df-mvmul 20848  df-mdet 20892  df-madu 20941
This theorem is referenced by:  cramerlem3  20996
  Copyright terms: Public domain W3C validator