Theorem dfufd2 33880

Description: Alternative definition of unique factorization domain (UFD). This is often the textbook definition. Chapter VII, Paragraph 3, Section 3, Proposition 2 of [BourbakiCAlg2], p. 228. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfufd2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dfufd2.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
dfufd2.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dfufd2.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
dfufd2.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dfufd2	⊢ (𝑅 ∈ UFD ↔ (𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)))

Distinct variable groups:   0 ,𝑓,𝑥   𝐵,𝑓,𝑥   𝑓,𝑀,𝑥   𝑃,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓,𝑥   𝑈,𝑓,𝑥

Proof of Theorem dfufd2

Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ UFD → 𝑅 ∈ UFD)
2	1	ufdidom 33872	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ UFD → 𝑅 ∈ IDomn)
3		dfufd2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		dfufd2.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		dfufd2.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6		dfufd2.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
7		dfufd2.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
8		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ UFD)
9		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3918	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
11	10	eldifad 3918	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝐵)
12	10	eldifbd 3919	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })) → ¬ 𝑥 ∈ 𝑈)
13		eldifsni 4760	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
14	13	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })) → 𝑥 ≠ 0 )
15	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 14	1arithufd 33878	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ UFD ∧ 𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })) → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓))
16	15	ralrimiva 3159	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ UFD → ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓))
17	2, 16	jca 521	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ UFD → (𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)))
18		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑅 ∈ IDomn)
19		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ IDomn)
20	19	idomringd 20856	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Ring)
21	20	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑅 ∈ Ring)
22		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }}))
23	22	eldifad 3918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
24		prmidlidl 21499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
25	21, 23, 24	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
26		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
27	3, 26	lidlss 21366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖 ⊆ 𝐵)
28	25, 27	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ⊆ 𝐵)
29	28	sselda 3938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → 𝑦 ∈ 𝐵)
30		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
31		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑖)
32	21	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
33	25	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
34	3, 5, 30, 31, 32, 33	lidlunitel 33771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑖 = 𝐵)
35		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
36	3, 35	prmidlnr 21494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ 𝐵)
37	21, 23, 36	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ≠ 𝐵)
38	37	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑖 ≠ 𝐵)
39	38	neneqd 2965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ¬ 𝑖 = 𝐵)
40	34, 39	pm2.65da 829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑈)
41	29, 40	eldifd 3917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑈))
42		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → 𝑦 ≠ 0 )
43	41, 42	eldifsnd 4757	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → 𝑦 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 }))
44		eqeq1 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)))
45	44	rexbidv 3191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)))
46	45	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)))
47	43, 46	rspcdv 3575	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → (∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)))
48		simp-5l 797	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑅 ∈ IDomn)
49	23	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
50		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑓 ∈ Word 𝑃)
51		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓))
52		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑦 ∈ 𝑖)
53	51, 52	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝑖)
54	42	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑦 ≠ 0 )
55	51, 54	eqnetrrd 3028	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 )
56	3, 4, 5, 6, 7, 48, 49, 50, 53, 55	dfufd2lem 33879	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑓 ∈ Word 𝑃) ∧ 𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)) → (𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅)
57	56	rexlimdva2 3170	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓) → (𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅))
58	47, 57	syld 48	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) → (∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) → (𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅))
59	58	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) → (𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅)
60	59	an52ds 32849	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑖) ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅)
61	20	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑅 ∈ Ring)
62		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }}))
63	62	eldifad 3918	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
64	61, 63, 24	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
65		eldifsni 4760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }}) → 𝑖 ≠ { 0 })
66	65	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → 𝑖 ≠ { 0 })
67	26, 4	lidlnz 21406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ { 0 }) → ∃𝑦 ∈ 𝑖 𝑦 ≠ 0 )
68	61, 64, 66, 67	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → ∃𝑦 ∈ 𝑖 𝑦 ≠ 0 )
69	60, 68	r19.29a 3175	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) ∧ 𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})) → (𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅)
70	69	ralrimiva 3159	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) → ∀𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})(𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅)
71		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
72	71, 6, 4	isufd 33870	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ UFD ↔ (𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑖 ∈ ((PrmIdeal‘𝑅) ∖ {{ 0 }})(𝑖 ∩ 𝑃) ≠ ∅))
73	18, 70, 72	sylanbrc 595	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)) → 𝑅 ∈ UFD)
74	17, 73	impbii 212	1 ⊢ (𝑅 ∈ UFD ↔ (𝑅 ∈ IDomn ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝐵 ∖ 𝑈) ∖ { 0 })∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3903   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  {csn 4591  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Word cword 14564  Basecbs 17287  ._rcmulr 17329  0_gc0g 17510   Σ_g cgsu 17511  mulGrpcmgp 20240  Ringcrg 20339  Unitcui 20463  RPrimecrpm 20540  IDomncidom 20822  LIdealclidl 21360  PrmIdealcprmidl 21490  UFDcufd 33868

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-ac2 10458  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-rpss 7726  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-oi 9475  df-dju 9899  df-card 9937  df-ac 10112  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-uz 12875  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-seq 14052  df-hash 14381  df-word 14565  df-lsw 14614  df-concat 14622  df-s1 14649  df-substr 14695  df-pfx 14727  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-ip 17346  df-0g 17512  df-gsum 17513  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-submnd 18866  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-sbg 19029  df-subg 19213  df-cntz 19411  df-lsm 19730  df-cmn 19876  df-abl 19877  df-mgp 20241  df-rng 20255  df-ur 20288  df-ring 20341  df-cring 20342  df-oppr 20445  df-dvdsr 20465  df-unit 20466  df-invr 20496  df-rprm 20541  df-nzr 20640  df-subrg 20699  df-domn 20824  df-idom 20825  df-drng 20859  df-lmod 21013  df-lss 21083  df-lsp 21123  df-sra 21324  df-rgmod 21325  df-lidl 21362  df-rsp 21363  df-prmidl 21491  df-ufd 33869

This theorem is used by: (None)