MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cosf 15468
Description: Domain and codomain of the cosine function. (Contributed by Paul Chapman, 22-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
cosf cos:ℂ⟶ℂ

Proof of Theorem cosf
StepHypRef Expression
1 df-cos 15414 . 2 cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2))
2 ax-icn 10585 . . . . . 6 i ∈ ℂ
3 mulcl 10610 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
42, 3mpan 686 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
5 efcl 15426 . . . . 5 ((i · 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
7 negicn 10876 . . . . . 6 -i ∈ ℂ
8 mulcl 10610 . . . . . 6 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-i · 𝑥) ∈ ℂ)
97, 8mpan 686 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (-i · 𝑥) ∈ ℂ)
10 efcl 15426 . . . . 5 ((-i · 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ)
126, 11addcld 10649 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) ∈ ℂ)
1312halfcld 11871 . 2 (𝑥 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2) ∈ ℂ)
141, 13fmpti 6869 1 cos:ℂ⟶ℂ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2105  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7145  cc 10524  ici 10528   + caddc 10529   · cmul 10531  -cneg 10860   / cdiv 11286  2c2 11681  expce 15405  cosccos 15408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-pm 8399  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-ico 12734  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-hash 13681  df-shft 14416  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-limsup 14818  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-ef 15411  df-cos 15414
This theorem is referenced by:  coscl  15470  tanval  15471  recosf1o  25046  resinf1o  25047  ex-co  28145  taupilem3  34483  dvtan  34824  sinmulcos  42026  dvsinexp  42075  dvcosre  42076  dvsinax  42077  dvcosax  42091  itgsinexplem1  42119  dirkercncflem2  42270  fourierdlem56  42328  fourierdlem62  42334
  Copyright terms: Public domain W3C validator