Theorem dfufd2 33578

Description: Alternative definition of unique factorization domain (UFD). This is often the textbook definition. Chapter VII, Paragraph 3, Section 3, Proposition 2 of [BourbakiCAlg2], p. 228. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfufd2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dfufd2.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
dfufd2.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dfufd2.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
dfufd2.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dfufd2	⊢ (𝑅 ∈ UFD ↔ (𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)))

Distinct variable groups:   0 ,𝑓,𝑥   𝐵,𝑓,𝑥   𝑓,𝑀,𝑥   𝑃,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓,𝑥   𝑈,𝑓,𝑥

Proof of Theorem dfufd2

Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ UFD → 𝑅 ∈ UFD)
2	1	ufdidom 33570	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ UFD → 𝑅 ∈ IDomn)
3		dfufd2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		dfufd2.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		dfufd2.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6		dfufd2.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
7		dfufd2.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
8		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ UFD)
9		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3963	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
11	10	eldifad 3963	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝐵)
12	10	eldifbd 3964	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })) → ¬ 𝑥 ∈ 𝑈)
13		eldifsni 4790	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })) → 𝑥 ≠ 0 )
15	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 14	1arithufd 33576	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })) → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓))
16	15	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ UFD → ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓))
17	2, 16	jca 511	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ UFD → (𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)))
18		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑅 ∈ IDomn)
19		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ IDomn)
20	19	idomringd 20728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Ring)
21	20	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑅 ∈ Ring)
22		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }}))
23	22	eldifad 3963	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
24		prmidlidl 33472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
25	21, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
26		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
27	3, 26	lidlss 21222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖 ⊆ 𝐵)
28	25, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ⊆ 𝐵)
29	28	sselda 3983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → 𝑦 ∈ 𝐵)
30		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
31		simplr 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑖)
32	21	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
33	25	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
34	3, 5, 30, 31, 32, 33	lidlunitel 33451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑖 = 𝐵)
35		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
36	3, 35	prmidlnr 33467	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ 𝐵)
37	21, 23, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ≠ 𝐵)
38	37	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑖 ≠ 𝐵)
39	38	neneqd 2945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ¬ 𝑖 = 𝐵)
40	34, 39	pm2.65da 817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑈)
41	29, 40	eldifd 3962	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
42		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → 𝑦 ≠ 0 )
43	41, 42	eldifsnd 4787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → 𝑦 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 }))
44		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)))
45	44	rexbidv 3179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)))
46	45	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)))
47	43, 46	rspcdv 3614	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → (∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)))
48		simp-5l 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑅 ∈ IDomn)
49	23	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
50		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑓 ∈ Word 𝑃)
51		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓))
52		simpllr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑦 ∈ 𝑖)
53	51, 52	eqeltrrd 2842	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝑖)
54	42	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑦 ≠ 0 )
55	51, 54	eqnetrrd 3009	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 )
56	3, 4, 5, 6, 7, 48, 49, 50, 53, 55	dfufd2lem 33577	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → (𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅)
57	56	rexlimdva2 3157	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓) → (𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅))
58	47, 57	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → (∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) → (𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅))
59	58	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) → (𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅)
60	59	an52ds 32470	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅)
61	20	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑅 ∈ Ring)
62		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }}))
63	62	eldifad 3963	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
64	61, 63, 24	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
65		eldifsni 4790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }}) → 𝑖 ≠ { 0 })
66	65	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ≠ { 0 })
67	26, 4	lidlnz 21252	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ { 0 }) → ∃𝑦 ∈ 𝑖 𝑦 ≠ 0 )
68	61, 64, 66, 67	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → ∃𝑦 ∈ 𝑖 𝑦 ≠ 0 )
69	60, 68	r19.29a 3162	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → (𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅)
70	69	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) → ∀𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})(𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅)
71		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
72	71, 6, 4	isufd 33568	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ UFD ↔ (𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})(𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅))
73	18, 70, 72	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑅 ∈ UFD)
74	17, 73	impbii 209	1 ⊢ (𝑅 ∈ UFD ↔ (𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3948   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  {csn 4626  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Word cword 14552  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298  0_gc0g 17484   Σ_g cgsu 17485  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230  Unitcui 20355  RPrimecrpm 20432  IDomncidom 20693  LIdealclidl 21216  PrmIdealcprmidl 33463  UFDcufd 33566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-rpss 7743  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-rprm 20433  df-nzr 20513  df-subrg 20570  df-domn 20695  df-idom 20696  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-prmidl 33464  df-ufd 33567

This theorem is referenced by: (None)