Theorem dfufd2 33631

Description: Alternative definition of unique factorization domain (UFD). This is often the textbook definition. Chapter VII, Paragraph 3, Section 3, Proposition 2 of [BourbakiCAlg2], p. 228. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfufd2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dfufd2.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
dfufd2.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dfufd2.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
dfufd2.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dfufd2	⊢ (𝑅 ∈ UFD ↔ (𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)))

Distinct variable groups:   0 ,𝑓,𝑥   𝐵,𝑓,𝑥   𝑓,𝑀,𝑥   𝑃,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓,𝑥   𝑈,𝑓,𝑥

Proof of Theorem dfufd2

Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ UFD → 𝑅 ∈ UFD)
2	1	ufdidom 33623	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ UFD → 𝑅 ∈ IDomn)
3		dfufd2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		dfufd2.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		dfufd2.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6		dfufd2.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
7		dfufd2.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
8		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ UFD)
9		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3913	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
11	10	eldifad 3913	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝐵)
12	10	eldifbd 3914	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })) → ¬ 𝑥 ∈ 𝑈)
13		eldifsni 4746	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })) → 𝑥 ≠ 0 )
15	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 14	1arithufd 33629	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })) → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓))
16	15	ralrimiva 3128	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ UFD → ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓))
17	2, 16	jca 511	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ UFD → (𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)))
18		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑅 ∈ IDomn)
19		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ IDomn)
20	19	idomringd 20661	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Ring)
21	20	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑅 ∈ Ring)
22		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }}))
23	22	eldifad 3913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
24		prmidlidl 33525	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
25	21, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
26		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
27	3, 26	lidlss 21167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖 ⊆ 𝐵)
28	25, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ⊆ 𝐵)
29	28	sselda 3933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → 𝑦 ∈ 𝐵)
30		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
31		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑖)
32	21	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
33	25	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
34	3, 5, 30, 31, 32, 33	lidlunitel 33504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑖 = 𝐵)
35		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
36	3, 35	prmidlnr 33520	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ 𝐵)
37	21, 23, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ≠ 𝐵)
38	37	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑖 ≠ 𝐵)
39	38	neneqd 2937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ¬ 𝑖 = 𝐵)
40	34, 39	pm2.65da 816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑈)
41	29, 40	eldifd 3912	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
42		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → 𝑦 ≠ 0 )
43	41, 42	eldifsnd 4743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → 𝑦 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 }))
44		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)))
45	44	rexbidv 3160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)))
46	45	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)))
47	43, 46	rspcdv 3568	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → (∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)))
48		simp-5l 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑅 ∈ IDomn)
49	23	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
50		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑓 ∈ Word 𝑃)
51		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓))
52		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑦 ∈ 𝑖)
53	51, 52	eqeltrrd 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝑖)
54	42	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑦 ≠ 0 )
55	51, 54	eqnetrrd 3000	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 )
56	3, 4, 5, 6, 7, 48, 49, 50, 53, 55	dfufd2lem 33630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → (𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅)
57	56	rexlimdva2 3139	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓) → (𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅))
58	47, 57	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → (∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) → (𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅))
59	58	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) → (𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅)
60	59	an52ds 32525	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅)
61	20	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑅 ∈ Ring)
62		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }}))
63	62	eldifad 3913	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
64	61, 63, 24	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
65		eldifsni 4746	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }}) → 𝑖 ≠ { 0 })
66	65	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ≠ { 0 })
67	26, 4	lidlnz 21197	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ { 0 }) → ∃𝑦 ∈ 𝑖 𝑦 ≠ 0 )
68	61, 64, 66, 67	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → ∃𝑦 ∈ 𝑖 𝑦 ≠ 0 )
69	60, 68	r19.29a 3144	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → (𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅)
70	69	ralrimiva 3128	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) → ∀𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})(𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅)
71		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
72	71, 6, 4	isufd 33621	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ UFD ↔ (𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})(𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅))
73	18, 70, 72	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑅 ∈ UFD)
74	17, 73	impbii 209	1 ⊢ (𝑅 ∈ UFD ↔ (𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ∖ cdif 3898   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  {csn 4580  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Word cword 14436  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  0_gc0g 17359   Σ_g cgsu 17360  mulGrpcmgp 20075  Ringcrg 20168  Unitcui 20291  RPrimecrpm 20368  IDomncidom 20626  LIdealclidl 21161  PrmIdealcprmidl 33516  UFDcufd 33619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-ac2 10373  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-rpss 7668  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-oi 9415  df-dju 9813  df-card 9851  df-ac 10026  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-word 14437  df-lsw 14486  df-concat 14494  df-s1 14520  df-substr 14565  df-pfx 14595  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-cntz 19246  df-lsm 19565  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-rprm 20369  df-nzr 20446  df-subrg 20503  df-domn 20628  df-idom 20629  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-lidl 21163  df-rsp 21164  df-prmidl 33517  df-ufd 33620

This theorem is referenced by: (None)