Theorem cvmliftlem14 36031

Description: Lemma for cvmlift 36033. Putting the results of cvmliftlem11 36029, cvmliftlem13 36030 and cvmliftmo 36018 together, we have that 𝐾 is a continuous function, satisfies 𝐹 ∘ 𝐾 = 𝐺 and 𝐾(0) = 𝑃, and is equal to any other function which also has these properties, so it follows that 𝐾 is the unique lift of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmliftlem.1	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
cvmliftlem.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmliftlem.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
cvmliftlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmliftlem.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
cvmliftlem.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
cvmliftlem.l	⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem.q	⊢ 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
cvmliftlem.k	⊢ 𝐾 = ∪ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑘)

Assertion

Ref	Expression
cvmliftlem14	⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑏,𝑧,𝐵   𝑓,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑥,𝐹,𝑣,𝑧   𝑧,𝐿   𝑓,𝐾   𝑃,𝑏,𝑓,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑏,𝑓,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑧   𝜑,𝑓,𝑗,𝑠,𝑥,𝑧   𝑁,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑆,𝑏,𝑓,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑗,𝑋   𝐺,𝑏,𝑓,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑇,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐽,𝑏,𝑓,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑄,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣, 𝑢, 𝑘, 𝑚, 𝑏)   𝐵(𝑥, 𝑢, 𝑓, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑠)   𝐶(𝑥, 𝑚)   𝑃(𝑗, 𝑠)   𝑄(𝑓, 𝑗, 𝑠)   𝑆(𝑚)   𝑇(𝑓)   𝐽(𝑚)   𝐾(𝑥, 𝑧, 𝑣, 𝑢, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑠, 𝑏)   𝐿(𝑥, 𝑣, 𝑢, 𝑓, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑠, 𝑏)   𝑁(𝑓, 𝑗, 𝑠)   𝑋(𝑥, 𝑧, 𝑣, 𝑢, 𝑓, 𝑘, 𝑚, 𝑠, 𝑏)

Proof of Theorem cvmliftlem14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmliftlem.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
2		cvmliftlem.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
3		cvmliftlem.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4		cvmliftlem.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5		cvmliftlem.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
6		cvmliftlem.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
7		cvmliftlem.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
8		cvmliftlem.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9		cvmliftlem.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
10		cvmliftlem.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
11		cvmliftlem.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
12		cvmliftlem.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
13		cvmliftlem.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = ∪ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑘)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	cvmliftlem11 36029	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺))
15	14	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (II Cn 𝐶))
16	14	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	cvmliftlem13 36030	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘0) = 𝑃)
18		coeq2 5836	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐾 → (𝐹 ∘ 𝑓) = (𝐹 ∘ 𝐾))
19	18	eqeq1d 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐾 → ((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ↔ (𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺))
20		fveq1 6876	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐾 → (𝑓‘0) = (𝐾‘0))
21	20	eqeq1d 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐾 → ((𝑓‘0) = 𝑃 ↔ (𝐾‘0) = 𝑃))
22	19, 21	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐾 → (((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺 ∧ (𝐾‘0) = 𝑃)))
23	22	rspcev 3577	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺 ∧ (𝐾‘0) = 𝑃)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
24	15, 16, 17, 23	syl12anc 850	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
25		iiuni 25182	. . 3 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
26		iiconn 25188	. . . 4 ⊢ II ∈ Conn
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → II ∈ Conn)
28		iinllyconn 35988	. . . 4 ⊢ II ∈ 𝑛-Locally Conn
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → II ∈ 𝑛-Locally Conn)
30		0elunit 13581	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
31	30	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,]1))
32	2, 25, 4, 27, 29, 31, 5, 6, 7	cvmliftmo 36018	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
33		reu5 3368	. 2 ⊢ (∃!𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃) ↔ (∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃) ∧ ∃*𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃)))
34	24, 32, 33	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  ∃!wreu 3364  ∃*wrmo 3365  {crab 3413  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  ⟨cop 4590  ∪ cuni 4867  ∪ ciun 4951   ↦ cmpt 5186   I cid 5545   × cxp 5649  ^◡ccnv 5650  ran crn 5652   ↾ cres 5653   “ cima 5654   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  ℩crio 7368  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  1^st c1st 7988  2^nd c2nd 7989  0cc0 11181  1c1 11182   − cmin 11522   / cdiv 11954  ℕcn 12316  (,)cioo 13457  [,]cicc 13460  ...cfz 13620  seqcseq 14124   ↾_t crest 17571  topGenctg 17588   Cn ccn 23522  Conncconn 23709  𝑛-Locally cnlly 23764  Homeochmeo 24052  IIcii 25176   CovMap ccvm 35989

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-nei 23396  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-conn 23710  df-lly 23765  df-nlly 23766  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-ii 25178  df-cncf 25179  df-htpy 25271  df-phtpy 25272  df-phtpc 25293  df-pconn 35955  df-sconn 35956  df-cvm 35990

This theorem is used by:  cvmliftlem15  36032