MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coecjOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coecjOLD 26316
Description: Obsolete version of coecj 26314 as of 22-Sep-2025. Double conjugation of a polynomial causes the coefficients to be conjugated. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
plycjOLD.1 𝑁 = (deg‘𝐹)
plycjOLD.2 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
coecjOLD.3 𝐴 = (coeff‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
coecjOLD (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐺) = (∗ ∘ 𝐴))

Proof of Theorem coecjOLD
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plycjOLD.1 . . 3 𝑁 = (deg‘𝐹)
2 plycjOLD.2 . . 3 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
3 cjcl 15130 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
43adantl 481 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
5 plyssc 26235 . . . 4 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
65sseli 3991 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
71, 2, 4, 6plycjOLD 26315 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
8 dgrcl 26268 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
91, 8eqeltrid 2841 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10 cjf 15129 . . 3 ∗:ℂ⟶ℂ
11 coecjOLD.3 . . . 4 𝐴 = (coeff‘𝐹)
1211coef3 26267 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
13 fco 6755 . . 3 ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
1410, 12, 13sylancr 586 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
15 fvco3 7002 . . . . . . . . 9 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴𝑘)))
1612, 15sylan 579 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴𝑘)))
17 cj0 15183 . . . . . . . . . 10 (∗‘0) = 0
1817eqcomi 2742 . . . . . . . . 9 0 = (∗‘0)
1918a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 = (∗‘0))
2016, 19eqeq12d 2749 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = 0 ↔ (∗‘(𝐴𝑘)) = (∗‘0)))
2112ffvelcdmda 7098 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
22 0cnd 11245 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℂ)
23 cj11 15187 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝐴𝑘)) = (∗‘0) ↔ (𝐴𝑘) = 0))
2421, 22, 23syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘(𝐴𝑘)) = (∗‘0) ↔ (𝐴𝑘) = 0))
2520, 24bitrd 279 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = 0 ↔ (𝐴𝑘) = 0))
2625necon3bid 2981 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐴𝑘) ≠ 0))
2711, 1dgrub2 26270 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
28 plyco0 26227 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
299, 12, 28syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
3027, 29mpbid 232 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
3130r19.21bi 3247 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
3226, 31sylbid 240 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
3332ralrimiva 3142 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
34 plyco0 26227 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ) → (((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
359, 14, 34syl2anc 583 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
3633, 35mpbird 257 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
371, 2, 11plycjlem 26312 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
387, 9, 14, 36, 37coeeq 26262 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐺) = (∗ ∘ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1535  wcel 2104  wne 2936  wral 3057  {csn 4630   class class class wbr 5149  cima 5686  ccom 5687  wf 6554  cfv 6558  (class class class)co 7425  cc 11144  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149  cle 11287  0cn0 12517  cuz 12869  ccj 15121  Polycply 26219  coeffccoe 26221  degcdgr 26222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-int 4954  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-of 7691  df-om 7881  df-1st 8007  df-2nd 8008  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8499  df-er 8738  df-map 8861  df-pm 8862  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11912  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12518  df-z 12605  df-uz 12870  df-rp 13026  df-fz 13538  df-fzo 13682  df-fl 13818  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14356  df-cj 15124  df-re 15125  df-im 15126  df-sqrt 15260  df-abs 15261  df-clim 15510  df-rlim 15511  df-sum 15709  df-0p 25700  df-ply 26223  df-coe 26225  df-dgr 26226
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator