Theorem dfufd2 33513

Description: Alternative definition of unique factorization domain (UFD). This is often the textbook definition. Chapter VII, Paragraph 3, Section 3, Proposition 2 of [BourbakiCAlg2], p. 228. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfufd2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dfufd2.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
dfufd2.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dfufd2.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
dfufd2.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dfufd2	⊢ (𝑅 ∈ UFD ↔ (𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)))

Distinct variable groups:   0 ,𝑓,𝑥   𝐵,𝑓,𝑥   𝑓,𝑀,𝑥   𝑃,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓,𝑥   𝑈,𝑓,𝑥

Proof of Theorem dfufd2

Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ UFD → 𝑅 ∈ UFD)
2	1	ufdidom 33505	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ UFD → 𝑅 ∈ IDomn)
3		dfufd2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		dfufd2.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		dfufd2.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6		dfufd2.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
7		dfufd2.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
8		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ UFD)
9		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3914	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
11	10	eldifad 3914	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝐵)
12	10	eldifbd 3915	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })) → ¬ 𝑥 ∈ 𝑈)
13		eldifsni 4742	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })) → 𝑥 ≠ 0 )
15	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 14	1arithufd 33511	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })) → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓))
16	15	ralrimiva 3124	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ UFD → ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓))
17	2, 16	jca 511	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ UFD → (𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)))
18		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑅 ∈ IDomn)
19		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ IDomn)
20	19	idomringd 20644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Ring)
21	20	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑅 ∈ Ring)
22		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }}))
23	22	eldifad 3914	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
24		prmidlidl 33407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
25	21, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
26		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
27	3, 26	lidlss 21150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖 ⊆ 𝐵)
28	25, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ⊆ 𝐵)
29	28	sselda 3934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → 𝑦 ∈ 𝐵)
30		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
31		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑖)
32	21	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
33	25	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
34	3, 5, 30, 31, 32, 33	lidlunitel 33386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑖 = 𝐵)
35		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
36	3, 35	prmidlnr 33402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ 𝐵)
37	21, 23, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ≠ 𝐵)
38	37	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑖 ≠ 𝐵)
39	38	neneqd 2933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ¬ 𝑖 = 𝐵)
40	34, 39	pm2.65da 816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑈)
41	29, 40	eldifd 3913	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
42		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → 𝑦 ≠ 0 )
43	41, 42	eldifsnd 4739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → 𝑦 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 }))
44		eqeq1 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)))
45	44	rexbidv 3156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)))
46	45	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)))
47	43, 46	rspcdv 3569	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → (∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)))
48		simp-5l 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑅 ∈ IDomn)
49	23	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
50		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑓 ∈ Word 𝑃)
51		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓))
52		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑦 ∈ 𝑖)
53	51, 52	eqeltrrd 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝑖)
54	42	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑦 ≠ 0 )
55	51, 54	eqnetrrd 2996	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 )
56	3, 4, 5, 6, 7, 48, 49, 50, 53, 55	dfufd2lem 33512	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → (𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅)
57	56	rexlimdva2 3135	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓) → (𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅))
58	47, 57	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → (∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) → (𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅))
59	58	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) → (𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅)
60	59	an52ds 32428	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅)
61	20	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑅 ∈ Ring)
62		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }}))
63	62	eldifad 3914	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
64	61, 63, 24	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
65		eldifsni 4742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }}) → 𝑖 ≠ { 0 })
66	65	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ≠ { 0 })
67	26, 4	lidlnz 21180	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ { 0 }) → ∃𝑦 ∈ 𝑖 𝑦 ≠ 0 )
68	61, 64, 66, 67	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → ∃𝑦 ∈ 𝑖 𝑦 ≠ 0 )
69	60, 68	r19.29a 3140	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → (𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅)
70	69	ralrimiva 3124	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) → ∀𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})(𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅)
71		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
72	71, 6, 4	isufd 33503	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ UFD ↔ (𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})(𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅))
73	18, 70, 72	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑅 ∈ UFD)
74	17, 73	impbii 209	1 ⊢ (𝑅 ∈ UFD ↔ (𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ∖ cdif 3899   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  {csn 4576  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Word cword 14420  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  0_gc0g 17343   Σ_g cgsu 17344  mulGrpcmgp 20059  Ringcrg 20152  Unitcui 20274  RPrimecrpm 20351  IDomncidom 20609  LIdealclidl 21144  PrmIdealcprmidl 33398  UFDcufd 33501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-ac2 10354  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-rpss 7656  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-oi 9396  df-dju 9794  df-card 9832  df-ac 10007  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-word 14421  df-lsw 14470  df-concat 14478  df-s1 14504  df-substr 14549  df-pfx 14579  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-cntz 19230  df-lsm 19549  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20060  df-rng 20072  df-ur 20101  df-ring 20154  df-cring 20155  df-oppr 20256  df-dvdsr 20276  df-unit 20277  df-invr 20307  df-rprm 20352  df-nzr 20429  df-subrg 20486  df-domn 20611  df-idom 20612  df-drng 20647  df-lmod 20796  df-lss 20866  df-lsp 20906  df-sra 21108  df-rgmod 21109  df-lidl 21146  df-rsp 21147  df-prmidl 33399  df-ufd 33502

This theorem is referenced by: (None)