Theorem pcorevcl 23332

Description: Closure for a reversed path. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pcorev.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
pcorevcl	⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐺‘1) = (𝐹‘0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem pcorevcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcorev.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
2		iitopon 23190	. . . . 5 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
4		iirevcn 23237	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (II Cn II)
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (II Cn II))
6		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
7	3, 5, 6	cnmpt11f 21976	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥))) ∈ (II Cn 𝐽))
8	1, 7	syl5eqel 2870	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9		0elunit 12671	. . 3 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
10		oveq2 6984	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = (1 − 0))
11		1m0e1 11568	. . . . . 6 ⊢ (1 − 0) = 1
12	10, 11	syl6eq 2830	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = 1)
13	12	fveq2d 6503	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘1))
14		fvex 6512	. . . 4 ⊢ (𝐹‘1) ∈ V
15	13, 1, 14	fvmpt 6595	. . 3 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘0) = (𝐹‘1))
16	9, 15	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺‘0) = (𝐹‘1))
17		1elunit 12672	. . 3 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
18		oveq2 6984	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
19		1m1e0 11512	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
20	18, 19	syl6eq 2830	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = 0)
21	20	fveq2d 6503	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘0))
22		fvex 6512	. . . 4 ⊢ (𝐹‘0) ∈ V
23	21, 1, 22	fvmpt 6595	. . 3 ⊢ (1 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
24	17, 23	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
25	8, 16, 24	3jca 1108	1 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐺‘1) = (𝐹‘0)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ↦ cmpt 5008  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  0cc0 10335  1c1 10336   − cmin 10670  [,]cicc 12557  TopOnctopon 21222   Cn ccn 21536  IIcii 23186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-card 9162  df-cda 9388  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-ioo 12558  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-hom 16445  df-cco 16446  df-rest 16552  df-topn 16553  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-topgen 16573  df-pt 16574  df-prds 16577  df-xrs 16631  df-qtop 16636  df-imas 16637  df-xps 16639  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-mulg 18012  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-cnfld 20248  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-bases 21258  df-cn 21539  df-cnp 21540  df-tx 21874  df-hmeo 22067  df-xms 22633  df-ms 22634  df-tms 22635  df-ii 23188

This theorem is referenced by:  pcorev2  23335  pcophtb  23336  pi1grplem  23356  pi1inv  23359  pi1xfr  23362  pi1xfrcnvlem  23363  pi1xfrcnv  23364  sconnpht2  32076