Theorem pcorevcl 24981

Description: Closure for a reversed path. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pcorev.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
pcorevcl	⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐺‘1) = (𝐹‘0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem pcorevcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcorev.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
2		iitopon 24828	. . . . 5 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
4		iirevcn 24880	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (II Cn II)
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (II Cn II))
6		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
7	3, 5, 6	cnmpt11f 23607	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥))) ∈ (II Cn 𝐽))
8	1, 7	eqeltrid 2839	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9		0elunit 13491	. . 3 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
10		oveq2 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = (1 − 0))
11		1m0e1 12366	. . . . . 6 ⊢ (1 − 0) = 1
12	10, 11	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = 1)
13	12	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘1))
14		fvex 6894	. . . 4 ⊢ (𝐹‘1) ∈ V
15	13, 1, 14	fvmpt 6991	. . 3 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘0) = (𝐹‘1))
16	9, 15	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺‘0) = (𝐹‘1))
17		1elunit 13492	. . 3 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
18		oveq2 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
19		1m1e0 12317	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
20	18, 19	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = 0)
21	20	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘0))
22		fvex 6894	. . . 4 ⊢ (𝐹‘0) ∈ V
23	21, 1, 22	fvmpt 6991	. . 3 ⊢ (1 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
24	17, 23	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
25	8, 16, 24	3jca 1128	1 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐺‘1) = (𝐹‘0)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5206  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135   − cmin 11471  [,]cicc 13370  TopOnctopon 22853   Cn ccn 23167  IIcii 24824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-ii 24826

This theorem is referenced by:  pcorev2  24984  pcophtb  24985  pi1grplem  25005  pi1inv  25008  pi1xfr  25011  pi1xfrcnvlem  25012  pi1xfrcnv  25013  sconnpht2  35265