Theorem ccfldextrr 32019

Description: The field of the complex numbers is an extension of the field of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ccfldextrr	⊢ ℂfld/FldExtℝfld

Proof of Theorem ccfldextrr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-refld 20915	. . 3 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
2		rebase 20916	. . . 4 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
3	2	oveq2i 7352	. . 3 ⊢ (ℂfld ↾s ℝ) = (ℂfld ↾s (Base‘ℝfld))
4	1, 3	eqtri 2765	. 2 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s (Base‘ℝfld))
5		resubdrg 20918	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
6	5	simpli 485	. . 3 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
7	2, 6	eqeltrri 2835	. 2 ⊢ (Base‘ℝfld) ∈ (SubRing‘ℂfld)
8		cndrng 20732	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
9		cncrng 20724	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ CRing
10		isfld 20103	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Field ↔ (ℂfld ∈ DivRing ∧ ℂfld ∈ CRing))
11	8, 9, 10	mpbir2an 709	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Field
12		refld 20929	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ Field
13		brfldext 32018	. . 3 ⊢ ((ℂfld ∈ Field ∧ ℝfld ∈ Field) → (ℂfld/FldExtℝfld ↔ (ℝfld = (ℂfld ↾s (Base‘ℝfld)) ∧ (Base‘ℝfld) ∈ (SubRing‘ℂfld))))
14	11, 12, 13	mp2an 690	. 2 ⊢ (ℂfld/FldExtℝfld ↔ (ℝfld = (ℂfld ↾s (Base‘ℝfld)) ∧ (Base‘ℝfld) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
15	4, 7, 14	mpbir2an 709	1 ⊢ ℂfld/FldExtℝfld

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5096  ‘cfv 6483  (class class class)co 7341  ℝcr 10975  Basecbs 17009   ↾_s cress 17038  CRingccrg 19878  DivRingcdr 20092  Fieldcfield 20093  SubRingcsubrg 20124  ℂ_fldccnfld 20702  ℝ_fldcrefld 20914  /_FldExtcfldext 32009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053  ax-addf 11055  ax-mulf 11056

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-tpos 8116  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-div 11738  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-4 12143  df-5 12144  df-6 12145  df-7 12146  df-8 12147  df-9 12148  df-n0 12339  df-z 12425  df-dec 12543  df-uz 12688  df-fz 13345  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-starv 17074  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-unif 17082  df-0g 17249  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-subg 18848  df-cmn 19483  df-mgp 19815  df-ur 19832  df-ring 19879  df-cring 19880  df-oppr 19956  df-dvdsr 19977  df-unit 19978  df-invr 20008  df-dvr 20019  df-drng 20094  df-field 20095  df-subrg 20126  df-cnfld 20703  df-refld 20915  df-fldext 32013

This theorem is referenced by:  ccfldextdgrr  32038