MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coecjOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coecjOLD 26310
Description: Obsolete version of coecj 26308 as of 22-Sep-2025. Double conjugation of a polynomial causes the coefficients to be conjugated. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
plycjOLD.1 𝑁 = (deg‘𝐹)
plycjOLD.2 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
coecjOLD.3 𝐴 = (coeff‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
coecjOLD (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐺) = (∗ ∘ 𝐴))

Proof of Theorem coecjOLD
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plycjOLD.1 . . 3 𝑁 = (deg‘𝐹)
2 plycjOLD.2 . . 3 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
3 cjcl 15140 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
43adantl 481 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
5 plyssc 26229 . . . 4 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
65sseli 3978 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
71, 2, 4, 6plycjOLD 26309 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
8 dgrcl 26262 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
91, 8eqeltrid 2844 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10 cjf 15139 . . 3 ∗:ℂ⟶ℂ
11 coecjOLD.3 . . . 4 𝐴 = (coeff‘𝐹)
1211coef3 26261 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
13 fco 6758 . . 3 ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
1410, 12, 13sylancr 587 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
15 fvco3 7006 . . . . . . . . 9 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴𝑘)))
1612, 15sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴𝑘)))
17 cj0 15193 . . . . . . . . . 10 (∗‘0) = 0
1817eqcomi 2745 . . . . . . . . 9 0 = (∗‘0)
1918a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 = (∗‘0))
2016, 19eqeq12d 2752 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = 0 ↔ (∗‘(𝐴𝑘)) = (∗‘0)))
2112ffvelcdmda 7102 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
22 0cnd 11250 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℂ)
23 cj11 15197 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝐴𝑘)) = (∗‘0) ↔ (𝐴𝑘) = 0))
2421, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘(𝐴𝑘)) = (∗‘0) ↔ (𝐴𝑘) = 0))
2520, 24bitrd 279 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = 0 ↔ (𝐴𝑘) = 0))
2625necon3bid 2984 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐴𝑘) ≠ 0))
2711, 1dgrub2 26264 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
28 plyco0 26221 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
299, 12, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
3027, 29mpbid 232 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
3130r19.21bi 3250 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
3226, 31sylbid 240 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
3332ralrimiva 3145 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
34 plyco0 26221 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ) → (((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
359, 14, 34syl2anc 584 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
3633, 35mpbird 257 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
371, 2, 11plycjlem 26306 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
387, 9, 14, 36, 37coeeq 26256 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐺) = (∗ ∘ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2939  wral 3060  {csn 4624   class class class wbr 5141  cima 5686  ccom 5687  wf 6555  cfv 6559  (class class class)co 7429  cc 11149  0cc0 11151  1c1 11152   + caddc 11154  cle 11292  0cn0 12522  cuz 12874  ccj 15131  Polycply 26213  coeffccoe 26215  degcdgr 26216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-inf2 9677  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228  ax-pre-sup 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-isom 6568  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-of 7694  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-er 8741  df-map 8864  df-pm 8865  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-div 11917  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12875  df-rp 13031  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-0p 25695  df-ply 26217  df-coe 26219  df-dgr 26220
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator