Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfufd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfufd2 33557
Description: Alternative definition of unique factorization domain (UFD). This is often the textbook definition. Chapter VII, Paragraph 3, Section 3, Proposition 2 of [BourbakiCAlg2], p. 228. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
dfufd2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dfufd2.0 0 = (0g𝑅)
dfufd2.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dfufd2.p 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
dfufd2.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
dfufd2 (𝑅 ∈ UFD ↔ (𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)))
Distinct variable groups:   0 ,𝑓,𝑥   𝐵,𝑓,𝑥   𝑓,𝑀,𝑥   𝑃,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓,𝑥   𝑈,𝑓,𝑥

Proof of Theorem dfufd2
Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 (𝑅 ∈ UFD → 𝑅 ∈ UFD)
21ufdidom 33549 . . 3 (𝑅 ∈ UFD → 𝑅 ∈ IDomn)
3 dfufd2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 dfufd2.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
5 dfufd2.u . . . . 5 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6 dfufd2.p . . . . 5 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
7 dfufd2.m . . . . 5 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
8 simpl 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵𝑈) ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ UFD)
9 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵𝑈) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ ((𝐵𝑈) ∖ { 0 }))
109eldifad 3974 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵𝑈) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (𝐵𝑈))
1110eldifad 3974 . . . . 5 ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵𝑈) ∖ { 0 })) → 𝑥𝐵)
1210eldifbd 3975 . . . . 5 ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵𝑈) ∖ { 0 })) → ¬ 𝑥𝑈)
13 eldifsni 4794 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((𝐵𝑈) ∖ { 0 }) → 𝑥0 )
1413adantl 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵𝑈) ∖ { 0 })) → 𝑥0 )
153, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 141arithufd 33555 . . . 4 ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵𝑈) ∖ { 0 })) → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓))
1615ralrimiva 3143 . . 3 (𝑅 ∈ UFD → ∀𝑥 ∈ ((𝐵𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓))
172, 16jca 511 . 2 (𝑅 ∈ UFD → (𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)))
18 simpl 482 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑅 ∈ IDomn)
19 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ IDomn)
2019idomringd 20744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Ring)
2120ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑅 ∈ Ring)
22 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }}))
2322eldifad 3974 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
24 prmidlidl 33451 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
2521, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
26 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
273, 26lidlss 21239 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖𝐵)
2825, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖𝐵)
2928sselda 3994 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦𝑖) → 𝑦𝐵)
30 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦𝑖) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑦𝑈)
31 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦𝑖) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑦𝑖)
3221ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦𝑖) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
3325ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦𝑖) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
343, 5, 30, 31, 32, 33lidlunitel 33430 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦𝑖) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑖 = 𝐵)
35 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.r𝑅) = (.r𝑅)
363, 35prmidlnr 33446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖𝐵)
3721, 23, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖𝐵)
3837ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦𝑖) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑖𝐵)
3938neneqd 2942 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦𝑖) ∧ 𝑦𝑈) → ¬ 𝑖 = 𝐵)
4034, 39pm2.65da 817 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦𝑖) → ¬ 𝑦𝑈)
4129, 40eldifd 3973 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦𝑖) → 𝑦 ∈ (𝐵𝑈))
42 simpllr 776 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦𝑖) → 𝑦0 )
4341, 42eldifsnd 4791 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦𝑖) → 𝑦 ∈ ((𝐵𝑈) ∖ { 0 }))
44 eqeq1 2738 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)))
4544rexbidv 3176 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)))
4645adantl 481 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦𝑖) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)))
4743, 46rspcdv 3613 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦𝑖) → (∀𝑥 ∈ ((𝐵𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)))
48 simp-5l 785 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑅 ∈ IDomn)
4923ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
50 simplr 769 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑓 ∈ Word 𝑃)
51 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓))
52 simpllr 776 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑦𝑖)
5351, 52eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝑖)
5442ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑦0 )
5551, 54eqnetrrd 3006 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 )
563, 4, 5, 6, 7, 48, 49, 50, 53, 55dfufd2lem 33556 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → (𝑖𝑃) ≠ ∅)
5756rexlimdva2 3154 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦𝑖) → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓) → (𝑖𝑃) ≠ ∅))
5847, 57syld 47 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦𝑖) → (∀𝑥 ∈ ((𝐵𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) → (𝑖𝑃) ≠ ∅))
5958imp 406 . . . . . 6 (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦𝑖) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) → (𝑖𝑃) ≠ ∅)
6059an52ds 32479 . . . . 5 (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦𝑖) ∧ 𝑦0 ) → (𝑖𝑃) ≠ ∅)
6120ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑅 ∈ Ring)
62 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }}))
6362eldifad 3974 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
6461, 63, 24syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
65 eldifsni 4794 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }}) → 𝑖 ≠ { 0 })
6665adantl 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ≠ { 0 })
6726, 4lidlnz 21269 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ { 0 }) → ∃𝑦𝑖 𝑦0 )
6861, 64, 66, 67syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → ∃𝑦𝑖 𝑦0 )
6960, 68r19.29a 3159 . . . 4 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → (𝑖𝑃) ≠ ∅)
7069ralrimiva 3143 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) → ∀𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})(𝑖𝑃) ≠ ∅)
71 eqid 2734 . . . 4 (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
7271, 6, 4isufd 33547 . . 3 (𝑅 ∈ UFD ↔ (𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})(𝑖𝑃) ≠ ∅))
7318, 70, 72sylanbrc 583 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑅 ∈ UFD)
7417, 73impbii 209 1 (𝑅 ∈ UFD ↔ (𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  cdif 3959  cin 3961  wss 3962  c0 4338  {csn 4630  cfv 6562  (class class class)co 7430  Word cword 14548  Basecbs 17244  .rcmulr 17298  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  mulGrpcmgp 20151  Ringcrg 20250  Unitcui 20371  RPrimecrpm 20448  IDomncidom 20709  LIdealclidl 21233  PrmIdealcprmidl 33442  UFDcufd 33545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-ac2 10500  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-rpss 7741  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-ac 10153  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-word 14549  df-lsw 14597  df-concat 14605  df-s1 14630  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-cntz 19347  df-lsm 19668  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-rprm 20449  df-nzr 20529  df-subrg 20586  df-domn 20711  df-idom 20712  df-drng 20747  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-lidl 21235  df-rsp 21236  df-prmidl 33443  df-ufd 33546
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator