Theorem pcorevcl 25067

Description: Closure for a reversed path. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pcorev.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
pcorevcl	⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐺‘1) = (𝐹‘0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem pcorevcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcorev.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
2		iitopon 24921	. . . . 5 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
4		iirevcn 24972	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (II Cn II)
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (II Cn II))
6		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
7	3, 5, 6	cnmpt11f 23704	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥))) ∈ (II Cn 𝐽))
8	1, 7	eqeltrid 2865	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9		0elunit 13470	. . 3 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
10		oveq2 7400	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = (1 − 0))
11		1m0e1 12334	. . . . . 6 ⊢ (1 − 0) = 1
12	10, 11	eqtrdi 2812	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = 1)
13	12	fveq2d 6867	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘1))
14		fvex 6876	. . . 4 ⊢ (𝐹‘1) ∈ V
15	13, 1, 14	fvmpt 6971	. . 3 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘0) = (𝐹‘1))
16	9, 15	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺‘0) = (𝐹‘1))
17		1elunit 13471	. . 3 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
18		oveq2 7400	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
19		1m1e0 12287	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
20	18, 19	eqtrdi 2812	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = 0)
21	20	fveq2d 6867	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘0))
22		fvex 6876	. . . 4 ⊢ (𝐹‘0) ∈ V
23	21, 1, 22	fvmpt 6971	. . 3 ⊢ (1 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
24	17, 23	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
25	8, 16, 24	3jca 1140	1 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐺‘1) = (𝐹‘0)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  0cc0 11070  1c1 11071   − cmin 11411  [,]cicc 13349  TopOnctopon 22950   Cn ccn 23264  IIcii 24917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17515  df-qtop 17520  df-imas 17521  df-xps 17523  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-mulg 19093  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-cnfld 21405  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-cn 23267  df-cnp 23268  df-tx 23602  df-hmeo 23795  df-xms 24360  df-ms 24361  df-tms 24362  df-ii 24919

This theorem is referenced by:  pcorev2  25070  pcophtb  25071  pi1grplem  25091  pi1inv  25094  pi1xfr  25097  pi1xfrcnvlem  25098  pi1xfrcnv  25099  sconnpht2  35552