Theorem cvmliftlem14 32539

Description: Lemma for cvmlift 32541. Putting the results of cvmliftlem11 32537, cvmliftlem13 32538 and cvmliftmo 32526 together, we have that 𝐾 is a continuous function, satisfies 𝐹 ∘ 𝐾 = 𝐺 and 𝐾(0) = 𝑃, and is equal to any other function which also has these properties, so it follows that 𝐾 is the unique lift of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmliftlem.1	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
cvmliftlem.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmliftlem.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
cvmliftlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmliftlem.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
cvmliftlem.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
cvmliftlem.l	⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem.q	⊢ 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
cvmliftlem.k	⊢ 𝐾 = ∪ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑘)

Assertion

Ref	Expression
cvmliftlem14	⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑏,𝑧,𝐵   𝑓,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑥,𝐹,𝑣,𝑧   𝑧,𝐿   𝑓,𝐾   𝑃,𝑏,𝑓,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑏,𝑓,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑧   𝜑,𝑓,𝑗,𝑠,𝑥,𝑧   𝑁,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑆,𝑏,𝑓,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑗,𝑋   𝐺,𝑏,𝑓,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑇,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐽,𝑏,𝑓,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑄,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑢,𝑓,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠)   𝐶(𝑥,𝑚)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝑄(𝑓,𝑗,𝑠)   𝑆(𝑚)   𝑇(𝑓)   𝐽(𝑚)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝐿(𝑥,𝑣,𝑢,𝑓,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑗,𝑠)   𝑋(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑓,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cvmliftlem14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmliftlem.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
2		cvmliftlem.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
3		cvmliftlem.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4		cvmliftlem.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5		cvmliftlem.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
6		cvmliftlem.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
7		cvmliftlem.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
8		cvmliftlem.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9		cvmliftlem.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
10		cvmliftlem.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
11		cvmliftlem.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
12		cvmliftlem.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
13		cvmliftlem.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = ∪ 𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑘)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	cvmliftlem11 32537	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺))
15	14	simpld 497	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (II Cn 𝐶))
16	14	simprd 498	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	cvmliftlem13 32538	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘0) = 𝑃)
18		coeq2 5724	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐾 → (𝐹 ∘ 𝑓) = (𝐹 ∘ 𝐾))
19	18	eqeq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐾 → ((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ↔ (𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺))
20		fveq1 6664	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐾 → (𝑓‘0) = (𝐾‘0))
21	20	eqeq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐾 → ((𝑓‘0) = 𝑃 ↔ (𝐾‘0) = 𝑃))
22	19, 21	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐾 → (((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺 ∧ (𝐾‘0) = 𝑃)))
23	22	rspcev 3623	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺 ∧ (𝐾‘0) = 𝑃)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
24	15, 16, 17, 23	syl12anc 834	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
25		iiuni 23483	. . 3 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
26		iiconn 23489	. . . 4 ⊢ II ∈ Conn
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → II ∈ Conn)
28		iinllyconn 32496	. . . 4 ⊢ II ∈ 𝑛-Locally Conn
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → II ∈ 𝑛-Locally Conn)
30		0elunit 12849	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
31	30	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,]1))
32	2, 25, 4, 27, 29, 31, 5, 6, 7	cvmliftmo 32526	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
33		reu5 3431	. 2 ⊢ (∃!𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃) ↔ (∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃) ∧ ∃*𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃)))
34	24, 32, 33	sylanbrc 585	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  ∃!wreu 3140  ∃*wrmo 3141  {crab 3142  Vcvv 3495   ∖ cdif 3933   ∪ cun 3934   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  𝒫 cpw 4539  {csn 4561  ⟨cop 4567  ∪ cuni 4832  ∪ ciun 4912   ↦ cmpt 5139   I cid 5454   × cxp 5548  ^◡ccnv 5549  ran crn 5551   ↾ cres 5552   “ cima 5553   ∘ ccom 5554  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  ℩crio 7107  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152  1^st c1st 7681  2^nd c2nd 7682  0cc0 10531  1c1 10532   − cmin 10864   / cdiv 11291  ℕcn 11632  (,)cioo 12732  [,]cicc 12735  ...cfz 12886  seqcseq 13363   ↾_t crest 16688  topGenctg 16705   Cn ccn 21826  Conncconn 22013  𝑛-Locally cnlly 22067  Homeochmeo 22355  IIcii 23477   CovMap ccvm 32497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-nei 21700  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-conn 22014  df-lly 22068  df-nlly 22069  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-ii 23479  df-htpy 23568  df-phtpy 23569  df-phtpc 23590  df-pconn 32463  df-sconn 32464  df-cvm 32498

This theorem is referenced by:  cvmliftlem15  32540