Theorem coecjOLD 26246

Description: Obsolete version of coecj 26244 as of 22-Sep-2025. Double conjugation of a polynomial causes the coefficients to be conjugated. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
plycjOLD.1	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
plycjOLD.2	⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
coecjOLD.3	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
coecjOLD	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐺) = (∗ ∘ 𝐴))

Proof of Theorem coecjOLD

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plycjOLD.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
2		plycjOLD.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
3		cjcl 15032	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
5		plyssc 26165	. . . 4 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
6	5	sseli 3930	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
7	1, 2, 4, 6	plycjOLD 26245	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
8		dgrcl 26198	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
9	1, 8	eqeltrid 2841	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		cjf 15031	. . 3 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
11		coecjOLD.3	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
12	11	coef3 26197	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
13		fco 6687	. . 3 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
14	10, 12, 13	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
15		fvco3 6934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴‘𝑘)))
16	12, 15	sylan 581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴‘𝑘)))
17		cj0 15085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘0) = 0
18	17	eqcomi 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (∗‘0)
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 = (∗‘0))
20	16, 19	eqeq12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = 0 ↔ (∗‘(𝐴‘𝑘)) = (∗‘0)))
21	12	ffvelcdmda 7031	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
22		0cnd 11129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℂ)
23		cj11 15089	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝐴‘𝑘)) = (∗‘0) ↔ (𝐴‘𝑘) = 0))
24	21, 22, 23	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘(𝐴‘𝑘)) = (∗‘0) ↔ (𝐴‘𝑘) = 0))
25	20, 24	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = 0 ↔ (𝐴‘𝑘) = 0))
26	25	necon3bid 2977	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐴‘𝑘) ≠ 0))
27	11, 1	dgrub2 26200	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
28		plyco0 26157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁)))
29	9, 12, 28	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁)))
30	27, 29	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
31	30	r19.21bi 3229	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
32	26, 31	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
33	32	ralrimiva 3129	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
34		plyco0 26157	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ) → (((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁)))
35	9, 14, 34	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁)))
36	33, 35	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
37	1, 2, 11	plycjlem 26242	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
38	7, 9, 14, 36, 37	coeeq 26192	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐺) = (∗ ∘ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  {csn 4581   class class class wbr 5099   “ cima 5628   ∘ ccom 5629  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   ≤ cle 11171  ℕ₀cn0 12405  ℤ_≥cuz 12755  ∗ccj 15023  Polycply 26149  coeffccoe 26151  degcdgr 26152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-clim 15415  df-rlim 15416  df-sum 15614  df-0p 25631  df-ply 26153  df-coe 26155  df-dgr 26156

This theorem is referenced by: (None)