Theorem ccfldextrr 33837

Description: The field of the complex numbers is an extension of the field of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ccfldextrr	⊢ ℂfld/FldExtℝfld

Proof of Theorem ccfldextrr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-refld 21587	. . 3 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
2		rebase 21588	. . . 4 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
3	2	oveq2i 7374	. . 3 ⊢ (ℂfld ↾s ℝ) = (ℂfld ↾s (Base‘ℝfld))
4	1, 3	eqtri 2763	. 2 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s (Base‘ℝfld))
5		resubdrg 21590	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
6	5	simpli 484	. . 3 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
7	2, 6	eqeltrri 2837	. 2 ⊢ (Base‘ℝfld) ∈ (SubRing‘ℂfld)
8		cndrng 21383	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
9		cncrng 21375	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ CRing
10		isfld 20719	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Field ↔ (ℂfld ∈ DivRing ∧ ℂfld ∈ CRing))
11	8, 9, 10	mpbir2an 717	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Field
12		refld 21601	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ Field
13		brfldext 33836	. . 3 ⊢ ((ℂfld ∈ Field ∧ ℝfld ∈ Field) → (ℂfld/FldExtℝfld ↔ (ℝfld = (ℂfld ↾s (Base‘ℝfld)) ∧ (Base‘ℝfld) ∈ (SubRing‘ℂfld))))
14	11, 12, 13	mp2an 698	. 2 ⊢ (ℂfld/FldExtℝfld ↔ (ℝfld = (ℂfld ↾s (Base‘ℝfld)) ∧ (Base‘ℝfld) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
15	4, 7, 14	mpbir2an 717	1 ⊢ ℂfld/FldExtℝfld

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  Basecbs 17177   ↾_s cress 17198  CRingccrg 20213  SubRingcsubrg 20548  DivRingcdr 20708  Fieldcfield 20709  ℂ_fldccnfld 21354  ℝ_fldcrefld 21586  /_FldExtcfldext 33829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-subg 19097  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-dvr 20379  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-drng 20710  df-field 20711  df-cnfld 21355  df-refld 21587  df-fldext 33832

This theorem is referenced by:  ccfldextdgrr  33863