MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cosf 16127
Description: Domain and codomain of the cosine function. (Contributed by Paul Chapman, 22-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
cosf cos:ℂ⟶ℂ

Proof of Theorem cosf
StepHypRef Expression
1 df-cos 16072 . 2 cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2))
2 ax-icn 11217 . . . . . 6 i ∈ ℂ
3 mulcl 11242 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
42, 3mpan 688 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
5 efcl 16084 . . . . 5 ((i · 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
7 negicn 11511 . . . . . 6 -i ∈ ℂ
8 mulcl 11242 . . . . . 6 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-i · 𝑥) ∈ ℂ)
97, 8mpan 688 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (-i · 𝑥) ∈ ℂ)
10 efcl 16084 . . . . 5 ((-i · 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ)
126, 11addcld 11283 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) ∈ ℂ)
1312halfcld 12509 . 2 (𝑥 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2) ∈ ℂ)
141, 13fmpti 7126 1 cos:ℂ⟶ℂ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2099  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  cc 11156  ici 11160   + caddc 11161   · cmul 11163  -cneg 11495   / cdiv 11921  2c2 12319  expce 16063  cosccos 16066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-ico 13384  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fac 14291  df-hash 14348  df-shft 15072  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-limsup 15473  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-ef 16069  df-cos 16072
This theorem is referenced by:  coscl  16129  tanval  16130  recosf1o  26562  resinf1o  26563  ex-co  30371  taupilem3  37026  dvtan  37371  sinmulcos  45486  dvsinexp  45532  dvcosre  45533  dvsinax  45534  dvcosax  45547  itgsinexplem1  45575  dirkercncflem2  45725  fourierdlem56  45783  fourierdlem62  45789
  Copyright terms: Public domain W3C validator