Theorem pcorevcl 25221

Description: Closure for a reversed path. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pcorev.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
pcorevcl	⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐺‘1) = (𝐹‘0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem pcorevcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcorev.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
2		iitopon 25075	. . . . 5 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
4		iirevcn 25126	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (II Cn II)
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (II Cn II))
6		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
7	3, 5, 6	cnmpt11f 23858	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥))) ∈ (II Cn 𝐽))
8	1, 7	eqeltrid 2870	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9		0elunit 13514	. . 3 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
10		oveq2 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = (1 − 0))
11		1m0e1 12378	. . . . . 6 ⊢ (1 − 0) = 1
12	10, 11	eqtrdi 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = 1)
13	12	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘1))
14		fvex 6901	. . . 4 ⊢ (𝐹‘1) ∈ V
15	13, 1, 14	fvmpt 6996	. . 3 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘0) = (𝐹‘1))
16	9, 15	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺‘0) = (𝐹‘1))
17		1elunit 13515	. . 3 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
18		oveq2 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
19		1m1e0 12331	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
20	18, 19	eqtrdi 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = 0)
21	20	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘0))
22		fvex 6901	. . . 4 ⊢ (𝐹‘0) ∈ V
23	21, 1, 22	fvmpt 6996	. . 3 ⊢ (1 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
24	17, 23	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
25	8, 16, 24	3jca 1146	1 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐺‘1) = (𝐹‘0)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ↦ cmpt 5197  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  1c1 11119   − cmin 11459  [,]cicc 13393  TopOnctopon 23104   Cn ccn 23418  IIcii 25071

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-tx 23756  df-hmeo 23949  df-xms 24514  df-ms 24515  df-tms 24516  df-ii 25073

This theorem is used by:  pcorev2  25224  pcophtb  25225  pi1grplem  25245  pi1inv  25248  pi1xfr  25251  pi1xfrcnvlem  25252  pi1xfrcnv  25253  sconnpht2  35751